Kardinalan broj

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Kardinalan broj konačnog skupa je broj elemenata skupa. U slučaju beskonačnih skupova kardinalan broj se može definisati kao vrsta beskonačnog skupa u koji se dati skup može preslikati sa bijekcijom.

Vrste beskonačnih skupova su takođe poznate kao stepeni beskonačnosti od kojih postoje dva koji su od posebnog interesa

  • (alef nula) - stepen beskonačnosti skupa prirodnih brojeva
  • - ili kontinuum, stepen beskonačnosti skupa realnih brojeva

Skupovi sa kardinalnim brojem se takođe zovu prebrojivim skupovima. Intuitivno, elementi prebrojivog skupa se mogu poređati pomoću bijekcije na skup prirodnih brojeva, tj. .

Teorija brojeva i koncept beskonačnosti sadrže dosta rezultata koji se protive intuiciji i deluju iznenađujuće za laike npr. skup parnih brojeva je prebrojiv tj ima „isti“ broj elemenata kao skup svih prirodnih brojeva . Ovaj rezultat laički deluje iznenađujuće pošto na prvi pogled izgleda da postoji dvostruko više prirodnih brojeva nego parnih, ali se može jednostavno dokazati preko bijekcije kojom se parni brojevi mogu poređati u .

Georg Kantor je formulisao hipotezu kontinuuma koja tvrdi da ne postoji kardinalan broj između i kontinuuma, tj. .

Za dati skup možemo definisati kardinalan broj skupa svih podskupova kao . Kardinalni brojevi i su povezani preko jednačine . Generalizovana hipoteza kontinuuma tvrdi .