Geometrija

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Ilustracija Dezargove teoreme, važnog rezultata u Euklidovoj i projektivnoj geometriji

Geometrija (grčki: γεω = zemlja, μετρεω = merim, te geometria = zemljomerstvo) je grana matematike koja se bavi proučavanjem osobina i međusobnih odnosa prostornih oblika tj. geometrijskih tela, površina, linija i tačaka. U svom prvobitnom značenju geometrija se shvatala kao nauka o figurama, o uzajamnom položaju i razmerama njihovih delova, i takođe o transformisanju figura.

Geometrija je nastala nezavisno u više ranih kultura kao praktični način za rukovanje sa dužinama, površinama, i zapreminama.[1] Geometrija je počela da poprima elemente formalne matematičke nauke na zapadu još u 6. veku p. n. e.[2] Do 3. veka p. n. e, geometriju je Euklid stavio u aksiomatsku formu, čiji tretman, Euklidovih elemenata,[3] je uspostavio standard za mnoge vekove koji su sledili.[4] Geometija se nezavisno razvila u Indiji, u vidu tekstova koji su sadržali pravila za geometrijske konstrukcije još u 3. veku p. n. e.[5] Islamski naučnici su sačuvali Grčke ideje i proširili ih tokom Srednjeg veka.[6] Do ranog 17. veka, geometrija je bila stavljena na snažnu osnovu radom matematičara kao što su Rene Dekart i Pjer de Ferma. Od tada, u tokom modernog vremena, geometrija je proširena u neeuklidijsku geometriju i mnogobraznosti,.[7] kojima se opisuju prostori koji leže izvan normalnog opsega ljudskog iskustva.[8]

Mada je geometrija znatno evoluirala tokom vremena, postoje izvesni opšti koncepti koji su manje ili više fundamentalni za geometriju. Oni obuhvataju koncepte tačaka, linija, ravni, površina, uglova, i krivih, kao i napredniji pojmovi mnogobraznosti i topologije ili metrici.[9]

Savremena geometrija ima mnoštvo potpolja:

Geometrija ima primene u mnogim poljima, uključujući umetnost, arhitekturu, fiziku, kao i druge grane matematike.

Istorijski razvoj geometrije[uredi]

Evropljanin i arapin praktikuju geometriju u 15. veku.

Istorija geometrije seže do antičkog doba,[14][15] ali je njena kolevka nesumnjivo Istok. Razvoj geometrije se može podeliti na četiri perioda, čije je granice nemoguće obeležiti određenim datumima:

  1. period nastanka, do oko V veka pre nove ere;
  2. period sistematskog izlaganja, antička Grčka;
  3. analitička geometrija, od nastanka kapitalizma u Evropi;
  4. izgradnja neeuklidskih geometrija, do danas.

Period nastanka[uredi]

Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu,[16][17][18] Vaviloniji.[19] i Grčkoj u vezi sa razvojem kulture premeravanja tla. Otuda i potiče naziv geometrije.

Egipćani su razvili induktivan metod zaključivanja - od pojedinačnog ka opštem (npr. primetili su da jedan trougao ima 3 ugla, pa su nacrtali drugi trougao i primetili isto, itd. dok nisu zaključili da svi trouglovi imaju po tri ugla, tada su to uzeli za neku osnovnu vrednost - aksiomu).

Religiozni obredi su bili povezani s konstrukcijom žrtvenika (v. Delski problem), a praktične potrebe ljudi učinile su nužnim da se izmere površine delova zemlje, zapremine sudova i ostava za žetvu. Geometrijska razmatranja i fakta su se u osnovnom svodila na pravila izračunavanja površina i zapremina i treba pretpostaviti da su ova pravila imala više empirijski nego logički karakter.

U VII veku pre nove ere geometrijsko znanje je, po mišljenju grčkih istoričara, preneseno iz Egipta i Vavilonije u Grčku.[2] Oko 4-5 veka p. n. e. grčki filozofi su se počeli upoznavati sa egipatskom i vavilonskom mudrošću. Od tada nastaje drugi period razvoja geometrije, period sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kada se sve tvrdnje (iskazi) dokazuju.

