Зенонови парадокси

Из Википедије, слободне енциклопедије
Иди на навигацију Иди на претрагу

Зенонови парадокси су парадокси које је наводио старогчки филозоф Зенон из Елеје доказујући немогућност кретања.

Зенонови парадокси су збуњивали, изазивали, утицали, инспирисали и задивљавали филозофе, математичаре, физичаре и школску дјецу, преко двије хиљаде година. Најпознатији су такозвани „аргументи против кретања“ описани у Аристотеловој Физици.

Парадокси кретања[уреди]

Ахил и корњача[уреди]

У утрци, најбржи тркач никада не може престићи најспоријег, зато што гонитељ прво мора доћи до тачке одакле је гоњени пошао, па према томе најспорији увијек има предност.“

— Аристотелова Физика VI:9, 239б15

Замислите да Ахил трчи против корњаче. Ахил трчи 10 пута брже од корњаче, али почиње од тачке А, 100 метара иза корњаче која је у тачки К1 (корњачи , која је спорија, дата је предност). Да би престигао корњачу, Ахил мора прво доћи до тачке К1. Међутим, када је Ахил стигао до тачке К1, корњача је прешла 10 метара и дошла до тачке К2. Поново Ахил трчи до К2. Али, као и прије, када је прешао 10 метара корњача је метар испред њега, код тачке К3, и тако даље (корњача ће увијек имати предност над Ахилом, без обзира на то колико мала она била). Према томе Ахил никада не може престићи корњачу.[1][2]

А----------------------------К1----------------К2---К3

Парадокс дихотомије[уреди]

Кретање је немогуће јер „оно што је у покрету мора прво прећи пола пута прије него што стигне до циља“.

— Аристотелова Физика VI:9, 239б10

Замислите ствар која треба ићи од тачке А до тачке Б. Да би дошла до тачке Б ствар прво мора доћи до средње тачке Б1 која је између тачака А и Б. Али, прије него што се ово догоди ствар мора доћи до тачке Б2 која је између тачака А и Б1. Слично, прије него што може и то урадити, мора прво доћи до тачке Б3 која је између А и Б2, и тако даље. Према томе кретање никада не може почети.

А-----Б3-----Б2-----------Б1-------------------------Б

Парадокс стријеле[уреди]

Зенон је доказивао да је стријела у лету непокретна.

Ако је све непомично што заузима простор, и ако све што је у покрету заузима такав простор у неком времену, онда је летећа стријела непокретна.

— Аристотелова Физика VI:9, 239б5

Замислите да стријела лети непрестано напријед, током једног временског интервала. Узмите сваки моменат у том временском интервалу. Немогуће је да се стријела миће у таквом моменту, јер тренутак има трајање 0, и стријела не може бити на два мјеста у исто вријеме. Према томе, у сваком тренутку је стријела непомична, и тако стријела је непомична током читавог интервала.[3]

Предложена рјешења[уреди]

Два парадокса, Ахил и корњача и Дихотомија, зависе од подијеле удаљености на низове удаљености који постају све мањи, па су и субјект истим против-аргументима.

Предложена рјешења за „Ахила и корњачу“[уреди]

Аристотел је истакао да као што се удаљеност смањује, вријеме потребно да се та удаљеност пређе такође се смањује.[4] Такав приступ ријешавању парадокса би довео до деманта тврдње да је потребно бесконачно много времена да се пређе преко бесконачно много удаљености, иако неки то споре.[5]

Графикон за Ахила и корњачу

Прије 212. п. н. е., Архимед је развио метод да изведе коначни одговор за бесконачно много чланова који постају прогресивно мањи. Теореме су развијене у модернијим облицима да би постигле исти резултат, али са тачнијом методом за доказивање. Ове методе дозвољавају конструкцију ријешења које кажу да (под нормалним условима) ако се удаљености стално смањују, вријеме је коначно.[6][7]

Ова ријешења су у бити геометријски низови. Општи геометријски низови се могу писати као

што је једнако аx/ (x - 1) узевши да је x > 1 (у супротном низ је дивергентан). Парадокси се могу ријешити помоћу геометријских секвенци (низова), али је једноставније користити Аристотелово ријешење, које у обзир узима вријеме (а не удаљености као у низовима) које је потребно Ахилу да сустигне корњачу.

