Kvadratni koren

Matematički izraz kvadratnog korena od x.

Na primer, √25 = 5, pošto je 25 = 5 ⋅ 5, ili 5² (5 na kvadrat).

U matematici kvadratni koren je unarna matematička operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem a je ${\sqrt {a}}$, i čita se kao „koren od a”. Kvadratni koren je broja a je broj y tako da y² = a; drugim rečima, broj y čiji je kvadrat a (rezultat množenja broja sa samim sobom, ili y ⋅ y). Na primer, 4 i −4 su kvadratni koreni broja 16, jer je 4² = (−4)² = 16. Potpuno ispravno bi bilo pisati ${\sqrt[{2}]{a}}$, i izgovarati „kvadratni koren od a“, međutim to se ređe radi jer se najveći broj slučajeva pomena korena odnosi na kvadratni koren, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis.

Svaki ne-negativni realni broj a ima jedinstven ne-negativni kvadratni koren, koji se naziva glavni kvadratni koren, koji se označava sa √a, pri čemu se √ naziva znakom korena ili radiksom. Na primer, glavni kvadratni koren od 9 je 3, što se označava sa √9 = 3, jer je 3² = 3 · 3 = 9 i 3 je ne-negativno. Član (ili broj) čiji se kvadratni koren razmatra se naziva radikand. Radikand je broj ili izraz ispod korenskog znaka, u ovom primeru 9.

Svaki pozitivni broj a ima dva kvadratna korena: √a, koji je pozitivan, i −√a, koji je negativan. Zajedno, ova dva korena se označavaju sa ±√a (pogledajte ± stenografski znak). Mada je glavni kvadratni koren pozitivnog broja samo jedan od njegova dva jedinstvena korena, oznaka „kvadratnog korena” se obično koristi za označavanje glavnog kvadratnog korena. Za pozitivno a, glavni kvadratni koren se može napisati u eksponentnoj notaciji, kao a^1/2.

Kvadratni koreni negativnih brojeva se mogu razmatrati u okviru kompleksnih brojeva. Generalnije, kvadratni koreni se mogu razmatrati u bilo kom kontekstu u kojem je definisan pojam „kvadriranja” nekih matematičkih objekata (uključujući algebru matrica, endomorfizam prstenova, itd.)

Definicija

Ova operacija se definiše sledećom relacijom:

Kvadratni koren broja x je nenegativan broj koji pomnožen sam sobom daje x.

Na primer, ${\sqrt {9}}=3$ pošto je $3^{2}=3\cdot 3=9\,$.

Primer pokazuje kako se kvadratni koren pojavljuje prilikom rešavanja kvadratne jednačine $x^{2}=9\,$.

Uopšteno kvadratna jednačina ima oblik $ax^{2}+bx+c=0\,$ i za njeno rešavanje je neophodna primena kvadratnog korena.

Osobine

Grafik funkcije f(x) = √x, čini polovina parabole sa uspravnom direktrisom.

Ova funkcija je diferencijabilna i integrabilna na celom domenu.

Kvadratni koren je funkcija $f(x)={\sqrt {x}}$ koja preslikava skup nenegativnih realnih brojeva $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ na samog sebe.

Kvadratni koren kvadrata nekog realnog broja nije taj broj sam, već njegova apsolutna vrednost:

${\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

Zbog ove svoje osobine, kvadratni koren nije prava inverzna funkcija kvadratnoj funkciji. Kvadratna funkcija i funkcija kvadratnog korena su inverzne na skupu $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$.

Za sve nenegativne realne brojeve x i y važi

${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$

i

${\sqrt {x}}=x^{1/2}.$

Funkcija kvadratnog korena je neprekidna za svako nenegativno x, i diferencijabilna za svako pozitivno x. Ako f označava funkciju kvadratnog korena, čiji derivat je dat sa:

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.$

Tejlorova serija od √1 + x oko x = 0 konvergira za |x| ≤ 1, i data je sa

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,$

Kvadratni koren nenegativnog broja koristi se u definiciji Euklidove norme (i rastojanja), kao i u generalizacijama kao što su Hilbertovi prostori. Njime se definiše važan koncept standardne devijacije koji se koristi u teoriji verovatnoće i statistici. On ima glavnu upotrebu u formuli za korene kvadratne jednačine; kvadratna polja i prstenovi kvadratnih celih brojeva, koji se zasnivaju na kvadratnim korenima, važni su u algebri i koriste se u geometriji. Kvadratni koreni se često pojavljuju u matematičkim formulama drugde, kao i u mnogim fizičkim zakonima.

Kvadratni koren je moguće definisati i na polju kompleksnih brojeva, kao i na matricama.

Kvadratni koreni pozitivnih celih brojeva

Pozitivan broj ima dva kvadratna korena, jedan pozitivan i jedan negativan, koji su međusobno suprotni. Kada se govori o kvadratnom korenu pozitivnog celog broja, obično se misli na pozitivni kvadratni koren.

Kvadratni koreni celog broja su algebarski celi brojevi - tačnije kvadratni celi brojevi.

