Belovi polinomi

Belovi polinomi su značajni u kombinatorici, a oblika su:

$B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

$=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

U gornjem izrazu sumira se po svim nizovima j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 pozitivnih brojeva tako da je

$j_{1}+j_{2}+\cdots =k$ i $j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots =n.$

Belovi polinomi nazvani su u čast američkoga matematičara Erika Templa Bela.

Potpuni Belovi polinomi

Potpuni Belovi polinomi se nazivaju sume Belovih polinoma oblika:

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

Za razliku od njih polinomi $B_{n,k}$ nazivaju se parcijalnim Belovim polinomima. Potpuni Belovi polinomi mogu da se predstave i preko determinante tj:

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\*1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.$

Značaj u kombinatorici

Belovi parcijalni polinomi $B_{n,k}$ pokazuju na koliko se načina neki broj n može prikazati kao suma k različitih brojeva. Npr:

$B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}$

pokazuje da ima

15 načina da se skup od 6 prikaže kao 4 + 1 + 1,

60 načina da se skup od 6 prikaže kao 3 + 2 + 1, i

15 načina da se skup od 6 prikaže kao 2 + 2 + 2.

Svojstva

$B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!$

U slučaju kada su svi x_i jednaki 1 Belovi polinomi $B_{n,k}(x_{1},x_{2},..)$ su onda jednaki Stirlingovim brojevima druge vrste:

$B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.$

Suma takvih Belovih polinoma predstavlja n-ti Belov broj:

$\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,1,\dots )=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}$

Belovi polinomi se susreću i u sledećoj formuli razvoja u red:

$\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.$

Polinomni niz

Za niz brojeva a₁, a₂, a₃, …pretpostavimo:

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.$

Taj niz je binomnoga tipa, tj zadovoljava:

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)$ za n ≥ 0.

Literatura

• Comtet, Louis (1974). Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company. 
• Andrews, George E. (1998). The Theory of Partitions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63766-4.