Idealni gas

Idealni gas je svaki gas čije čestice (atomi ili molekula) imaju ukupno zanemarljivo malu sopstvenu zapreminu.^[1] Između njih ne postoje međumolekulske Van der Valsove veze, pa se idealni gas ne može prevesti u tečno ili čvrsto stanje.^[2]^[3] Idealni gas je teorijski koncept, a realni gasovi mu se približavaju tek pri niskim pritiscima i visokim temperaturama. Idealni gas se ponaša prema jednačini stanja idealnog gasa i statističkoj mehanici.^[4] Generalno, gas se ponaša više poput idealnog gasa na višim temperaturama i nižim pritiscima, jer potencijalna energija usled intermolekulskih sila postaje manje značajna u odnosu na kinetičku energiju čestica, a veličina molekula postaje manje značajna u odnosu na prazan prostor između njih. Jedan mol idealnog gasa ima kapacitet od 22,710947 (13) litara.^[5]

Pri standardnom pritisku i temperaturi, većina realnih gasova ponaša se kao idealni gas. Većina gasova, kao što su vazduh, azot, kiseonik, vodonik, plemeniti gasovi, uključujući i neke teže, kao što je ugljen dioksid, mogu se smatrati idealnim gasovima, unutar razumnih odstupanja. Uglavnom, kao idealni gas, svaki se ponaša više kod viših temperatura i manjih gustina (manjih pritisaka), kada mehanički rad međumolekulskih sila postaje manje značajan u poređenju s kinetičkom energijom čestica i njihovoj veličini, manje je značajna u komparaciji s praznim prostorom između njih.^[6]^[7]

To se posebno odnosi na teže plinove, vodenu paru i freone. U nekim slučajevima, na niskim temperaturama i višim pritiscima, realni gasovi menjaju agregatno stanje, pretvarajući se u tečnosti ili krute materije. Model idealnih gasova ne dozvoljava promene agregatnih stanja. U tom slučaju se trebaju koristiti složenije jednačine njihovih stanja.

Modeli idealnih gasova su se istraživali u Njutnovoj dinamici i kinetičkoj teoriji gasova, kao i u kvantnoj mehanici. Ponekad se modeli idealnih gasova koriste za ponašanje elektrona u metalima, a to je i jedan od najvažnijih modela u statističkoj mehanici.

Tipovi idealnih gasova[uredi | uredi izvor]

Postoje tri osnovne vrste idealnih gasova:

klasični Maksvelov-Bolcmanov idealni gas;
idealni kvantni Boseov gas, koji se sastoji od bozona;
idealni kvantni Fermijev gas, koji se sastoji od fermiona.

Klasični idealni gas ima dva tipa: klasični termodinamički idealni gas i idealni kvantni |Bolcmanov gas. U suštini, oba su jednaka, osim što se klasični termodinamički idealni gas temelji na klasičnoj statističkoj mehanici i nekim termodinamičkim parametrima, kao što je entropija. Idealni kvantni |Bolcmanovov gas prelazi ta ograničenja, uzimajući granice idealnog kvantnog Boseovog gasa i idealnog kvantnog Fermijevog gasa, u granicama visokih temperatura, određujući dodatne konstante. Idealni kvantni Bolcmanovov gas razlikuje se samo po konstantama. Rezultati jednačine idealnog kvantnog Bolcmanovog gasa koriste se u dosta slučajeva, uključujući Sakur-Tetrodeovu jednačinu za entropiju idealnog gasa i Sahaovu jonizacijsku jednačinu za slabo jonizovanu plazmu.

Klasična termodinamika idealnog gasa[uredi | uredi izvor]

Jednačina stanja idealnog gasa je:^[8]^[9]

PV=nRT

Ova jednačina je izvedena iz:

Bojlovog zakona:

V=k/P

(za konstantne T i n);

Čarlsovog zakona:

V=bT

(za konstantne P i n); i

Avogadrovog zakona:

V=an

(za konstantne T i P).

Kombinovanjem ova tri zakona može se pokazati da:

3V=kba\left({\frac {Tn}{P}}\right)

, ili

V=\left({\frac {kba}{3}}\right)\left({\frac {Tn}{P}}\right)

.

Pod idealnim uslovima, $V=R\left({\frac {Tn}{P}}\right)$ ; te je, $PV=nRT$ .