Kvadratni koren pozitivnog celog broja je umnožak korena njegovih glavnih faktora, jer je kvadratni koren proizvoda proizvod kvadratnih korena faktora. Budući da je √p^2k = p^k, neophodni su samo koreni onih prostih brojeva koji imaju neparnu moć u faktorizaciji. Tačnije, kvadratni koren proste faktorizacije je

${\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.$

Decimalne ekspanzije

Kvadratni koreni savršenih kvadrata (npr. 0, 1, 4, 9, 16) su celi brojevi. U svim ostalim slučajevima, kvadratni koreni pozitivnih celih brojeva su iracionalni brojevi, i stoga u decimalnim prikazima imaju neponavljajuće decimale. Decimalne aproksimacije kvadratnih korena prvih nekoliko prirodnih brojeva date su u sledećoj tabeli.

n	√n, skraćeno na 50 decimala
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

Računanje

Služimo se binomom na kvadrat:$\left(a\cdot 10+b\right)^{2}=a^{2}\cdot 10^{2}+2ab\cdot 10+b^{2}$

Na primer:$\left(1\cdot 10+1\right)^{2}=1^{2}\cdot 10^{2}+2\cdot 1\cdot 10+1^{2}$, a = 1, b = 1.

Postupak dobijanja ovih cifara je sledeći:

Napišemo ${\sqrt {121}}={\sqrt {1|21|}}$, napravili smo grupe po dve cifre, počevši od jedinica, a završavamo sa ciframa najveće težine.

Sada tražimo cifru čiji kvadrat ceo broj puta staje u grupi krajnje lev, u našem slučaju to je 1 i vidimo da samo cifra 1 zadovoljava taj uslov, dakle a = 1, Sada od 121 oduzimamo 100 da bi našli drugu cifru:${\frac {\begin{matrix}\ldots &121\\-&100\end{matrix}}{21}}$; $21={\Bigl (}2\cdot 10+b{\Bigr )}\cdot b$, zato odbacujem jedinice u broju 21 i gledamo u broju 2 koliko se puta sadrži dvostruka vrednost broja a, tj. 2 = 2b, b = 1

Sada je : ${\sqrt {625}}={\sqrt {6|25}}$ => $2^{2}<4=>a=2$ ; ${\frac {\begin{matrix}\ldots &625\\-&400\end{matrix}}{225}}$; $225={\bigl (}2\cdot 2\cdot 10+b{\bigr )}\cdot b$

Probamo:$b={\frac {22}{4}}$ i vidimo da za b = 5 imamo $25^{2}=625$

Probajmo ${\sqrt {2}}={\sqrt {2,|00|00|00|00|}}$, prva cifra je a = 1, $1^{2}<2$

${\frac {\begin{matrix}\ldots &200\\-&100\end{matrix}}{100}}$ ; $100={\bigl (}2\cdot 1\cdot 10+b{\bigr )}\cdot b$ , probamo sa b = 5, jjer je $5={\frac {10}{2}}$, ali $25\cdot 5=125>100$, pa za b uzimamo 4, b = 4.

Sada uzimamo ostatak i dodajemo sledeće dve cifre sa leve strane.

$100-{\bigl (}2\cdot 1\cdot 10+4{\bigr )}\cdot 4=100-24\cdot 4$= ${\frac {\begin{matrix}\ldots &100\\-&96\end{matrix}}{4}}$; $400={\bigl (}2\cdot 14\cdot 10+b{\bigr )}\cdot b$, što je ispunjeno samo za b = 1, 28 < 40. Dobili smo do sada: ${\sqrt {2}}=1.41$ i u daljem postupku dobivene cifre tretiramo kao a, tj. sada je trenutno a = 141.

Nastavljamo postupak, 400 - 281 = ${\frac {\begin{matrix}\ldots &400\\-&281\end{matrix}}{119}}$; $11900={\bigl (}2\cdot 141\cdot 10+b{\bigr )}\cdot b$

probamo $1190=282\cdot b$, b = 4 zadovoljava jer je 1138 < 1190 i konačno naš koren postaje.${\sqrt {2}}=1.414$, 11900 -11296 = ${\frac {\begin{matrix}\ldots &11900\\-&11296\end{matrix}}{604}}$; $6400={\bigl (}2\cdot 1414\cdot 10+b{\bigr )}\cdot b$, ispunjeno za b = 2 i konačno ${\sqrt {2}}=1.4142$ i postupak se nastavlja.....

Opširnije

Kvadratni koren prirodnog broja je često iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primer ${\sqrt {2}}\,$ se ne može zapisati kao m/n, gde su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko tačno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da su ${\sqrt {2}}\,$ i broj 1 nesrazmerni se pripisuje Hipasu, Pitagorinom učeniku. Za pitagorejce je ova činjenica bila toliko šokantna da se termin iracionalan, čiji prvobitni prevod znači nesrazmeran, koji se ne može prikazati u obliku količnika (lat. ratio) i danas koristi za nešto nerazumljivo, strano promišljanju.

Oznaka, simbol, za kvadratni koren (${\sqrt {\ }}$) je prvi put upotrebljena u 16. veku. Skoro je sigurno da je proizašlo iz prilagođenog ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od lat. radix što znači koren.

Vidi još

• Metode za izračunavanje kvadratnog korena
• Kubni koren
• Stepen

Литература

• Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (2nd изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Архивирано из оригинала 1. 9. 2016. г.  Extract of page 78 Архивирано 2016-09-01 на сајту Wayback Machine
• Dauben, Joseph W. (2007). „Chinese Mathematics I”. Ur.: Katz, Victor J. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9. 
• Gel'fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd izd.). Birkhäuser. str. 120. ISBN 978-0-8176-3677-7. 
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00659-8. 
• Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7. 
• Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2 .

Spoljašnje veze

• Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh's square roots webpage
• How to manually find a square root
• AMS Featured Column, Galileo's Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots