Amperov zakon

U klasičnom elektromagnetizmu, Amperov zakon, otkriven od strane Andre-Mari Ampera (po kome je nazvana jedinica za merenje električne struje) 1826. godine, definiše odnos integrala magnetnog polja kroz zatvorenu konturu i struje koja prolazi kroz istu konturu. Džejms Klerk Maksvel je izveo zakon ponovo koristeći hidrodinamiku u svom radu iz 1861. godine koji je sada poznat kao jedan od Maksvelovih jednačina koje formiraju osnovu klasične fizike i elektromagnetizma.

Originalni Amperov zakon

Električna struja proizvodi magnetno polje.

Zakon definiše odnos magnetnih polja i električnih struja koje ih proizvode. Koristeći Amperov zakon, moguće je odrediti magnetno polje koje nastaje prilikom prolaska određene struje ili struju koja nastaje usled delovanja magnetnog polja, pod uslovom da električno polje nije vremenski promenljivo. U svojoj istorijskoj originalnoj formi, Amperov zakon definiše magnetno polje koje nastaje kao proizvod struje. Zakon je moguće napisati u dva oblika, u formi integrala ili u diferencijalnoj formi. Oba izraza su ekvivalentna i povezana Kelvin-Stouks-ovom teoremom. Moguće ga je takođe zapisati preko B ili H vektora magnetnog polja. Opet, obe verzije su ekvivalentne. (pogledati dokaz ispod)

Amperov zakon je danas poznat kao tačan zakon fizike u magnetostatičkim slučajevima. U svim ostalim slučajevima zakon nije tačan ukoliko se ne koriste Maksvelove korekcije (pogledati ispod).

Amperov zakon u formi integrala

U SI sistemu jedinica, integralna forma originalnog Amperovog zakona je linijski integral magnetnog polja oko neke zatvorene putanje C (proizvoljna ali mora biti zatvorena). Kriva C sadrži površinu S kroz koju prolazi električna struja (opet proizvoljna) i obuhvata struju. Matematički izraz zakona je relacija između ukupnog magnetnog polja oko neke putanje (integral duž linije) zbog struje koja prolazi kroz tu zatvorenu putanju (integral površine). Može biti napisan na više načina.

Integral magnetnog polja duž dužine provodnika (izražen u T - Tesla) oko zatvorene krive C je proporcionalan ukupnoj struji (koja podrazumeva slobodne i vezane struje)I_enc koja prolazi kroz površinu S (oivičenu krivom C)

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$

gde je J ukupna gustina struje izražena u Amperima po kvadratnom metru, Am⁻²

Alternativno izraženo preko termina "slobodne struje", integral magnetnog polja (izraženog u Amperima po metru, Am⁻¹) oko zatvorene krive C jednak je slobodnoj struji I_{f, enc} kroz površinu S:

$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\mathbf {J} _{\mathrm {f} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I_{\mathrm {f,enc} }$

gde je J_f gustina samo slobodne struje. Sledi

• $\scriptstyle \oint _{C}$ je zatvoreni integral po zatvorenoj krivoj C,
• $\scriptstyle \iint _{S}$ označava 2-dimenzionalni integral po površini S zatvorenoj krivom C
• • je proizvod vektora,
• dℓ je infinitezimalni element krive C (tj. vektor sa intenzitetom jednakom dužini infinitezimalnog elementa krive, i smerom određenim tangentom na krivu C)
• dS je vektorski prostor infinitezimalnog elementa površine S (tj. vektor sa intenzitetom jednakim površini infinitezimalnom delu površine, i smerom upravnim na površinu S. Smer normale mora da odgovara orijentaciji krive C , pravilom desne ruke. Videti ispod detaljniji opis krive C i površine S.

Polja B i H su povezana jednakošću

$\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,\!$

gde je μ₀ magnetska konstanta.

Postoji niz dvoznačnosti i nejasnoća u prethodnim definicijama koje zahtevaju obrazloženje i izbor konvencije.