Unutrašnja energija idealnog gasa je:

U={\hat {c}}_{V}nRT

gde

$P$ je pritisak
$V$ je zapremina
$n$ je količina supstance gasa (u molovima)
$R$ je gasna konstanta (8,314 J·K⁻¹mol^-1)
$T$ je apsolutna temperatura
$k$ je konstanta koja se koristi u Bojlovom zakonu
$b$ je konstanta proporcionalnosti; jednaka sa $V/T$
$a$ je konstanta proporcionalnosti; jednaka sa $V/n$
$U$ je unutrašnja energija
${\hat {c}}_{V}$ je bezdimenzioni specifični toplotni kapacitet na konstantnoj zapremini, ≈ 3/2 za monatomski gas, 5/2 za diatomski gas i 3 za kompleksnije molekule.

Da bi se prešlo sa maktroskopskih veličina (leva strana sledeće jednačine) na mikroskopske (desna strana), koristi se

nR=Nk_{B}\

gde

$N$ je broj čestica gasa
$k_{B}$ je Bolcmanova konstanta (1.381×10⁻²³J·K⁻¹).

Raspodela verovatnoće čestica po brzini ili energiji je data Maksvel-Bolcmanovom raspodelom.

Zakon idealnog gasa je ekstenzija eksperimentalno izvedenih gasnih zakona. Realni fluidi male gustine i visoke temperature oponašaju klasični idealni gas. Međutim, na nižim temperaturama i višim gustinama, dolazi do devijacije realnog fluida od ponašanja idealog gasa, posebno pri kondenzaciji iz gasa u tečnost, kao i pri prelazu iz gasovitog u čvrsto stanje. Ova devijaticija se izražava faktorom kompresibilnosti.

Toplotni kapacitet[uredi | uredi izvor]

Toplotni kapacitet, pri konstantnoj zapremini za nR = 1 J·K⁻¹ bilo kojeg gasa, uključujući i idealni gas je:

\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}={\hat {c}}_{V}.

što je bezdimenzioni specifični toplotni kapacitet pri konstantoj zapremini, koja je uglavnom funkcija temperature. Za srednje temperature, za jednoatomske gasove ta konstanta je: ${\hat {c}}_{V}=3/2$ , dok je za dvoatomne gasove ${\hat {c}}_{V}=5/2$ . Toplotni kapacitet, uz konstantni pritisak, za 1 J/K idealnog gasa je:

{\hat {c}}_{p}=\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}={\hat {c}}_{V}+1

gde je: $H=U+pV$ – entalpija gasa.

Zakon idealnog gasa[uredi | uredi izvor]

Zakon idealnog gasa je jednačina stanja idealnog gasa, data obrascem:

PV=nRT\,

gde je

$P$ = pritisak
$V$ = zapremina
$n$ = količina supstance gasa (u molovima)
$R$ = gasna konstanta (0,08206 L · atm · K⁻¹ · molova⁻¹)
$T$ = apsolutna temperatura.

Zakon o idealnom gasu je proširenje eksperimentalno otkrivenog zakona gasova. Takođe se može izvesti iz mikroskopskom smislu.

Stvarne tečnosti, pri niskoj gustini i visokoj temperaturi približne su ponašanju u okvirima klasičnog idealnog gasa. Međutim, pri nižim temperaturama ili većoj gustini, stvarna tečnost jako odstupa od ponašanja idealnog gasa, posebno jer se kondenzira iz gasa u tečnost ili kao talog iz gasa u čvrstu supstancu. Ovo odstupanje izražava se kao faktor kompresibilnosti.

Ova jednačina izvedena je iz

Bojlovog zakona: $V\propto {\frac {1}{P}}$ ;
Šarlov zakon: $V\propto T$ ;
Avogadrov zakon: $V\propto n$ .

Nakon kombinovanja ovih zakona, sledi:

V\propto {\frac {nT}{P}}

gde:

V=R\left({\frac {nT}{P}}\right)

PV=nRT

.

Model na mikroskopskoj razini[uredi | uredi izvor]

Da bi se prebacili s makroskopskih veličina (leva strana sledeće jednačine) na mikroskopske (desna strana), koristi se obrazac:

nR=Nk_{\mathrm {B} }

gde

$N$ = broj čestica gasa;
$k_{\mathrm {B} }$ = Bolcmanova konstanta
$k_{\mathrm {B} }$ (6977138099999999999♠1,381×10⁻²³ J·K⁻¹).

Distribucija verovatnoće čestica prema brzini ili energiji data je pomoću Maksvelove distribucije brzine.

