Grandijevi redovi

U matematici, beskonačan red $1-1+1-1+\dotsb$, napisan i kao

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

se ponekad zove Grandijev red, po italijanskom matematičaru, filozofu, i svešteniku Gvidu Grandiju, koji je dao nezaboravan tretman reda 1703. godine. To je divergentni red, što znači da mu nedostaje suma u uobičajenom smislu. S druge strane, njegov Cesaro zbir je 1/2.

Dokaz pomoću integrala

Za dokazivanje pomoću integrala, potražićemo neodređeni integral funkcije $e^{x}f(x)$ u odnosu na promenljivu $x$. Za bilo koju funkciju $f$ ponavljaćemo parcijalnu integraciju, sa ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}$ i $u=f(x),f'(x),f''(x),\dotsc$:

${\begin{aligned}\int e^{x}f(x)\,dx&=e^{x}f(x)-\int e^{x}f'(x)\,dx\\&=e^{x}f(x)-e^{x}f'(x)+\int e^{x}f''(x)\,dx\\&=e^{x}(f(x)-f'(x)+f''(x)-f'''(x)+\dotsb )+C\end{aligned}}$

Ovde je $C$ konstanta integracije.

Uzmimo da je $f(x)=\sin x$ dobićemo rezultat koji će pomoći za rešavanje Grandijevog reda $G=1-1+1-1+\dotsb$:

${\begin{aligned}\int e^{x}\sin x\,dx&=e^{x}(\sin x-\cos x-\sin x+\cos x+\sin x-\cos x-\sin x+\cos x+\dotsb )\\&=e^{x}(\sin x\cdot (1-1+1-1+\dotsb )+\cos x\cdot (-1+1-1+1+\dotsb ))+C\\&=Ge^{x}(\sin x-\cos x)+C\end{aligned}}$

Možemo i proširiti integral korišćenjem parcijalne integracije  ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}$ i $u=\sin {x},\cos {x}$. Posmatramo integral kao funkciju  $I$ i vidimo da imamo isti integral na obe strane jednačine i dodajemo $I$ obema stranama i podelimo ih dvojkom. Simbolički:

${\begin{aligned}I&=\int e^{x}\sin x\,dx\\&=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx\\&=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int e^{x}\sin x\,dx\\&=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I\\&={\frac {e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}}+C\end{aligned}}$

Poređenje rezultata proširenog integrala korišćenjem obe metode$\int e^{x}\sin x\,dx=Ge^{x}(\sin {x}-\cos x)+C={\frac {e^{x}(\sin {x}-\cos {x})}{2}}+C$ i ove  $G=1-1+1-1+\dotsb ={\frac {1}{2}}$.

Dokaz pomoću 1 / x reda

Red:

$1/x=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+(x-1)^{4}-...$

Je prilično lako dokazati. Prvo, pomnožimo sve x-om. Na levoj strani, dobijamo 1, a na desnoj strani predstavićemo h kao (x - 1) + 1. Pomnožimo red  (x - 1) i 1 odvojeno i dodamo dva zajedno.

$1=(x-1)-(x-1)^{2}+(x-1)^{3}-(x-1)^{4}+...+1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+...$

Svi termini osim 1 se poništavaju, i daju:

$1=1$

Primenjujući ovaj red za 2 dobijamo:

$1/2=1-1+1-1+1-...$

Nerigorozne metode

Jedan očigledan metod za napad reda

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

je da ga tretiramo kao izvučeni red i obavimo oduzimanje na mestu:

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Sa druge strane, sličan postupak dovodi do naizgled kontradiktornog rezultata

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Tako, primenom zagrada kod Grandijevog reda na različite načine, možemo dobiti ili 0 ili 1 kao "vrednosti". (Varijacije ove ideje, nazvane Eilenberg-Mazur prevara, ponekad se koriste u teoriji čvorova i algebre.)