1. Prvo, tri faktora su povezana sa dvoznačnošću znaka ispred njih: integral $\textstyle \oint _{C}$ može da se kreće oko konture u oba smera (u smeru kazaljke na satu ili obrnuto); vektor površine dS može da pokazuje na dve različite normale na površinu, i I_enc je ukupna struja koja prolazi kroz površinu S, što znači struja koja prolazi kroz površinu u jednom smeru minus struja koja prolazi u suprotnom smeru - ali oba smera mogu biti uzeta za pozitivan. Ove dvoznačnosti se rešavaju pravilom desne ruke - okretanjem dlana desne ruke prema površini nad kojom se vrši integracija, i kažiprstom koji je usmeren duž smera po kome se vrši integracija, palac pokazuje na smer koji mora biti odabran za vektor površine dS. Takođe, struja koja se kreće u istom smeru kao i vektor površine dS mora da se računa kao pozitivna.
2. Drugo, postoji beskonačno mnogo mogućih površina S koje imaju krivu C kao svoju granicu površine. (zamislite mehur sapuna na kružnoj žici koji može da se deformiše pomeranjem žice kroz vazduh). Koju od ovih površina odabrati? Odgovor je da nije bitno, bilo koja od površina ograničena konturom C može da se odabere.

Amperov zakon u diferencijalnoj formi

Po Stouksovoj teoremi, ova jednačina može biti zapisana i u diferencijalnoj formi. Opet, ova jednačina važi samo u slučaju da je električno polje vremenski konstantno, značeći da su struje nepromenljive (ne menjaju se u vremenu, inače bi se magnetno polje takođe menjalo u vremenu); pogledaj dole opštiju formu. U SI sistemu jedinica, jednačina daje za ukupnu struju:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$

i za slobodne struje

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}$

gde je ∇× Kurl-ov operator.

Odnos slobodnih i vezanih struja

Električna struja koja potiče od najprostijeg primera iz knjige bi bila klasifikovana kao slobodna struja. Npr. struja koja prolazi kroz žicu ili bateriju. Suprotno tome, vezana struja potiče od materijala koji mogu biti namagnetisani i/ili polarizovani. (svi materijali mogu donekle)

Kada je materijal namagnetisan (npr. postavljanjem u spoljno magnetno polje), elektroni ostaju vezani za svoje atome, ali se ponašaju kao da se rotiraju oko jezgara u određenom smeru, stvarajući mikroskopske struje. Kada se struje od svih ovih atoma saberu, one stvaraju isti efekat kao makroskopske struje, neprestano rotirajući oko namagnetisanih objekata. Ova struja magnetizacije J_M je jedan od priloga vezanim strujama.

Drugi izvor vezanih struja je vezano naelektrisanje. Kada se primeni električno polje, pozitivna i negativna vezana naelektrisanja mogu da se raziđu na atomskim udaljenostima u polarizabilnim materijalima, i kada se vezana naelektrisanja pokrenu, polarizacija se promeni, kreirajući još jedan doprinos vezanim strujama, polarizacionu strujuJ_P.

Ukupna gustina struje J je zbog slobodnih i vezanih naelektrisanja jednaka:

$\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{M}}+\mathbf {J} _{\text{P}}$

gde je J_f gustina slobodnih struja.

Sve struje su u osnovi iste, mikroskopski posmatrano. Ipak, postoje praktični razlozi za tretiranje vezanih struja drugačije od slobodnih struja. Na primer, vezane struje najčešće potiču na atomskom nivou, a neko npr. želi da koristi jednostavniju teoriju koja je namenjena većim dimenzijama. Rezultat je da se sitnije posmatrani Amperov zakon, izražen preko B i mikroskopske struje (koja uključuje slobodnu, struju namagnetisanja i polarizacije), ponekada posmatra u ekvivalentnoj formi prikazanoj kasnije preko magnetnog polja H i samo slobodnih struja. Za detaljniju definiciju slobodnih struja, i dokaz da su dve formulacije ekvivalentne, pogledati sekciju Dokaz ekvivalentnosti.

Nedostaci originalne formulacije Amperovog zakona

Postoje dva važna problema koja se tiču Amperovog zakona koja zahtevaju bliže ispitivanje. Prvo, postoji problem u vezi sa jednačinom kontinuiteta za naelektrisanja. Postoji teorema u vektorskoj matematici koja kaže da divergencija uvojka mora biti 0. Sledi

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0$

tako da originalan Amperov zakon tvrdi da

$\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$

Ali uopšteno

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

čija vrednost nije jednaka nuli za vremenski promenljivu gustinu naelektrisanja. Primer se javlja u kolu sa kondenzatorom gde vremenski promenljive gustine naelektrisanja postoje na pločama kondenzatora.

