Vijetova formula

Za drugu upotrebu, pogledajte članak Vijetove formule.

Vijetova formula, odštampana u šestoj knjizi Vijetovog Variorum de rebus mathematicis responsorum (1593)

U matematici, Vijetova formula (franc. formule de Viète) je sledeći beskonačni proizvod uklopljenih radikala koji predstavljaju dvostruku recipročnu vrednost matematičke konstante π:

$${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$$

Ona se takođe može predstaviti ovako:

$${\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}$$

Formula je nazvana po Fransoa Vijetu, koji ju je objavio 1593. Kao prvoj formuli evropske matematike koja predstavlja beskonačni proces, može joj se priznati pravi smisao granične vrednosti i označiti početkom matematičke analize. Ona ima linearnu konvergenciju i može se koristiti za izračunavanje π, ali su se i ranije i sadašnje metode pokazale preciznijim. Takođe se koristila za računanje ponašanja sistema opruga i masa i kao primer pojma statističke nezavisnosti.

Formula se može izvesti sabijanjem proizvoda ili obima ili površine uklopljenih mnogouglova koji konvergiraju u krug. Alternativno, ponovo korišćenje formule polovine ugla iz trigonometrije dovodi do uopštene formule koju je otkrio Leonard Ojler i u kojoj je Vijetova formula specijalni slučaj. Mnogo sličnih formula koje sadrže uklopljene korene ili beskonačne proizvode sada su poznate.

Značaj

Fransoa Vijet (1540–1603) je bio francuski advokat, državni savetnik dvojice francuskih kraljeva i matematičar amater. On je ovu formulu objavio 1593. godine u šestoj knjizi svog dela Variorum de rebus mathematicis responsorum. U to vreme su metode za zaokrugljivanje π (u principu) arbitrarne preciznosti dugo bile poznate. Vijetova sopstvena metoda može se tumačiti kao varijacija Arhimedove ideje za zaokrugljivanje obima kruga obimom kompleksnog mnogougla koju je on koristio da dođe do približne vrednosti

$${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}.$$

Objavljivanjem svoje metode u vidu formule Vijet je formulisao prvi poznati slučaj beskonačnog proizvoda u matematici i prvi primer konkretne formule za tačnu vrednost π. Kao prvo predstavljanje broja u vidu rezultata beskonačnog procesa umesto konačne računice, Eli Maor ističe da Vijetova formula označava početak matematičke analize, a Džonatan Borvajn njenu pojavu naziva „buđenjem moderne matematike“.

Koristeći svoju formulu Vijet je izračunao π sa preciznošću od devet cifara. Međutim, to nije bila najtačnija približna vrednost π u to vreme, jer je persijski matematičar Džamšid Al Kaši 1424. godine izračunao π sa preciznošću od devet seksagezimalnih i 16 decimalnih cifara. Nedugo nakon što je Vijet objavio svoju formulu, Ludolf van Cojlen je iskoristo metodu sličnu Vijetovoj da izračuna 35 cifara π, što je objavljeno tek nakon van Cojlenove smrti 1610.

Pored svog matematičkog i istorijskog značaja, Vijetova formula se može iskoristiti za objašnjenje različitih brzina talasa različitih frekvencija u beskrajnom lancu opruga i masa i za pojavu π u ograničavajućem ponašanju tih brzina. Uz to, izvođenje ove formule kao proizvoda integrala uključenih u Rademaherov sistem, jednakog integralima proizvoda istih funkcija, pruža dobar primer za pojam statističke nezavisnosti.

Tumačenje i konvergencija

Vijetova formula se može ponovo napisati i shvatiti kao granični izraz

$$\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{2}}={\frac {2}{\pi }}$$

gde je

$${\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {2}}\\a_{n}&={\sqrt {2+a_{n-1}}}.\end{aligned}}$$

Za svaki izbor $n$, izraz u granici je konačni proizvod, a kako se $n$ arbitrarno povećava ti konačni proizvodi dobijaju vrednosti koje se arbitrarno blisko približavaju vrednosti Vijetove formule. Vijet je svoje delo napisao mnogo pre nego što su se pojmovi granica i detaljni dokazi konvergencije razvili u matematici; prvi dokaz da ta granica postoji nije dat sve do dela Ferdinanda Rudija iz 1891.