Posmatrajući Grandijev red kao divergentni geometrijski red, možemo koristiti iste algebarske metode da proširimo konvergentni geometrijski red da dobijemo treću vrednost:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + ..., tako da je

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S,

odakle dobijamo da je S = 1/2. Isti zaključak proizlazi iz obračuna −S, oduzimanjem rezultata od S, i rešavanjem 2S = 1.

Navedene manipulacije ne uzimaju u obzir šta zbir niza u stvari znači. Ipak, kod proširenja za koje je važno da bude moguće da se izjednači niz po volji, i još je važnije da bude u stanju da se obavlja aritmetika sa njima, može se doći do dva zaključka:

• Red 1 − 1 + 1 − 1 + ... nema zbir.
• ...ali njegov zbir bi trebalo da bude 1/2.

U stvari, obe ove izjave mogu se precizno i formalno dokazati, ali samo pomoću dobro definisanih matematičkih koncepta koji su nastali u 19. veku. Nakon 17.-vekovnog uvođenja računa u Evropu, ali pre pojave moderne strogosti, napetost između ovih odgovora podstaknula je ono što je okarakterisano kao "beskrajni" i "nasilni" spor između matematičara.

Formula za sabiranje do beskonačnost Geometrijskog reda je  ${\frac {a}{1-r}}$, iako derivacija za sumu važi samo kada je $|r|<1$ (kao i sa modulom r manje od jedan, onda će termini niza pasti na nulu kako n raste i red konvergira) formula još uvek radi za r= -1. Za slučaj kada je $G=1-1+1-1...$ sa $a=1$ i $r=-1$, zbir do beskonačnosti G je${\frac {a}{1-r}}={\frac {1}{1--1}}={\frac {1}{2}}$ i $G=1-1+1-1...$ konvergira do ${\frac {1}{2}}$

Rane ideje

Glavni članak: Istorija Grandijevih redova

Divergencija

U modernoj matematici, zbir beskonačnog niza se definiše kao granica niza njegovih parcijalnih suma, ako postoji. Redosled parcijalnih suma Grandijvog niza je 1, 0, 1, 0, ..., koji jasno ne prilazi bilo kom broju (iako nema dve akumulacije tačaka na 0 i 1). Dakle, Grandijev red divergira.

Može se pokazati da ne važi za obavljanje mnogih naizgled bezazlenih operacija na nizu, kao što su preraspodela individualnih uslova, osim ako niz apsolutno konvergira. Inače ove operacije mogu da promene rezultat sabiranja. Dalje, uslovi Grandijvog reda mogu se preurediti tako da imaju svoje akumulacije tačaka u svakom intervalu od dva ili više uzastopnih celih brojeva, ne samo 0 ili 1. Na primer, red

$1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1\cdots$

(u kom se, posle pet početnih +1 termina, termini smenjuju u parovima od +1 i -1 termina) je permutacija Grandijvog reda u kojoj svaka vrednost u preuređenom redu odgovara vrednosti koja je najviše daleko od četiri pozicije u originalnom redu; njegove tače akumulacije su 3, 4, i 5. 

Edukacija

Glavni članak: Grandijev red u edukaciji

Mogućnost sabiranja

Glavni članak: Mogućnost sabiranja Grandijevog reda

Povezani problemi

Glavni članak: Pojave Grandijevog reda

Vidi još

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• Ramanudžanov zbir
• Cesaro zbir
• Tomsonova lampa

Literatura

• Davis, Harry F. (1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 978-0-486-65973-2. 
• Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. ISBN 978-0-7167-6022-1. 
• Kline, Morris (novembar 1983). „Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371. 
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 978-0-486-66165-0. 
• Hobson, E. W. (1907). The theory of functions of a real variable and the theory of Fourier's series. The University of Michigan Historical Mathematics Collection: Cambridge University Press. section 331. 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1997). A First Course in Real Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97437-8. 
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1962). A course of modern analysis (4th, reprinted izd.). Cambridge University Press. Šablon:Section-sign 2.1. 

Spoljašnje veze

• Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Nambrfil, Grandijevi redovi na Jutjubu (youtube.com)