Drugo, postoji problem u vezi propagacije elektromagnetnih talasa. Na primer u slobodnom prostoru gde je

$\mathbf {J} =\mathbf {0} .$

Amperov zakon tvrdi da je

$\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0}$

ali umesto toga

$\nabla \times \mathbf {B} =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Da bi se rešile ovakve situacije, dodatni efekat zamenskih struja mora biti dodat u Amperov račun.

Džejms Klerk Maksvel je začeo ideju zamenskih struja struja kao polarizacionih struja u moru vrtloga unutar dielektrika, koje je iskoristio da modeluje magnetno polje hidrodinamički i mehanički.

Zamenske struje

Glavni članak: Zamenske struje

U slobodnom prostoru, zamenska struja je proporcionalna brzini promene električnog polja.

U dielektriku je takođe prisutna zamenska struja, ali glavni doprinos zamenskoj struji je povezan sa polarizacijom pojedinačnih molekula dielektričnog materijala. Iako naelektrisanja ne mogu da slobodno teku u dielektriku, naelektrisanja u molekulima mogu da se pomeraju malo usled uticaja električnog polja. Pozitivna i negativna naelektrisanja u molekulu se razdvajaju pod uticajem elektirčnog polja, izazivajući povećanje stanja polarizacije, izražena preko gustine polarizacije P. Promenljivo stanje polarizacije je ekvivalentno struji.

Oba doprinosa zamenskim strujama se kombinuju definišući zamensku struju:

$\mathbf {J} _{\text{D}}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,\ t)\ ,$

gde je električno zamensko polje definisano kao:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}\mathbf {E} \ ,$

gde je ε₀ električna konstanta, ε_r je relativna statička permitivnost, i P je gustina polarizacije. Zamenjujući ovu jednačinu za D u izrazu za zamenske struje, dobijamo dve komponente:

$\mathbf {J} _{\mathrm {D} }=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.$

Prva komponenta sa desne strane je prisutna svuda, čak i u vakuumu. Ona ne uključuje nikakvo stvarno pomeranje naelektrisanja, ali uprkos tome poseduje magnetno polje, kao da je prava struja. Neki autori zamenskim strujama zovu samo ovu komponentu.

Drugi član sa desne strane je zamenska struja koju je prvobitno plasirao Maksvel, koja je povezana sa polarizacijom pojedinačnih molekula dielektričnog materijala.

Maksvelovo originalno objašnjenje za zamenske struje se odnosilo na situaciju koja se dešava u dielektričnim medijumima. U modernoj post-etar eri, koncept je proširen tako da se odnosi na situacije kada ne postoji materijal, na primer, u vakuumu između naelektrisanih površina vakuumskog kondenzatora. Postojanje zamenske struje je opravdano i danas zato što podržava više zahteva elektromagnetne teorije: ispravno predviđanje magnetnih polja u oblastima gde ne teku slobodne struje; predviđanje prostiranja talasa u elektromagnetnim poljima; i u održavanju naelektrisanja u slučajevima kada se gustina naelektrisanja menja u vremenu. Za šire objašnjenje pogledati zamenske struje.

Proširenje originalnog zakona: Maksvel-Amperova jednačina

Amperova jednačina je proširena uzimajući u obzir polarizacione struje, i na taj način rešavajući ograničenu upotrebljivost originalnog Amperovog zakona.

Tretirajući slobodna naelektrisanja odvojeno od vezanih naelektrisanja, Amperova jednačina zajedno sa Meksvelovom korekcijom u smislu H-polja (H-polje se koristi zato što uračunava struje namagnetisanja, tako da se J_M ne pojavljuje eksplicitno) je

$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

(integralni oblik), gde je H magnetno polje (takođe nazivano intenzitetom magnetnog polja ili samo magnetno polje), D je električno varijabilno polje, i J_f je zatvorena provodna struja ili gustina slobodne struje. U diferencijalnoj formi,

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} \ .$

Sa druge strane, tretirajući sva naelektrisanja na isti način (zanemarujući to da li su vezana ili slobodna naelektrisanja), uopšteni oblik Amperove jednačine nazvan Maksvel-Amperova jednačina, u svom obliku izražen preko integrala

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{S}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

U diferencijalnom obliku,

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \right)$

U oba slučaja J sadrži gustinu struje naelektrisanja kao i provodne i polarizacione gustine struje. Tj. gustina struje sa desne strane Amper-Maksvelove jednačine je:

