Jakobijeve eliptičke funkcije

Jakobijeve eliptičke funkcije predstavljaju funkcije značajne za jednačinu klatna. Poznata je njihova analogija sa trigonometrijskim funkcijama. Uveo ih je oko 1830. nemački matematičar Karl Gustav Jakobi. Inverzne su eliptičkim integralima.

Označavanje

Eliptičke funkcije mogu da se predstave u više različitih notacija. Prvi argement može da bude amplituda $\varphi$ ili $u$. Drugi argument može da bude parametar $m$ ili eleiptički modul $k$, gde vredi: $k^{2}=m$. Može da bude i modularni ugao $\alpha$, za koji vredi:$m=k^{2}=sin^{2}\alpha$.

Definicija eliptičke funkcije kao inversa eliptičkih integrala

Jakobijeva funkcije može da se predstavi kao inversa eliptičkoga integrala prve vrste. Neka je eliptički integral prve vrste dan sa:

$u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.$

Eliptička funkcija sn u je onda:

$\operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,$

a cn u je onda dan sa:

$\operatorname {cn} \;u=\cos \phi$

i

$\operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,$

Ugao $\phi$ je amplituda, a dn u = Δ(u) se naziva delta amplituda.

Definicija pomoću teta funkcija

Jakobijeve eliptičke funkcije mogu da se predstave i pomoću teta funkcija, tako da vredi:

${\mbox{sn}}(u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}$

${\mbox{cn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}$

${\mbox{dn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}$

Druge funkcije

Izmenom poredka slova dobijaju se dodatne tri funkcije:

$\operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u)$

$\operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u)$

$\operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u)$

Međusobni odnos tri glavne funkcije definiše dodatne funkcije kod kojih prvo i drugo slovo daju kvocijente funkcija:

$\operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)}$

$\operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)}$

$\operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)}$

$\operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)}$

$\operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)}$

$\operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)}$

Adicioni teoremi

Glavne eliptičke funkcije zadovoljavaju adicione relacije:

$\operatorname {cn} ^{2}(u,k)+\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1,\,$

$\operatorname {dn} ^{2}(u,k)+k^{2}\ \operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1.\,$

Te tri funkcije (cn, sn, dn) parametarski određuju eliptičku krivu. Pored ostaloga vrede i sledeće jednačine:

${\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}$

Relacije između kvadrata funkcija

$-\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-m$

$-m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m$

$m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m$

$\operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m$

gde je m + m₁ = 1 i m = k².

Razvoj u red

Jakobijeve funkcije mogu da se razviju u red pomoću $q=\exp(-\pi K'/K)$ i $v=\pi u/(2K)$:

$\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,$

$\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,$

$\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.$

Jakobijeve funkcije kao rešenja diferencijalnih jednačina

Derivacijom tri osnovne Jakobijeve eliptičke funkcije dobija se:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z)=\mathrm {cn} \,(z)\,\mathrm {dn} \,(z),$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z)=-\mathrm {sn} \,(z)\,\mathrm {dn} \,(z),$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z)\,\mathrm {cn} \,(z).$

Funkcija $\mathrm {sn} \,(x)$ zadovoljava diferencijalne jednačine:

$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})$

$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})$

Funkcija $\mathrm {cn} \,(x)$ zadovoljava diferencijalnu jednačinu:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0$

$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})$

Funkcija $\mathrm {dn} \,(x)$ zadovoljava diferencijalne jednačine:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$

$\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Eliptičke funkcije
• Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press
• E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.