Algebarska topologija

Torus, jedan od najčešće proučavanih objekata u algebarskoj topologiji

Algebarska topologija je grana matematike koja se koristi alatima apstraktne algebre u proučavanju topoloških prostora. Osnovni cilj je pronalaženje algebarskih invarijanti koje klasifikuju topološke prostore do na homeomorfizam. U mnogim situacijama je ovo isuviše ambiciozno, pa je razumnije postaviti skromniji cilj, klasifikacija do na homotopsku ekvivalenciju.

Mada algebarska topologija obično koristi algebru za proučavanje topoloških problema, obratan slučaj, korišćenje topologije za rešavanje algebarskih problema, je takođe ponekad moguć. Algebarska topologija na primer, omogućava zgodan dokaz da je svaka podgrupa slobodne grupe takođe slobodna grupa.

Glavne grane algebarske topologije

Ispod su neke od glavnih oblasti koje se proučavaju u algebarskoj topologiji:

Homotopske grupe

Glavni članak: Homotopske grupe

U matematici se homotopijske grupe koriste u algebarskoj topologiji za klasifikaciju topoloških prostora. Prva i najjednostavnija homotopska grupa je osnovna grupa, koja beleži informacije o petljama u prostoru. Intuitivno, homotopske grupe beleže informacije o osnovnom obliku, ili rupama, topološkog prostora.

Homologija

Glavni članak: Homologija

U algebarskoj topologiji i apstraktnoj algebri, homologija (delimično od grčkog ὁμός homos „identičan“) je određena opšta procedura za povezivanje niza abelovih grupa ili modula sa datim matematičkim objektom kao što je topološki prostor ili grupa.

Kohomologija

Glavni članak: Kohomologija

U teoriji homologije i algebarskoj topologiji, kohomologija je opšti termin za niz abelovih grupa definisanih iz kolančanog kompleksa. To jest, kohomologija je definisana kao apstraktno proučavanje kolanaca, kociklusa i kogranica. Kohomologija se može posmatrati kao metod dodeljivanja algebarskih invarijanti topološkom prostoru koji ima prefinjeniju algebarsku strukturu od homologije. Kohomologija proizilazi iz algebarske dualizacije konstrukcije homologije. U manje apstraktnom jeziku, kolanci u fundamentalnom smislu treba da pripisuju 'količine' lancima teorije homologije.

Mnogostrukost

Glavni članak: Mnogostrukost

Mnogostrukost je topološki prostor koji u blizini svake tačke podseća na Euklidov prostor. Primeri uključuju ravan, sferu i torus, koji se svi mogu realizovati u tri dimenzije, ali i Klajnova boca i realna projektivna ravan koja se ne može ugraditi u tri dimenzije, ali se može ugraditi u četiri dimenzije. Tipično, rezultati u algebarskoj topologiji se fokusiraju na globalne, nediferencirajuće aspekte mnogostrukosti; na primer Poenkareov dualitet.

Teorija čvorova

Glavni članak: Teorija čvorova

Teorija čvorova je proučavanje matematičkih čvorova. Dok je inspirisan čvorovima koji se pojavljuju u svakodnevnom životu u pertlama i konopcu, matematički čvor se razlikuje po tome što su krajevi spojeni tako da se ne može rasplesti. Preciznim matematičkim jezikom, čvor je ugrađivanje kruga u 3-dimenzionalni euklidski prostor, $\mathbb {R} ^{3}$. Dva matematička čvora su ekvivalentna ako se jedan može transformisati u drugi putem deformacije $\mathbb {R} ^{3}$ na sebi (poznato kao ambijentalna izotopija); ove transformacije odgovaraju manipulacijama vezanim nizom koje ne uključuju presecanje niti ili provlačenje niza kroz sebe.

Kompleksi

Glavni članci: Simplicijalni kompleks i CW kompleks

Simplicijalni 3-kompleks.

Simplicijalni kompleks je topološki prostor određene vrste, konstruisan „lepljenjem“ tačaka, segmenata pravih, trouglova i njihovih n-dimenzionalnih parnjaka (vidi ilustraciju). Simplicialne komplekse ne treba mešati sa apstraktnijim pojmom simplicijalnog skupa koji se pojavljuje u savremenoj teoriji simplicijske homotopije. Čisto kombinatorni pandan simplicijalnom kompleksu je apstraktni simplicijski kompleks.

CW kompleks je tip topološkog prostora koji je uveo Dž. H. K. Vajthed da bi zadovoljio potrebe teorije homotopije. Ova klasa prostora je šira i ima neka bolja kategorička svojstva od simplicijskih kompleksa, ali i dalje zadržava kombinatornu prirodu koja omogućava računanje (često sa mnogo manjim kompleksom).

Metoda algebarskih invarijanti

Stariji naziv za predmet bio je kombinatorna topologija, što je podrazumevalo naglasak na tome kako je prostor X konstruisan od jednostavnijih (savremeni standardni alat za takvu konstrukciju je CW kompleks). Tokom 1920-ih i 1930-ih, sve je veći naglasak na istraživanju topoloških prostora pronalaženjem korespondencije između njih sa algebarskim grupama, što je dovelo do promene imena u algebarsku topologiju. Naziv kombinatorne topologije se još uvek ponekad koristi da bi se naglasio algoritamski pristup zasnovan na dekompoziciji prostora.

