Borel-Lebegova lema

Pored naziva Borel-Lebegova lema/teorema, alternativni naziv koji se koristi je i Hajne-Borelova teorema. Lema nosi naziv po francuskim matematičarima Emilu Borelu i Henriju Lebegu, odnosno Edvardu Hajneu.

U specijalnom slučaju, lema opisuje jedno važno svojstvo odsečaka realne prave, dok u opštem smislu podrazumeva svojstvo kompaktnosti metričkih prostora.

Definicija

Borel-Lebegova lema: Iz svakog pokrivača otvorenim intervalima, odsečka realne prave $[a,b]$, može se izdvojiti konačan potpokrivač.

Dokaz

Označimo sa $X$ skup svih onih tačaka $x$ za koje važi da se odsečak $[a,x]$ može pokriti konačnim brojem otvorenih intervala. Taj skup $X$ očigledno nije prazan, jer mu pripada najpre tačka $a$ koja prema uslovima tvrđenja mora pripadati nekom otvorenom intervalu. Potrebno je dokazati da i tačka $b$ pripada skupu $X$.

Pošto skup $X$ nije prazan i ograničen je odozgo, on mora imati supremum. Neka je $y$ njegov supremum. Ako pretpostavljamo da tačka $b$ ne pripada tom skupu, onda je $x\leq y\leq b$, te i $y$ pripada odsečku $[a,b]$, pa kao i svaka tačka tog segmenta, i $y$ pripada nekom otvorenom intervalu $(\alpha ,\beta )$. Tada za neko $x$ važi: $\alpha \leq x\leq y$, jer bi inače to $x$ bilo supremum skupa $X$.

Interval $(\alpha ,\beta )$ možemo pridružiti skupu $X$, zato što je moguće i odsečak $[a,y]$ prekriti sa konačnim brojem otvorenih intervala. Međutim, ako bi bilo $y\neq b$, tada bi se između $y$ i $b$ našlo još članova skupa $X$ zbog otvorenosti intervala $(\alpha ,\beta )$, što je u suprotnosti sa time da je $y$ supremum skupa $X$. Zbog toga, i $b$ pripada skupu $X$, čime smo dokazali da se odsečak $[a,b]$ može prekriti sa konačnim brojem otvorenih intervala, što je i tvrđenje leme.

Vidi još

• Kompaktnost
• Bolcano-Vajerštrasova teorema
• Pokrivač

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.