Binomna teorema

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Skoči na: navigacija, pretraga
Binomni koeficijenti se pojavljuju kao elementi Paskalovog trougla.

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)n sumom sabiraka oblika axbyc, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i y jednak n za svaki sabirak. Na primer:

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz xnkyk jednak broju različitih kombinacija k elemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule[uredi]

Koeficijent koji stoji uz xnkyk dat je formulom:

{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme[uredi]

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:


\begin{align}
(x+y)^n & = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + {n \choose 3}x^{n-3}y^3 + \cdots \\
& {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,
\end{align}

gde  \tbinom nk označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k.


Spoljašnje veze[uredi]

Vikiostava
Vikimedijina ostava ima još multimedijalnih datoteka vezanih za: Binomna teorema