Dogrčka, grčka i savremena etapa[uredi]

U dogrčkoj etapi geometrija je bila empirijska nauka. Mnogobrojne geometrijske činjenice koje su milenijumima pre našeg vremena poznavali stari Egipćani, Vavilonci, Indusi, Kinezi i drugi narodi, dobijene su kao rezultat posmatranja, iskustva, eksperimenta. Praktične metode koje su u toj etapi bile korišćene i danas fasciniraju svojom originalnošću i oštroumnošću. Kao primer možemo izdvojiti slikoviti dokaz Pitagorine teoreme ili eksperimentalno utvrđivanje formule za površinu sfere.[20][21][22]

Grčka etapa: Početkom šestog veka pre naše ere Grci su upoznali geometriju Egipćana i tokom nekoliko vekova razvili je do visokog stepena savršenstva. U Staroj Grčkoj seodigrao postepeni prelaz od praktične ka teorijskoj geometriji. U tom periodu su otkrivene mnogobrojne geometrijske činjenice i što je najvažnije, razrađene su savršene logičke metode i sav geometrijski materijal doveden u skladan sistem, koji je opisao Euklid u svojim Elementima. Metodološko savršenstvo Elemenata je tako veliko da su oni tokom dva milenijuma vršili ogroman uticaj na razvoj geometrije i bili udžbenik geometrije praktično istovremeno u celom svetu.

Početak savremene etape razvoja geometrije vezan je za razradu aksiomatske metode. Sa savremenog gledišta, u osnovi geometrije leži struktura prostora koju određuje neki sistem aksioma. Savremena geometrija daje mogućnost da se razmatraju modeli ne samo fizičkog prostora, već prostora bilo koje strukture, čiji se pojmovi i svojstva uklapaju u geometrijsku šemu.

Period sistematskog izlaganja[uredi]

U ovom periodu su već poznate u Grčkoj Talesove teoreme (VI vek pre nove ere). Tales iz Mileta je putovao u Egipat i tamo od sveštenika upoznao njihove geometrijske i astronomske zaključke o zbiru uglova u trouglu, o upisanom krugu (u trougao) itd.

Grci su razvili novi metod zaključivanja - deduktivan metod (obrnuto od induktivnog - od opšteg ka pojedinačnom). Anaksagora (6. vek pre nove ere) se bavio kvadraturom kruga i perspektivom. Pitagora je otkrio nesamerljive duži (iracionalni brojevi). Pitagora je osnivač čuvene škole „Polukrug“ koja je dala veliki doprinos matematici. Pitagorejci su zaključili da je zbir uglova u trouglu 180 stepeni, otkrili su prvi, treći i četvrti stav podudarnosti trougla, i naravno čuvenu Pitagorinu teoremu: Zbir kvadrata kateta u pravouglom trouglu jednak je kvadratu hipotenuze. iz koje su izvedene mnoge složenije formule. Hipokrat Hionski (5. vek pre nove ere), Pitagorin sledbenik, izložio je sistematski geometriju ("Elementi geometrije") i odredio površinu mesečeva srpa.

Platon i njegov učenik Aristotel (4. vek pre nove ere), ako i nisu ostavili nikakvih dela u geometriji, pridavali su veliki značaj sistemu i osnovama geometrije.[23] Platon je prvi počeo da postavlja aksiome (osnovne zakone, koji se uzimaju pri izvođenju složenijih), međutim u njegovo vreme mnogo aksioma su isključivale jedna drugu, i bilo je veoma teško znati šta je tačno, a šta ne. Tako je geometrija u Grčkoj dostigla onaj stepen kad je postalo nužno da se ona sistematizuje.

