Granična vrednost niza

Plavim tačkicama je prikazan grafik konvergentnog niza {a_n}. Može se i vizuelno videti da niz teži nuli kako n sve više i više odmiče ka beskonačnosti.

Granična vrednost niza $a_{n}$ ili limes niza $a_{n}$ realnih brojeva je neka tačka $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ako za svaku okolinu $U$ tačke $a$ postoji prirodan broj $n_{0}$, tako da $a_{n}\in U$ za sve brojeve $n>n_{0}$, tj. tako da počev od nekog, svi članovi niza pripadaju toj okolini.

Definicija

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U$.

Granična vrednost konvergentnih nizova

Pored opšte definicije, granična vrednost za konvergentne nizove, tj. za nizove $a_{n}$ koji teže nekom $a$, gde je $a$ konačan broj, može se zapisati kao:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .$

Granična vrednost divergentnih nizova

Pored opšte definicije, granična vrednost za divergentne nizove, nizove $a_{n}$ koji teže $a=\pm \infty$, može se zapisati kao:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|>\epsilon .$

Košijev niz

Glavni članak: Košijev niz

Plave tačkice prikazuju grafik Košijevog niza (x_n), čija se vrednost očitava na "y"-osi. I vizuelno se može videti da niz konvergira svojoj graničnoj vrednosti kad se n sve više i više povećava. U skupu realnih brojeva svaki Košijev niz je konvergentan.

Košijev niz, nazvan po istaknutom francuskom matematičaru Ogistenu Košiju je niz realnih brojeva (x_n) koji je definisan na sledeći način:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$.

Košijev niz je usko povezan sa pojmom granične vrednosti niza, jer svaki Košijev niz konvergira. Ako znamo da je neki niz Košijev, ne moramo uopšte da ga poznajemo niti kojoj će graničnoj vrednosti da teži, a unapred ćemo znati da ima konačnu graničnu vrednost.

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.

Vidi još

• Granična vrednost funkcije
• Nizovi
• Konvergentnost