U algebarskom pristupu pronalazi se korespondencija između prostora i grupa koja poštuje odnos homeomorfizma (ili opštije homotopije) prostora. Ovo omogućava da se izjave o topološkim prostorima preoblikuju u iskaze o grupama, koje imaju veliku strukturu kojom se može upravljati, što često čini ove izjave lakšima za dokazivanje. Dva glavna načina na koja se to može uraditi su kroz fundamentalne grupe, ili uopštenije homotopijske teorije, i kroz homološke i kohomološke grupe. Fundamentalne grupe daju osnovne informacije o strukturi topološkog prostora, ali su često neabelovske i može biti teško raditi sa njima. Osnovna grupa (konačnog) simplicijskog kompleksa ima konačnu prezentaciju.

Homološke i kohomološke grupe, s druge strane, su abelove i u mnogim važnim slučajevima konačno generisane. Konačno generisane abelove grupe su potpuno klasifikovane i sa njima je posebno lako raditi.

Literatura

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-002655-1. .
• Allegretti, Dylan G. L. (2008), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem  (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
• Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3 .
• Brown, R. (2007), Higher dimensional group theory, Arhivirano iz originala 14. 05. 2016. g., Pristupljeno 17. 07. 2022 CS1 održavanje: Nepodoban URL (veza) (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
• Brown, R.; Razak, A. (1984), „A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces”, Arch. Math., 42: 85—88, S2CID 122228464, doi:10.1007/BF01198133 . "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
• Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002), „The homotopy double groupoid of a Hausdorff space”, Theory Appl. Categories, 10 (2): 71—93 .
• Brown, R.; Higgins, P.J. (1978), „On the connection between the second relative homotopy groups of some related spaces”, Proc. London Math. Soc., S3-36 (2): 193—212, doi:10.1112/plms/s3-36.2.193 . "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
• Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-083-8, arXiv:math/0407275 , Arhivirano iz originala 2009-06-04. g.  This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd izd.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Greenberg, Marvin J.; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition, Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576 . A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 . A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
• Higgins, Philip J. (1971), Notes on categories and groupoids, Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061 
• Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4 .
• tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology, EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7 
• van Kampen, Egbert (1933), „On the connection between the fundamental groups of some related spaces”, American Journal of Mathematics, 55 (1): 261—7, JSTOR 51000091 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Algebraic topology”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. Pristupljeno 2008-09-27.  Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.
• Ronald Brown, `Groupoids and crossed objects in algebraic topology', Homology, Homotopy and Applications, 1 (1999) 1–78.
• Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen”, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich .
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Homotopy group”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche”, Mathematische Annalen, 104 (1): 637—665, doi:10.1007/BF01457962 .
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timothy (1997). Abstract homotopy and simple homotopy theory. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. ISBN 981-02-1602-5. MR 1464944. doi:10.1142/9789812831989. 
• Toda, Hiroshi (1962). Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. MR 0143217. 
• Whitehead, George William (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. 61 (3rd izd.). New York-Berlin: Springer-Verlag. str. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508. 
• van den Berg, J.B.; Ghrist, R.; Vandervorst, R.C.; Wójcik, W. (2015). „Braid Floer homology” (PDF). Journal of Differential Equations. 259 (5): 1663—1721. Bibcode:2015JDE...259.1663V. S2CID 16865053. doi:10.1016/j.jde.2015.03.022 . 
• Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. CiteSeerX 10.1.1.716.3210 . doi:10.1137/130906556. 
• Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171. 
• Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ur. (2010), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 9781400830398 .
• Hatcher, A. (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 . Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• Hilton, Peter (1988), „A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century”, Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, 60 (5): 282—291, JSTOR 2689545, doi:10.1080/0025570X.1988.11977391 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University .
• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraic Topology, Springer, str. 155, ISBN 0-387-90646-0 .
• Stillwell, John (1993), Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, ISBN 978-0-387-97970-0, doi:10.1007/978-1-4612-4372-4_6 .
• Teicher, M., ur. (1999), The Heritage of Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225 
• Weibel, Charles A. (1999), „28. History of Homological Algebra” (PDF), Ur.: James, I. M., History of Topology, Elsevier, ISBN 9780080534077 .
• Dieudonné, Jean (1989), History of Algebraic and Differential Topology, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X, MR 0995842 
• Dold, Albrecht (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602 
• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952), Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, ISBN 9780691627236, MR 0050886 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157 
• Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Cohomology”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278 
• Switzer, Robert (1975), Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836 
• Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables”, Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17—86, MR 0061823, doi:10.1007/BF02566923 

Spoljašnje veze

• [1] N.J. Windberger intro to algebraic topology, last six lectures with an easy intro to homology
• [2] Algebraic topology Allen Hatcher - Chapter 2 on homology
• Homology group at Encyclopaedia of Mathematics