Sistematizaciju (elementarne) geometrije je učinio Euklid (3. vek pre nove ere) izloživši je na bazi osnovnih formulacija-aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi, koje obuhvataju 13 tomova.[24][25] Euklid je koristio postulate:

  1. Pretpostavlja se da je moguće da se od svake tačke, do svake druge tačke može povući linija.
  2. Pretpostavlja se da je moguće da se svaka prava, prateći njen pravac, produži neograničeno.
  3. Pretpostavlja se da je moguće da se oko svake tačke u nekoj ravni može opisati krug bilo kojeg prečnika.
  4. Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi među sobom podudarni.
  5. Ako se pravom preseku 2 prave, tako da grade unutrašnje uglove čiji je zbir manji od zbira 2 prava ugla, tada se te dve prave seku sa one strane, sa koje se ti uglovi nalaze.

Posle Euklida javlja se u Grčkoj niz istaknutih matematičara: Arhimed, Apolonije, Eratosten (3. vek stare ere) i drugi, koji su obogatili geometriju novim otkrićima.[26]

Raspad antičkog robovlasničkog uređenja doveo je do zastoja u razvoju geometije u Grčkoj, ali se ona i dalje razivjala u zemljama arapskog Istoka, u srednjoj Aziji i Indiji.

Analitička geometrija[uredi]

Nastanak kapitalizma u Evropi je doveo do novog, trećeg perioda razvoja geometrije. U prvoj polovini XVII veka nastala je analitička geometrija,[27][28] čiji su tvorci bili Dekart i Ferma. Analitička geometrija izučava svojstva geometrijskih figura na osnovu njihovih algebarskih jednačina, oslanjajući se na koordinatni metod. U vezi s razvojem diferencijalnog računa i ispitivanjem geometrijskih svojstava figura lokalnog karaktera (u okolini date tačke) ponikla je u XVIII veku diferencijalna geometrija u delima Ojlera i Monža.

Radovima Ž. Dezarga i B. Paskala rađa se u prvoj polovini XVII veka projektivna geometrija, koja je nastala u početku pri izučavanju predstava perspektive i posle toga se razvijala pri izučavanju onih svojstava figura koje se ne menjaju ako se figure projektuju s jedne ravni na drugu iz bilo koje tačke prostora (centralna projekcija), i na kraju bila završena radovima Ž. Ponselea.

Izgradnja neeuklidskih geometrija[uredi]

Četvrti period razvoja geometrije obeležen je izgradnjom neeuklidovih geometrija od kojih je prva bila geometrija Lobačevskog koju je Lobačevski izgradio istražujući osnove geometrije, i posebno, aksiome o paralelnim pravama. Sadržaj svoje geometrije Lobačevski je prvi put izneo na sednici fiziko-matematičkog fakulteta Kazanskog univerziteta 1826. godine. Rad je bio publikovan 1829. godine. Mađarski matematičar Janoš Bojai je publikovao rad o istom ovom pitanju, u manje razvijenoj formi, 1832. godine. Od nastanka geometrije Lobačevskog uloga aksiomatičkog metoda u matematici uopšte i u geometriji posebno postala je veoma značajna. Euklidova geometrija (obična elementarna geometrija koja se izučava u školi) je posle toga dobila takođe svoju aksiomatičku osnovu.

Hilbert je na kraju 19. veka prvi postavio konkretan sistem aksioma Euklidove geometrije, tzv. Hilbertove aksiome. Aksiomatske osnove dobile su i druge geometrija: Lobačevskog, projektivna, afina, višedimenzionalna Euklidova (n dimenzija) i dr.

