Kantorov stav o ravnomernoj neprekidnosti

Kantorov stav daje opšti kriterijum za određivanje ravnomerne neprekidnosti funkcija.

Formulacija

Kantorov stav o ravnomernoj neprekidnosti funkcija ili Kantorova teorema o ravnomernoj neprekidnosti funkcija glasi:

Svaka funkcija $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ koja je neprekidna na intervalu $[a,b]$, ravnomerno je neprekidna na njemu.

Dokaz

Deo 1:

Iz definicije neprekidnosti imamo da ako je funkcija $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ neprekidna na intervalu $[a,b]$ (dato kao uslov za teoremu), onda za proizvoljnu tačku $x$ iz tog segmenta postoji neka okolina $U(x)=(x-\delta ,x+\delta )$ i za sve tačke $x_{1}\in U(x)$ važi: $|f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})$.

Izaberimo 2 tačke, $x_{1},x_{2}\in U(x)$. Tada je:

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .$

Deo 2:

Izaberimo sada okolinu duplo manjeg poluprečnika, $U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})$. Ako takvu okolinu konstruišemo za svaku tačku segmenta $[a,b]$, dobićemo skup otvorenih intervala koji očigledno prekriva ceo segment $[a,b]$, pa skup tih intervala čini pokrivač segmenta $[a,b]$. Iz Borel-Lebegove leme imamo da postoji konačan podpokrivač tog intervala, tj. da postoje tačke $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ tako da njihove okoline $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$ obrazuju podpokrivač segmenta $[a,b]$. Kako tačaka $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ ima konačno mnogo, može se među njihovim okolinama pronaći najmanje ${\frac {\delta _{i}}{2}}$ i označimo ga sa $\delta$.

Deo 3:

Izaberimo sada neku tačku $x'$ iz intervala $[a,b]$ koja pripada nekom od intervala $U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}$, što zapisujemo: $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Izaberimo i tačku $x''$ iz intervala $[a,b]$ koja se nalazi u $\delta$-okolini tačke $x'$, tj. $|x'-x''|<\delta$. To možemo uraditi po definiciji, zato što je funkcija u celom segmentu neprekidna, a pošto je $\delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}$, onda je sigurno i $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$.

Sada, iz $|x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ i $|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}$ imamo da je:

$|x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},$

tj. obe tačke, i $x'$ i $x''$, pripadaju $\delta _{i}$-okolini tačke $x_{i}$, odnosno, obe se nalaze unutar neke okoline $(x-\delta _{i},x+\delta _{i})$, pa iz Dela 1: imamo da je onda $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$, što je i trebalo dokazati.

Napomena

Kantorov stav u navedenom obliku se odnosi na realnu analizu. Analogna teorema postoji i u opštijem slučaju, u topologiji kod metričkih prostora.

Vidi još

• Ravnomerna neprekidnost
• Neprekidnost
• Borel-Lebegova lema

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.