Zlatni presek

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Za drugu upotrebu, pogledajte stranicu Sectio aurea.
Zlatni pravougaonik (u ružičastom) sa dužom stranom a i kraćom stranom side b, kada je postavljen pored kvadrata dužine a, proizvešće geometrijsku sličnost zlatnog pravouganika sa dužom stranom a + b i kraćom stranom a. Ovo ilustruje odnos .

U matematici dve veličine su u zlatnom odnosu, ako je odnos između dve veličine jednak odnosu sume te dve vrednosti naspram veće vrednosti. Slika na desnoj strani ilustruje geometrijski odnos. Algebarski, za količine a i b i a > b > 0,

grčko slovo fi ( ili ) predstavlja konstantu. Njena vrednost je:

OEISA001622

Zlatni odnos ima i naziv zlatni presek (latinski: sectio aurea).[1][2]. Ostali nazivi uključuju ekstremni odnos,[3] središnji presek, zlatna proporcija, i zlatni broj.[4][5][6]

Zlatni odnos se pojavljuje u nekim šablonima u prirodi, uključujući phyllotaxis (spiralno ređanje listova) i u drugim delovima biljaka.

Matematičari još od Euklida su proučavali svojstva zlatnog odnosa, uključujući pojavljivanje u dimenzijama pravilnog petougla i u zlatnom pravougaoniku, koji može da se podeli u kvadrat i još jedan pravougaonik istog odnosa.

Proračun[uredi]

Šablon:Iracionalan broj
Binarni 1.1001111000110111011...
Dekadni 1.6180339887498948482... OEISA001622
Heksadecimalni 1.9E3779B97F4A7C15F39...
Verižni razlomak
Algebarski oblik
Beskonačni red

Dve veličine a i b su u zlatnom odnosu φ ako

Jedan metod za pronalaženje vrednosti φ je sa rešavanjem leve strane. Uprošćavanjem razlomka i zamenom u b/a = 1/φ,

Stoga je,

Množenjem sa φ daje

koje može da se izrazi kao

Korišćenjem formule za rešavanje kvadratne jednačine, dobijaju se dva rešenja:

i

Zato što je φ odnos između dve pozitivne vrednosti, φ je uvek pozitivna vrednost:

.

Algebra[uredi]

Iracionalnost[uredi]

Zlatni odnos je iracionalan broj. Ispod su dva kratka dokaza o iracionalnosti:

Kontradikcija izrazu u najnižoj vrednosti[uredi]

Da je φ racionalan broj, onda bi bio omer stranama pravougaonika sa celim stranama (pravougaonik koji obuhvata ceo dijagram). Ali bi takođe bio i odnos celobrojnih strana manjeg pravougaonika (desni deo dijagrama) dobijen brisanjem kvadrata. Sekvenca smanjenja celobrojne vrednosti dužine stranice formirane brisanjem kvadrata ne može večno trajati jer celi brojevi imaju donje granice, stoga φ ne može biti racionalan.

Podsetimo se da:

celina je duži deo plus kraći deo;
celina je duži deo kao što je duži deo na kraći deo.

Ako celinu imenujemo sa n a duži deo sa m, onda druga izjava postaje:

n je prema m isto kao što je m prema n − m,

ili, algebarski

Tvrditi da je φ racionalan znači da je φ odnos n/m gde su n i m celi brojevi. Možemo reći i da n/m imaju najniže vrednosti i da su n i m pozitivni brojevi. Ali ako je razlomak n/m u najnižim vrednostima, onda se identitet obeležava sa (*) za gornju jednačinu m/(n − m) koja i dalje poseduje najniže vrednosti. To je kontradikcija koja proizlazi iz tvrdnje da je φ racionalan.

Izvod iz iracionalnosti broja √5[uredi]

Još jedan kratak dokaz — verovatno poznatiji — gde iracionalnost zlatnog odnosa koristi zatvorenost racionalnih brojeva kod sabiranja i množenja. Ako je racionalan, onda je i takođe racionalan, što je protivrečno činjenici da je kvadratni koren od ne-kvadrata prirodnog broja iracionalan.

Najmanji polinom[uredi]

Zlatni odnos je takođe i algebarski broj a čak i algebarski ceo broj (kompleksan broj koji je koren unarnog polinoma). Najmanji polinom glasi:

Zbog člana sa stepenom 2, ovaj polinom ustvari ima dva korena, i druga vrednost je srodnik zlatnom odnosu.

Srodnik zlatnog preseka[uredi]

Druga korena vrednost najmanjeg polinoma x2 - x - 1 je

Apsolutna vrednost ove količine (≈ 0.618) odgovara dužini odnosa u obrnutom smeru (dužina kraće strane u odnosu na dužu stranu, b/a), ponekad poznata pod imenom srodnik zlatnog preseka.[7] Označava se velikim slovom fi ():

Vidi još[uredi]

Reference i fusnote[uredi]

  1. Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5. 
  2. Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  3. Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
  4. Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
  5. William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
  6. Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
  7. Weisstein, Eric W., "Golden Ratio Conjugate", MathWorld.

Опширније о овој теми[uredi]

  • Doczi, György (2005) [1981]. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. ISBN 1-59030-259-1. 
  • Huntley, H. E. (1970). The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-22254-3. 
  • Joseph, George G. (2000) [1991]. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (New изд.). Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8. 
  • Livio, Mario (2002) [2002]. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number (Hardback изд.). NYC: Broadway (Random House). ISBN 0-7679-0815-5. 
  • Sahlqvist, Leif (2008). Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design (3rd Rev. изд.). Charleston, SC: BookSurge. ISBN 1-4196-2157-2. 
  • Schneider, Michael S. (1994). A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. ISBN 0-06-016939-7. 
  • Scimone, Aldo (1997). La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica. Palermo: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0. 
  • Stakhov, A. P. (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Singapore: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-277-582-5. 
  • Walser, Hans (2001) [Der Goldene Schnitt 1993]. The Golden Section. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-534-8. 

Спољашње везе[uredi]