Teorija relativnosti[uredi]

Istoričari prirodnih nauka još uvek nisu rešili dilemu da li je specijalna relativnost začeta u danas čuvenom Ajnštajnovom članku iz 1905. godine, ili je postojala i ranije u radovima Hendrika Lorenca i Anrija Poenkarea. U stvari pojam „odgovarajućih stanja“ koji Lorenc koristi u svom članku iz 1904. u mnogo čemu je preteča relativističkih ideja, mada se još uvek oslanja na besmisleni pojam etra. Međutim, među istoričarima ima veoma malo dilema oko tvrdnje da je Ajnštajn skoro potpuno sam stvorio Opštu teoriju relativnosti. Isto tako može se reći da koreni ove teorije leže u dalekosežnim geometrijskim istraživanjima Bernarda Rimana, koji je sa svoje strane bio inspirisan Gausovim delom Disquistiones generales circa superficies curvas, o diferencijalnoj geometriji zakrivljenih površi. Glavna tema u Opštoj teoriji relativnosti je da prisustvo materije utiče na geometriju prostora, koji, usled toga prestaje da bude eulidski. Ajnštajn je imao prethodnike koji su imali čudne, snažne slutnje o budućem toku razvoja nauke. Riman se jedno vreme poigravao idejom da je realni prostor zakrivljen. Poznati fizičar i fiziolog Herman fon Helmholc istraživao je fizičke aspekte Rimanove teorije, i postavio je, na osnovu astronomskih posmatranja, granice moguće zakrivljenosti prostora. Geometar Vilijam Kingdon Kliford zamišljao je materiju kao talasanje u zakrivljenom prostoru. Mnoge njegove ideje kasnije su se ponovo pojavile u opštoj relativnsti. Svi ovi pokušaji, koliko god da budu briljantni, bili su preuranjeni. Fizičarima je nedostajao pojam prostorno-vremenske višestrukosti, a takođe nije bila shvaćena ključna uloga elektrodinamike. Potpuno stvaranje relativističke teorije gravitacije desilo se tek na kraju Prvog svetskog rata.

Ajnštajn nije lako došao do krajnjih rezultata. Bile su mu potrebne godine intelektualnih lutanja dok je otkrio oblik jednačina polja. Neki od njegovih najboljih kolega i prijatelja su čak smatrali da je „skrenuo“, zanet nekom neostvarljivom fantazijom. Može se pretpostaviti da ga je princip ekvivalentnosti interesovao čak 1911. godine. Kad se vratio iz Praga u Cirih, 1912. godine, sreo je Marsela Grosmana i počeo da proučava Gausove krivolinijske koordinate i njihova uopštenja. Preko Grosmana upoznao je i apsolutni diferencijalni račun, koji su razvili italijanski matematičari Gregorio Riči i Tulio Levi - Čivita (G. Ricci, T. Levi - Civita). Iz istorijskih izvora je poznato da je Luiđi Bijanki, veoma uticajna ličnost među matematičarima onog doba u Italiji, bio veoma skeptičan kritičar apsolutnog diferencijalnog računa, tako da je ova matematička tehnika stekla zasluženo priznanje tek zahvaljujući razvoju teorije relativnosti. Posle niza neuspešnih pokšaja, konačna verzija teorije bila je završena 1916. godine, samo godinu dana pošto je Karl Švarcšild (K. Schwarzchild) našao rešenje jednačina gravitacionog polja koje danas nosi njegovo ime. Spektakularnu potvrdu ispravnosti, teorija je dobila 1919. godine, kada je jedna ekspedicija na Prinčevo ostrvo (Prince Island), pod vođstvom Edingtona, prilikom posmatranja pomračenja Sunca uspela da izmeri skretanje svetlosnih zraka u gravitacionom polju Sunca.

(Detalj iz zabeleški sa predavanja koje je dr. Tulio Rege (Tullio Regge), profesor Univerziteta u Torinu, Italija, inače svetski cenjen poznavalac iz oblasti fizike visokih energija i kosmologije, održao 1982/83. školske godine u Evropskoj organizaciji za nuklearna istraživanja (CERN) u Ženevi.)

