Jedinična matrica

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova matrica se još naziva identičnom, jer u proizvodu sa drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne menja ih. Ova matrica se označava velikim latiničnim slovom E a indeks koji može i ne mora da stoji pored oznake označava dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.

$E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Što se takođe može definisati i Kronekerovom deltom:

$E_{n}=(\delta _{ij})_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$,

gde je:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&,i=j\\0&,i\neq j\end{matrix}}\right.\quad {\mbox{sa }}i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

Alternativni zapisi su:

$E_{ij}=\delta _{ij}\!$

$E=(\delta _{ij})\!$

Osobine

Množenje

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E_n nekog prostora K^{n × n} je da je ona jedina za koju važi:

$EA=AE=A,\;A\in K^{n\times n}$

Štaviše, vidi se da je matrica nad prostorom K^{n × n} komutativna tj. nije bitno da li se njome množi sleva ili zdesna. Ovo ne važi za prostore K^{n × m}, m ≠ n, gde se ovom matricom može množiti samo sleva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine takođe sledi i:

$AA^{-1}=A^{-1}A=E\!$

Primer:

${\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}$

Determinanta i inverz

Determinanta ove matrice je uvek 1, dok je ona sama sebi inverzna.

$|E|=1\!$

$E=E^{-1}\!$

Druga osobina se može dokazati na sledeći način:

$EE^{-1}=E\!$, opšte pravilo koje važi za sve matrice

$E^{-1}EE^{-1}=E^{-1}E\!$, množenje sleva sa E^-1

$\underbrace {E^{-1}E} _{E}E^{-1}=\underbrace {E^{-1}E} _{E}$, matrica pomnožena svojim inverzom uvek daje E

$\underbrace {EE^{-1}} _{E^{-1}}=E$, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe

$E^{-1}=E\!$, dokaz završen