Model idealnog gasa zavisi od sledećih pretpostavki:

Molekuli gasa se ne mogu razlikovati, kao male tvrde kugle;
Svi sudari su elastični i svako kretanje je bez trenja (nema gubitka energije u kretanju ili sudaranju);
Primenjuju se Njutnovi zakoni;
Prosečna udaljenost između molekula mnogo je veća od veličine molekula;
Molekuli se neprestano kreću u slučajnim smerovima s raspodelom brzina;
Ne postoje privlačne ili odbojne sile između molekula, osim onih koje određuju njihova tačkasta kolizija;
Jedine sile između molekula gasa i okoline su one koje određuju tačkaste sudare molekula sa zidovima;
U najjednostavnijem slučaju, ne postoje sile velikog dometa između molekula gasa i okoline.

Kako ne bi bili dozvoljeni načini rotacije, neophodna je pretpostavka o sfernim česticama, za razliku od dvoatomskog plina. Sledeće tri pretpostavke su vrlo povezane: molekuli su tvrdi, sudari su elastični i ne postoje međumolekulekulske sile. Pretpostavka da je prostor između čestica mnogo veći od samih čestica je od najveće važnosti i objašnjava zašto aproksimacija idealnog gasa ne uspeva pri visokim pritiscima.

Entropija[uredi | uredi izvor]

Koristeći samo rezultate termodinamike, može se ići daleko u određivanju izraza za entropiju idealnog gasa. Ovo je važan korak jer, prema teoriji termodinamičkih potencijala, entropija se može izraziti u funkciji $U$ ( $U$ je termodinamički potencijal), zapremine $V$ i broja čestica $N$ , tada se stiče potpuna predstavu o termodinamičkom ponašanju idealnog gasa. Iz ovog izraza se može izvesti i zakon idealnog gasa i izraz za unutrašnju energiju.

Budući da je entropija tačna razlika, koristeći pravilo lanca, promena entropije prilikom prelaska, iz referentnog stanja 0, u neko drugo stanje s entropijom $S$ može se opisati kao $Δ S$ gde:

\Delta S=\int _{S_{0}}^{S}dS=\int _{T_{0}}^{T}\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}\!dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}\!dV

pri čemu referentne varijable mogu biti funkcije broja čestica $N$ . Koristeći definiciju toplotnog kapaciteta pri konstantnoj zapremini za prvi diferencijal i odgovarajućeg Maksvelovog odnosa za drugi, dobija se:

\Delta S=\int _{T_{0}}^{T}{\frac {C_{V}}{T}}\,dT+\int _{V_{0}}^{V}\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}dV.

Izražavajući $C V$ u terminima $ĉ V$ kako je razvijeno u gornjem odjeljku, diferenciranje jednačina stanja idealnog gasa i integrišući, dobija se:

\Delta S={\hat {c}}_{V}Nk\ln \left({\frac {T}{T_{0}}}\right)+Nk\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)

što implicira da se entropija može izraziti kao:

S=Nk\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{f(N)}}\right)

gde su sve konstante ugrađene u logaritam kao $f (N)$ što je neka funkcija broja čestica $N$ koja ima iste dimenzije kao $VT ĉ V$ kako bi argument logaritma bio bezdimenzionalan. Tada se nameće ograničenje da entropija treba da bude opsežna. To će značiti da kada se opsežni parametri ( $V$ i $N$ ) pomnože sa konstantom, entropija će se pomnožiti sa istom to konstantom. Matematički:

S(T,aV,aN)=aS(T,V,N).\,

Iz toga, izvodi se jednačina funkcije $f (N)$

af(N)=f(aN).\,

Razlikovanjem ovoga u odnosu na $a$ , postavljanjem $a$ jednakim 1, a zatim rešavanjem diferencijalne jednačine, dobija se $f (N)$ :

f(N)=\Phi N\,

Gde $Φ$ može varirati za različite gasove, ali će biti nezavisni od njihovog termodinamičkog stanja. Imaće dimenzije $VT ĉ V / N$ . Uvrštavanjem u jednačinu za entropiju, sledi:

{\frac {S}{Nk}}=\ln \left({\frac {VT^{{\hat {c}}_{V}}}{N\Phi }}\right).\,

i koristeći izraz za unutrašnju energiju idealnog gasa, entropija se može napisati kao:

{\frac {S}{Nk}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\,\left({\frac {U}{{\hat {c}}_{V}kN}}\right)^{{\hat {c}}_{V}}\,{\frac {1}{\Phi }}\right]

Budući da je ovo izraz za entropiju u terminima $U$ , $V$ i $N$ , to je temeljna jednačina iz koje mogu biti izvedena sva ostala svojstva idealnog gasa.