У случају Ахила и корњаче, треба замислити да корњача трчи са константном брзином од в метара у секунди (мс-1) и да добија предност од удаљености д метара (м), а да Ахил трчи са константном брзином од xв мс-1 са x > 1. Ахилеју је потребно д/ секунди (с) да дође до тачке са које је корњача отпочела трку, а за то вријеме корњача је прешла д/x м. Послије дужег времена д/x2в с, Ахил има још једну д/x м, и тако даље. Према томе, вријеме потребно Ахилеју да сустигне корњачу је

Пошто је ово коначна вриједност, Ахилеј ће једном сустићи корњачу.

Предложена рјешења за парадокс дихотомије[уреди]

Аристотел је истакао да као што се удаљеност смањује, вријеме потребно да се та удаљеност пређе такође се смањује.[4] Такав приступ ријешавању парадокса би довео до деманта тврдње да је потребно бесконачно много времена да се пређе преко бесконачно много удаљености.

Предложена рјешења за парадокс стријеле[уреди]

Парадокс о стријели поставља питања о природи кретања која нису одговорена на математички начин, као у случају Ахила и корњаче и Дихотомије.

Овај парадокс се може ријешити математички на слиједећи начин: у граничној вриједности, дужина момента тежи нули, тренутачна стопа мијењања или брзине (која је количник пређеног пута у одређеном времену) не мора тежити нули. Ова ненултна гранична вриједност је брзина стријеле у тренутку.

Проблем са рачунским ријешењем је тај да рачунска радња може описати само кретање док се гранична вриједност приближава, базирано на вањској обсервацији да се стријела креће напријед. Међутим, у Зеноновом парадоксу, концепти као брзина губе своје значење и непостоји чинилац, који није под дјеловањем парадокса, који би могао стријели омогућити летење.

Друго гледиште је то да премиса каже да је у сваком тренутку, стријела непомична. Међутим, не кретати се- је релативан појам. Нико не може судити, посматрајући један тренутак, да стријела стоји у мјесту. Тачније, потребни су други, слични тренуци који би одредили, поредећи се са другим тренуцима, да је стријела у једном тренутку непомична. Према томе, у поређењу са другим тренуцима, стријела би била на другом мјесту него што је била и што ће бити у времену прије и послије. Узевши ово у обзир, стријела се креће.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ „Матх Форум”. , матцхфорум.орг
  2. ^ Хуггетт, Ницк (2010). „Зено'с Парадоxес: 3.2 Ацхиллес анд тхе Тортоисе”. Станфорд Енцyцлопедиа оф Пхилосопхy. Приступљено 7. 3. 2011. 
  3. ^ Лаертиус, Диогенес (абоут 230 ЦЕ). „Пyррхо”. [[Ливес анд Опинионс оф Еминент Пхилосопхерс]]. IX. пассаге 72. ИСБН 1-116-71900-2.  Проверите вредност парамет(а)ра за датум: |дате= (помоћ); Сукоб УРЛ—викивеза (помоћ)
  4. 4,0 4,1 Аристотле. Пхyсицс 6.9
  5. ^ Аристотле'с обсерватион тхат тхе фрацтионал тимес алсо гет схортер доес нот гуарантее, ин еверy цасе, тхат тхе таск цан бе цомплетед. Оне цасе ин wхицх ит доес нот холд ис тхат ин wхицх тхе фрацтионал тимес децреасе ин а хармониц сериес, wхиле тхе дистанцес децреасе геометрицаллy, суцх ас: 1/2 с фор 1/2 м гаин, 1/3 с фор неxт 1/4 м гаин, 1/4 с фор неxт 1/8 м гаин, 1/5 с фор неxт 1/16 м гаин, 1/6 с фор неxт 1/32 м гаин, етц. Ин тхис цасе, тхе дистанцес форм а цонвергент сериес, бут тхе тимес форм а дивергент сериес, тхе сум оф wхицх хас но лимит. Арцхимедес девелопед а море еxплицитлy матхематицал аппроацх тхан Аристотле.
  6. ^ Боyер, Царл (1959). Тхе Хисторy оф тхе Цалцулус анд Итс Цонцептуал Девелопмент. Довер Публицатионс. стр. 295. ИСБН 9780486605098. Приступљено 26. 2. 2010. »"Иф тхе парадоxес аре тхус статед ин тхе прецисе матхематицал терминологy оф цонтинуоус вариаблес (...) тхе сееминг цонтрадицтионс ресолве тхемселвес."« 
  7. ^ Георге Б. Тхомас, Цалцулус анд Аналyтиц Геометрy, Аддисон Wеслеy, 1951

Литература[уреди]