Poređenje konvergencije Vijetove formule (×) i nekoliko istorijskih beskonačnih redova za π. S_n je približna vrednost pošto je uzet član n. Svaki naredni sporendni slučaj uvećava osenčanu oblast horizontalno 10 puta.

Stopa konvergencije granice određuje broj članova izraza koji su potrebni za postizanje tačnosti datog broja cifara. U Vijetovoj formuli, broj članova i cifara je proporcionalan: proizvod prvih $n$ članova u granici daje izraz za π koji je jednak približno 0.6$n$ cifara. Ova stopa konvergencije se veoma povoljno poredi sa Volisovim proizvodom, kasnijoj formuli beskonačnog proizvoda za π. Iako je Vijet iskoristio svoju formulu da izračuna π sa preciznošću od samo devet cifara, izmenjena verzija njegove formule se koristila za izračunavanje stotine hiljada cifara π.

Srodne formule

Vijetova formula se može dobiti kao specijalan slučaj sinc-funkcije koja se više od jednog veka kasnije često pripisivala Leonardu Ojleru:

$${\frac {\sin x}{x}}=\cos {\frac {x}{2}}\cdot \cos {\frac {x}{4}}\cdot \cos {\frac {x}{8}}\cdots$$

Zamenom x = π/2 u ovoj formuli dobija se:

$${\frac {2}{\pi }}=\cos {\frac {\pi }{4}}\cdot \cos {\frac {\pi }{8}}\cdot \cos {\frac {\pi }{16}}\cdots$$

Onda, izražavanjem svakog člana proizvoda desno kao funkciju ranijih članova, koristeći formulu polovine ugla:

$$\cos {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}$$

dobija se Vijetova formula.

Takođe je moguće iz Vijetove formule izvesti sličnu formulu za π koja i dalje sadrži uklopljene kvadratne korene broja dva, ali se množenje koristi samo jednom:

$$\pi =\lim _{k\to \infty }2^{k}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}}}} _{k{\text{ square roots}}},$$

što bi se konciznije moglo napisati kao

$${\begin{aligned}\pi &=\lim _{k\to \infty }2^{k}{\sqrt {2-a_{k}}}\\[5px]a_{1}&=0\\a_{k}&={\sqrt {2+a_{k-1}}}.\end{aligned}}$$

Mnogo formula za π i druge konstante poput zlatnog preseka sada su poznate i one su slične Vijetovoj po tome što koriste ili uklopljene radikale ili beskonačne proizvode trigonometrijskih funkcija.

Izvođenje

Niz pravilnih mnogouglova, čiji je broj stranica jednak stepenima dvojke, upisan je u krug. Odnosi površina ili obima uzastopnih mnogouglova u nizu čine članove Vijetove formule.

Vijet je do svoje formule došao poređenjem površina pravilnih mnogouglova sa 2ⁿ i 2^{n + 1} stranicama upisanim u krug. Prvi član proizvoda, √2/2, jeste odnos površina kvadrata i osmougla, drugi je odnos površina osmougla i šesnaestougla itd. Stoga se proizvod teleskopira da bi dao odnos površina kvadrata (početnog mnogougla u nizu) krugu (ograničavajućem primeru 2ⁿ-ugla). Alternativno, uslovi u proizvodu se mogu tumačiti kao odnosi obima istog niza mnogouglova, počevši od odnosa obima dvougla (poluprečnik kruga ubrojen dva puta) i kvadrata, odnosa obima kvadrata i osmougla itd.

Drugačije izvođenje je moguće na osnovu trigonometrijskih identiteta i Ojlerove formule. Koristeći formulu za dupli ugao u više navrata

$$\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}},$$

dobijamo dokaz matematičkom indukcijom da je za svako pozitivno celobrojno $n$

$$\sin x=2^{n}\sin {\frac {x}{2^{n}}}\left(\prod _{i=1}^{n}\cos {\frac {x}{2^{i}}}\right).$$

Član 2ⁿ sin x/2ⁿ u granici dostiže x dok $n$ ide u beskonačnost, iz čega sledi Ojlerova formula. Vijetova formula se može dobiti iz ove formule zamenom x = π/2.

Spoljašnje veze

• Šesta knjiga Vijetovog Variorum de rebus mathematicis responsorum (1593). Formula se nalazi na drugoj polovini 30. stranice.