Ovo je približno onoliko koliko se može ići koristeći samo termodinamiku. Gornja jednačina je neispravna; kako se temperatura približava nuli, entropija se približava negativnoj beskonačnosti, u suprotnosti sa Trećim zakonom termodinamike. U gore navedenom „idealnom” razvoju postoji kritična tačka, a ne apsolutna nula, u kojoj argument logaritma postaje jedinstven, a entropija nula. Ovo je nefizički. Gornja jednačina dobra je aproksimacija samo kada je argument logaritma mnogo veći od jedinice; koncept idealnog gasa prestaje da važi se pri malim vrednostima $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}V/N$ . Ipak, postojaće „najbolja” vrednost konstante u smislu da je predviđena entropija što bliža stvarnoj entropiji, s obzirom na (nužno) pogrešnu pretpostavku idealnosti. Kvantno-mehanička derivacija ove konstante razvijena je u izvođenju Sakur-Tetrodeova jednačine, koja izražava entropiju monatomskog ( $ĉ V$ = 3/2) idealnog gasa. U Sakur-Tetrodeovoj teoriji, konstanta zavisi samo od mase čestice gasa. Njihova jednačina takođe ima slabu primenu kod divergentne entropije na apsolutnoj nuli, ali je dobra aproksimacija za entropiju monatomskog idealnog gasa za dovoljno visoke temperature.

Alternativni način izražavanja promene u entropiji je:

${\frac {\Delta S}{Nk{\hat {c}}_{V}}}=\ln \left({\frac {P}{P_{0}}}\right)+\gamma \ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)=\ln \left({\frac {PV^{\gamma }}{P_{0}V_{0}^{\gamma }}}\right)\implies PV^{\gamma }=const.\;{\text{за изентропски процес}}$

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Tuckerman, Mark E. (2010). Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation (1st izd.). str. 87. ISBN 978-0-19-852526-4.
^ Peter Atkins; Julio de Paula (2001). Physical Chemistry (7th izd.). W. H. Freeman. ISBN 0716735393.
^ Donald A. McQuarrie; John D. Simon (1997). Physical Chemistry: A Molecular Approach (1st izd.). University Science Books. ISBN 0935702997.
^ Cengel, Yunus A.; Boles, Michael A. Thermodynamics: An Engineering Approach (4th izd.). str. 89. ISBN 0-07-238332-1.
^ „CODATA Value: molar volume of ideal gas (273.15 K, 100 kPa)”. Pristupljeno 2017-02-07.
^ „CODATA Value: molar volume of ideal gas (273.15 K, 101.325 kPa)”. Pristupljeno 2017-02-07.
^ Calvert, J. G. (1990). „Glossary of atmospheric chemistry terms (Recommendations 1990)”. Pure and Applied Chemistry. 62 (11): 2167—2219. doi:10.1351/pac199062112167 .
^ Adkins, C. J. (1983). Equilibrium Thermodynamics (3rd izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. str. 116–120. ISBN 0-521-25445-0.
^ Tschoegl, N. W. (2000). Fundamentals of Equilibrium and Steady-State Thermodynamics. Amsterdam: Elsevier. str. 88. ISBN 0-444-50426-5.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

[tuckerman-1] Tuckerman, Mark E. (2010). Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation (1st izd.). str. 87. ISBN 978-0-19-852526-4.

[Atkins7th-2] Peter Atkins; Julio de Paula (2001). Physical Chemistry (7th izd.). W. H. Freeman. ISBN 0716735393.

[McQuarrie1st-3] Donald A. McQuarrie; John D. Simon (1997). Physical Chemistry: A Molecular Approach (1st izd.). University Science Books. ISBN 0935702997.

[boles-4] Cengel, Yunus A.; Boles, Michael A. Thermodynamics: An Engineering Approach (4th izd.). str. 89. ISBN 0-07-238332-1.

[mvol-5] „CODATA Value: molar volume of ideal gas (273.15 K, 100 kPa)”. Pristupljeno 2017-02-07.

[mvolstd-6] „CODATA Value: molar volume of ideal gas (273.15 K, 101.325 kPa)”. Pristupljeno 2017-02-07.

[IUPAC-7] Calvert, J. G. (1990). „Glossary of atmospheric chemistry terms (Recommendations 1990)”. Pure and Applied Chemistry. 62 (11): 2167—2219. doi:10.1351/pac199062112167 .

[8] Adkins, C. J. (1983). Equilibrium Thermodynamics (3rd izd.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. str. 116–120. ISBN 0-521-25445-0.

[9] Tschoegl, N. W. (2000). Fundamentals of Equilibrium and Steady-State Thermodynamics. Amsterdam: Elsevier. str. 88. ISBN 0-444-50426-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]