Binomna teorema

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Binomni koeficijenti se pojavljuju kao elementi Paskalovog trougla.

Binomna teorema je teorema elementarne algebre i opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Po ovoj teoremi, moguće je predstaviti izraz (x + y)n sumom sabiraka oblika axbyc, gde su koeficijenti a pozitivni celi brojevi, pri čemu je zbir eksponenata x i y jednak n za svaki sabirak. Na primer:

Koeficijenti koji se pojavljuju u binomnom razvoju nazivaju se binomni koeficijenti. Oni su identični brojevima koji se pojavljuju u Paskalovom trouglu. Ovi brojevi se mogu izračunati jednostavnom formulom koja koristi faktorijel.

Isti ovi koeficijenti se javljaju u kombinatorici, gde je izraz xnkyk jednak broju različitih kombinacija k elemenata koji se biraju iz skupa od n članova.

Formule[uredi]

Koeficijent koji stoji uz xnkyk dat je formulom:

koja je definisana uz pomoć funkcije faktorijela n!. Ova formula se može napisati i na sledeći način:

gde su k faktori i u imeniocu i u brojiocu razlomka. Iako se u ovoj formuli koristi razlomak, binomni koeficijenti su celi brojevi.

Iskaz teoreme[uredi]

Svaki stepen izraza x + y moguće je predstaviti u formi:

gde označava odgovarajući binomni koeficijent. Drugi način zapisivanja ove formule je:


Spoljašnje veze[uredi]