Dekartovo pravilo znakova

Dekartovo pravilo znakova, koje je prvi naveo Rene Dekart u svom delu Geometrija (La Géométrie) iz 1673. godine, je tehnika kojom se može proceniti, i u nekim slučajevima tačno odrediti, broj pozitivnih ili negativnih korena datog polinoma. Najčešće se koristi u numeričkoj analizi za izolovanje korena jednačine, izolovanje intervala i sl.

Prema pravilu, ako su članovi polinoma jedne promenljive sa realnim koeficijentima poređani u opadajućem redosledu prema stepenu promenljive, onda je broj pozitivnih korena tog polinoma manji ili jednak od broja promena znaka između uzastopnih ne-nula koeficijenata, pri čemu je njihova razlika uvek paran broj (mogućno 0). Višestruki koreni se broje posebno. Kao Posledica ovog pravila, broj negativnih korena se može proceniti tako što se polaznom polinomu obrnu znaci koeficijenata koji se nalaze na neparnim mestima, a zatim se prebroje promene znaka između koeficijenata, analogno prethodnom.

Na primer, kod polinoma

$x^{3}+5x^{2}+3x-9\,$

postoji jedna promena znaka između trećeg i četvrtog člana, pa on ima tačno jedan pozitivan koren. (Faktorizacijom ovog polinoma dobija se da se on može zapisati u obliku

$(x+3)^{2}(x-1),\,$

što znači da su mu koreni −3 (dvostruki koren) i 1.)

Promenom znaka neparnih članova dobija se polinom

$-x^{3}+5x^{2}-3x-9\,$

koji ima dve promene znaka, između prvog i drugog, odnosno između drugog i trećeg člana, što znači da ima 2 ili nijedan pozitivan koren, odnosno da polazni polinom ima 2 ili nijedan negativan koren. (Faktorizacijom drugog polinoma dobija se

$-(x-3)^{2}(x+1),\,$

pa su njegovi koreni 3 (dvostruki) i −1, što se poklapa sa korenima prvog polinoma kojima je obrnut znak. Ako je polazni polinom $p(x)$, polinom nastao obrtanjem znakova pri članovima sa neparnim stepenom jeste $p(-x)$.)

Spoljašnje veze

• Dekartovo pravilo znakova (jezik: engleski)
• Scott E. Brodie, Dekartovo pravilo znakova (jezik: engleski)