Podela geometrije[uredi]

Danas geometrija sadrži mnogobrojne geometrije i teorije, između kojih nema tačnih granica. Pri tome se pojedine geometrijske teorije usko prepliću s analizom (diferencijalna geometrija), s teorijom skupova (teorija skupova tačaka, topologija). Svaka geometrija se razlikuje od druge prema tome kakav prostor izučava (Euklidov, Lobačevskovljev), kakvim metodama se služi (na primer, Analitička teorija krivih 2. reda u Analitičkoj geometriji, ili čisto geometrijska, sintetička teorija krivih 2. reda u Sintetičkoj geometriji), kakve objekte (figure) ili njihova svojstva izučava (na primer, mogu se razmatrati poliedri i njihova svojstva, krive i površi, itd). Pitanja metrike (merenje dužina, uglova i površina) dovode do pojma metričke geometije, dok pitanja incidencije (pripadanja, rasporeda) dovode do pojma geometrije položaja, tj. Projektivna geometrija.

Pitanja o osnovama geometrije dovode do odeljka elementarna geometrije, koja izučava njene logičke osnove, njenu aksiomatiku i ustrojstvo. Ova naučna disciplina se naziva Osnove geometrije.

Svaka od geometrija može se okarakterisati (definisati), po predlogu Klajna (vd. Erlangenski program), odgovarajućom grupom onih transformacija koje ona izučava. Tako se elementarna geometrija karakteriše grupom Euklidovih kretanja, afina - grupom afinih transformacija, projektivna - grupom svih kolineacija (projektivnih transformacija)

Glavne oblasti[uredi]

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

  1. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...."
  2. 2,0 2,1 (Boyer (1991). "Ionia and the Pythagoreans" p. 43)
  3. Euclid's Elements – All thirteen books in one volume, Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
  4. Turner, Martin J.; Blackledge, Jonathan M.; Andrews, Patrick R. (1998). Fractal Geometry in Digital Imaging. Academic Press. str. 1—. ISBN 978-0-12-703970-1. 
  5. (Staal (1999))
  6. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
  7. „geodesic – definition of geodesic in English from the Oxford dictionary”. OxfordDictionaries.com. Pristupljeno 20. 01. 2016. 
  8. Lamb, Evelyn (08. 11. 2015). „By Solving the Mysteries of Shape-Shifting Spaces, Mathematician Wins $3-Million Prize”. Scientific American. Pristupljeno 29. 08. 2016. 
  9. Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. str. xiv. ISBN 081604953X. 
  10. Clark, Bowman L. (1985). „Individuals and Points”. Notre Dame Journal of Formal Logic. 26 (1): 61—75. doi:10.1305/ndjfl/1093870761. Pristupljeno 29. 8. 2016. 
  11. Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). A coherent curriculum. American educator, 26(2), 1-18.
  12. John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
  13. Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations, Elsevier B.V.
  14. J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
  15. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 izd.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.  Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  16. (Boyer (1991). "Egypt" p. 19)
  17. Depuydt, Leo (1. 1. 1998). „Gnomons at Meroë and Early Trigonometry”. The Journal of Egyptian Archaeology. 84: 171—180. JSTOR 3822211. doi:10.2307/3822211 — преко JSTOR. 
  18. Slayman, Andrew (27. 5. 1998). „Neolithic Skywatchers”. Archaeology Magazine Archive. 
  19. Ossendrijver, Mathieu (29. 1. 2016). „Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter’s position from the area under a time-velocity graph”. Science. 351 (6272): 482—484. PMID 26823423. doi:10.1126/science.aad8085. Приступљено 29. 1. 2016. 
  20. Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0.
  21. Kurt Von Fritz (1945). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. The Annals of Mathematics. 
  22. James R. Choike (1980). „The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number”. The Two-Year College Mathematics Journal. 
  23. (Boyer (1991). "The Age of Plato and Aristotle" p. 92)
  24. (Boyer (1991). "Euclid of Alexandria" p. 119)
  25. (Boyer (1991). "Euclid of Alexandria" p. 104)
  26. O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. (1996). „A history of calculus”. University of St Andrews. Приступљено 07. 08. 2007. 
  27. R. Rashed (1994), The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, p. 35 London
  28. Boyer (1991). „The Arabic Hegemony”. A History of Mathematics. стр. 241—242. 

Литература[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]