Zbir uglova u trouglu

Zbir uglova u trouglu, zajedno sa pojmovima peti postulat, tj. shvatanjem paralelnosti, zatim ugao i odnos obima i prečnika kruga je jedna od najbezazlenijih tema iz geometrije, a sa druge strane to je jedno od najkrupnijih mesta celokupnog razvoja matematike.^[1]^[2]

Elementarna geometrija[uredi | uredi izvor]

Teorema: Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180°.

Dokaz: Dat je trougao $ABC$ . Produžimo stranicu $AB$ , tj. $c$ preko tačke $B$ , tako da je $c-B-c'$ . Povučemo paralelu $b'$ sa stranicom $AC$ , tj. $b$ u tački $B$ . Ugao u temenu A jednak je uglu u temenu B, tj. uglovi sa paralelnim kracima su jednaki, pa važe jednakosti; $\angle cAb=\angle c'Bb'=\alpha ,\angle bCa=\angle b'Ba=\gamma$ .; Otuda je zbir uglova alfa, beta i gama jednak ispruženom $\angle c'Bc$ , tj. 180°.

Posledice[uredi | uredi izvor]

Stav 1: Spoljni ugao trougla (u temenu B na slici $\alpha +\gamma$ ) jednak je zbiru dva unutrašnja njemu ne susjedna ugla.

Stav 2: Zbir spoljnih uglova trougla jednak je 360°, jer je zbir tri spoljna ugla trougla:; $2\alpha +2\beta +2\gamma =2\times 180^{o}$ .

Stav 3: Zbir unutrašnjih uglova u četvorouglu je 360°.

Dokaz: Podjelimo četvorouglao $ABCD$ dijagonalom $AC$ na dva trougla $ABC$ i $CDA$ . Ugao $\alpha$ je podeljen na dva (nejednaka) ugla $\alpha _{1}$ i $\alpha _{2}$ , i slično tako ugao $\gamma$ . Otuda $\alpha +\beta +\gamma +\delta =(\alpha _{1}+\beta +\gamma _{1})+(\alpha _{2}+\delta +\gamma _{2})=180^{o}+180^{o}=360^{o}$

Stav 4: Zbir spoljnih uglova četvorougla je 360°.

Dokaz: Produžetak stranice sa susjednom čini jedan spoljni ugao, koji je sa susednim unutrašnjim suplementan. Četiri takva produžetka, četiri ispružena ugla (720°), čine zbir unutrašnjih (360°) i zbir spoljnih (dakle takođe 360°) uglova četvorougla.

Stav 5: Uglovi sa okomitim kracima su jednaki ili su suplementni.

Dokaz: Četvorougao na slici gore ima zbir uglova 360°. Prema tome je $\alpha +\beta =180^{o}$ .

Stav 6: Odnos obima i prečnika kruga je π.

Euklid[uredi | uredi izvor]

U Euklidovim Elementima, knjiga I navodi se sledeća teorema

Teorema 32: U trouglu, ako se jedna stranica produži, tada je spoljašnji ugao jednak zbiru dva unutrašnja a suprotna ugla, a takođe zbir sva tri unutrašnja ugla trougla je jednak dva prava ugla.

Dokaz ove teoreme je posredno zavisan od V postulata, što za posledicu ima da u neeuklidskim geometrijama važi drugačija zakonitost. Zbir uglova u trouglu, u zavisnosti od vrste zakrivljenja prostora, može biti veći ili manji od dva prava ugla.

Hilbert[uredi | uredi izvor]

Teškoće oko Euklidovih postulata i/ili aksioma, bar što se tiče elementarnih geometrija, veoma uspešno je 1899. godine razrešio nemački matematičar David Hilbert (1862—1943), koji je inače dao važan doprinos u nekoliko grana matematike. Aksiome Euklidske geometrije podelio je u pet grupa:

osam aksioma veze,
četiri aksiome rasporeda,
pet aksioma podudarnosti,
jedna aksioma paralelnih,
dve aksiome neprekidnosti.

To su one nama poznate aksiome iz srednjoškolske, elementarne geometrije. U četvrtoj Hilbertovoj grupi aksioma, zapravo je jedna jedina, tzv.

Euklidova aksioma: Neka je a proizvoljna prava i A tačka van a: tada postoji u ravni, određenoj pravom a i tačkom A, najviše jedna prava koja prolazi kroz A i ne preseca A.

Kada prvim trima grupama Hilbertovih aksioma dodamo ovu aksiomu paralelnih slede Hilbertovi stavovi:

Stav 30: Ako su dve paralelne prave presečene trećom pravom onda su saglasni uglovi i naizmenični uglovi podudarni, i obrnuto: iz podudarnosti saglasnih ili naizmeničnih uglova sleduje da su prave paralelne.

Stav 31: Uglovi trougla čine zajedno dva prava ugla (180°).

Hiperbolička geometrija[uredi | uredi izvor]

Pre Hilberta, Euklidska geometrija je ušla u svoju najveću krizu 1829. godine, kada je glasoviti ruski matematičar Nikolaj Lobačevski objavio, kako je sam napisao, svoj prvi pokušaj o osnovama geometrije u „Kazanskom Vesniku". Zatim je Lobačevski objavio svoje dalje radove u pojedinim delovima u "Učenim zapisima kazanskog Univerziteta" za god. 1836, 1837, 1838 pod naslovom: "Novi osnovi geometrije sa potpunom teorijom paralelnih".

Euklidov aksiom o paralelnosti pravih, tzv. Peti Euklidov postulat, dugo je mučio matematičare. Za razliku od svih ostalih Euklidovih postulata, koji su bili jednostavni, Peti je više ličio na teoremu. Dva milenijuma od nastanka Euklidove geometrije matematičari su nastojali izvesti dokaz tog Petog E. postulata iz prethodnih, ali uvek bezuspešno. Isto je pokušao i Lobačevski. Genijalnost Lobačevskog ogleda se u samoj njegovoj metodi. On je pretpostavio suprotno, da drugačiju formulaciju P. E. postulata pridruži prethodnim i da izvede protivrečnost takve geometrije. Međutim, nije mu to uspelo. Zatim je Lobačevski dokazao da je njegova nova geometrija jednako neprotivrečna kao i Euklidska!

Aksiom Lobačevskog: Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj prolaze bar dve prave koje s datom pravom leže u istoj ravni i ne seku ovu pravu.

Geometrija Lobačevskog je jednako tačna kao i Euklidova geometrija, iako posledice (teoreme) koje proističu iz aksioma geometrije Lobačevskog na prvi pogled imaju paradoksalni karakter i izgledaju apsurdno našim običnim predstavama. Na primer,

Posledica 1: Zbir uglova u trouglu nije stalan i uvek je manji od ispruženog (od 180°).

Posledica 2: Ne postoje slični a nekongruentni (nejednaki) trouglovi.

Posledica 3: Odnos obima i prečnika kruga veći je od π .

Posledica 4: Ne može se oko svakog trougla opisati kružnica.

Sedlasta površ je jedna reprezentacija geometrije Lobačevskog u dve dimenzije. To je tako usukana (Euklidova) površ da liči na jahaće sedlo. Tri tačke ove površi spojene dužima, čija dužina je minimalno rastojanje između datih tačaka, formiraće trougao sa zbirom unutrašnjih uglova manjim od 180°.

Geometrija Lobačevskog ima i drugi naziv: Hiperbolička neeuklidska geometrija, koja sa Eliptičkom geometrijom Rimana čini neeuklidovu, apsolutnu geometriju.