$\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{D}}+\mathbf {J} _{\text{M}}=\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{P}}+\mathbf {J} _{\text{M}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ ,$

gde je gustina struje J_D premeštajuća struja, i J je doprinos gustini struje koji nastaje zbog naelektrisanja koja se pomeraju, i vezanih i slobodnih. Pošto je ∇ · D = ρ, kontinuitet naelektrisanja koji je bio problem kod originalne formulacije Amperovog zakona, više nije problem. Struja namagnetisanja može da se predstavi kao uvijutak magnetizacije, tako da je njena diverencija jednaka nuli i ona više ne učestvuje kao faktor u jednačini kontinuiteta. Zbog ε₀∂E / ∂t, propagacija talasa u slobodnom prostoru je sada moguća.

Sa dodatkom zamenskih struja, Maksvel je bio u stanju da izvede tačnu hipotezu da je svetlo oblik elektromagnetnih talasa.

Dokaz ekvivalencije

Dokaz da su formulacije Amperovog zakona koje posmatraju samo slobodne struje ekvivalentne formulacijama koje koriste ukupnu struju.

U ovom dokazu, pokazaćemo da je jednačina $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ekvivalentna jednačini $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} /\mu _{0}=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ Primetite da se samo bavimo diferencijalnim oblikom, ne integralnim, ali to je dovoljno s obzirom da su diferencijalni i integralni oblik ekvivalentni preko Kevin-Stoks'ove teoreme. Uvodimo gustinu polarizacije P, koja ima sledeću relaciju sa E i D: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ Zatim uvodimo gustinu namagnetisanjaM, koja ima sledeću relaciju sa B and H: $\mathbf {B} /\mu _{0}=\mathbf {H} +\mathbf {M}$ i sledeću relaciju sa vezanim strujama: $\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\ ,$ $=\mathbf {J} _{\mathrm {M} }+\mathbf {J} _{\mathrm {P} }\ ,$ gde $\mathbf {J} _{\mathrm {M} }=\nabla \times \mathbf {M} \ ,$ je nazvan gustinom struje namagnetisanja, i $\mathbf {J} _{\mathrm {P} }={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\ ,$ je gustina polarizacione struje. Uzimajući jednačinu za B: $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} /\mu _{0}=\mathbf {\nabla } \times \left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)$ $=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} +\mathbf {J} _{\text{M}}$ $=\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{P}}+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} _{\text{M}}$ Stoga, sa odnosom na definiciju vezanih struja: $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} /\mu _{0}=\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\mathrm {bound} }+\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ $=\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ ,$ što je i trebalo dokazati.

Amperov zakon u cgs jedinicama

Izražen u centimetar-gram-sekund jedinicama, integralna forma jednačine, uključujući Maksvelovu korekciju glasi

$\oint _{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\iint _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$

gde jec brzina svetla.

Diferencijalni oblik jednačine (opet uključujući Maksvelove korekcije) glasi

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right).$

Vidi još

• Bio-Savarov zakon
• Maksvelove jednačine
• Kapacitivnost

Literatura

• J. Billingham, A. C. King (2006). Wave Motion. Cambridge University Press. str. 179—. ISBN 978-0-521-63450-2. 
• J.C. Slater and N.H. Frank (1969). Electromagnetism (Reprint of 1947 izd.). Courier Dover Publications. str. 83. ISBN 978-0-486-62263-7. 
• Griffiths, David J (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd izd.). Pearson/Addison-Wesley. str. 322—323. ISBN 978-0-13-805326-0. 
• Owen, George E. (2003). op. cit. Mineola, N.Y.: Dover Publications. str. 285. ISBN 978-0-486-42830-7. 
• Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (3rd izd.). Wiley. str. 238. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Griffiths, David J (1999). Introduction to Electrodynamics (3rd izd.). Pearson/Addison-Wesley. str. 322—323. ISBN 978-0-13-805326-0. 
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0810-0. 

Spoljašnje veze

• Simple Nature by Benjamin Crowell Архивирано на сајту Wayback Machine (3. јун 2011) Ampere's law from an online textbook
• MISN-0-138 Ampere's Law (PDF file) by Kirby Morgan for Project PHYSNET.
• MISN-0-145 The Ampere–Maxwell Equation; Displacement Current (PDF file) by J.S. Kovacs for Project PHYSNET.
• The Ampère's Law Song (PDF file) by Walter Fox Smith; Main page, with recordings of the song.
• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864