Komutativni prsten

U teoriji prstena, grani apstraktne algebre, komutativni prsten je prsten u kome je operacija množenja komutativna. Ovo znači da ako su a i b bilo koja dva elementa prstena, onda je a×b=b×a.

Proučavanje komutativnih prstena se naziva komutativna algebra.

Definicija i prvi primeri

Definicija

Za više informacija pogledajte: Prsten (matematika)

Prsten je skup opremljen sa dve binarne operacije, tj. operacijama koje kombinuju bilo koja dva elementa prstena u treći. Zovu se sabiranje i množenje i obično se označavaju sa „$+$” i „$\cdot$”; na primer $a+b$ i $a\cdot b$. Da bi se formirao prsten, ove dve operacije moraju da zadovolje brojna svojstva: prsten mora biti abelova grupa pod sabiranjem, kao i monoid pod množenjem, gde se množenje distribuira preko sabiranja; tj. $a\cdot \left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)$. Elementi identiteta za sabiranje i množenje su označeni sa $0$ i $1$, respektivno.

Ako je množenje komutativno, tj.

$$a\cdot b=b\cdot a,$$

tada se prsten $R$ naziva komutativnim. U ostatku ovog članka, svi prstenovi će biti komutativni, osim ako je eksplicitno drugačije navedeno.

Prvi primeri

Važan primer, i u nekom smislu ključan, je prsten celih brojeva $\mathbb {Z}$ sa dve operacije sabiranja i množenja. Pošto je množenje celih brojeva komutativna operacija, ovo je komutativni prsten. Obično se označava sa $\mathbb {Z}$ kao skraćenica od nemačke reči Zahlen (brojevi).

Polje je komutativni prsten gde je $0\not =1$ i svaki element $a$ koji nije nula je inverzibilan; tj. ima multiplikativnu inverznu vrednost $b$ takvu da je $a\cdot b=1$. Prema tome, po definiciji, bilo koje polje je komutativni prsten. Racionalni, realni i kompleksni brojevi formiraju polja.

Ako je $R$ dati komutativni prsten, onda skup svih polinoma u promenljivoj $X$ čiji su koeficijenti u $R$ formira polinomski prsten, označen kao $R\left[X\right]$. Isto važi i za nekoliko promenljivih.

Ako je $V$ neki topološki prostor, na primer podskup nekog$\mathbb {R} ^{n}$, kontinualne funkcije realne- ili kompleksne vrednosti na $V$ formiraju komutativni prsten. Isto važi i za diferencijabilne ili holomorfne funkcije, kada su dva koncepta definisana, kao što je $V$ kompleksna mnogostrukost.

Deljivost

Za razliku od polja, gde je svaki element različit od nule multiplikativno invertibilan, koncept deljivosti za prstenove je bogatiji. Element $a$ prstena $R$ naziva se jedinica ako poseduje multiplikativnu inverznu vrednost. Drugi poseban tip elementa su delioci nule, odnosno element $a$ prstena takav da postoji element prstena $b$ koji nije nula, pri čemu je $ab=0$. Ako $R$ ne poseduje delioce nule koji nisu nula, naziva se integralni domen (ili domen). Element $a$ koji zadovoljava $a^{n}=0$ za neki pozitivan ceo broj $n$ se naziva nilpotentnim.

Lokalizacije

Glavni članak: Lokalizacija prstena

Lokalizacija prstena je proces u kome se neki elementi pretvaraju u invertibilne, tj. u prstenu se dodaju multiplikativni inverzi. Konkretno, ako je $S$ multiplikativno zatvoren podskup od $R$ (tj. kad god $s,t\in S$ onda je i $st$) onda je lokalizacija $R$ na $S$, ili prsten razlomaka sa imeniocima u $S$, koji se obično označava $S^{-1}R$ sastavljen od simbola

${\frac {r}{s}}$ with $r\in R,s\in S$

podležu određenim pravilima koja oponašaju poništavanje poznato iz racionalnih brojeva. Zaista, na ovom jeziku $\mathbb {Q}$ je lokalizacija $\mathbb {Z}$ različita od nule za sve cele brojeve. Ova konstrukcija funkcioniše za bilo koji integralni domen $R$ umesto $\mathbb {Z}$. Lokalizacija $\left(R\backslash \left\{0\right\}\right)^{-1}R$ je polje koje se naziva količnik polja $R$.

Primeri

• Najvažniji primer je prsten celih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja. Uobičajeno množenje celih brojeva je komutativno. Prsten se obično obeležava slovom Z, od nemačke reči Zahlen (brojevi).
• Racionalni, realni i kompleksni brojevi čine komutativne prstene; oni su štaviše polja.
• Opštije, svako polje je komutativni prsten, pa je klasa polja potklasa klase komutativnih prstenova.
• Prost primer nekomutativnog prstena je skup svih matrica dimenzije 2-sa-2 čiji su elementi realni brojevi. Na primer, množenje matrica

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}$

nije jednako množenju izvedenom suprotnim redosledom:

${\begin{bmatrix}1&1\\1&0\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&2\\1&1\\\end{bmatrix}}.$

• Ako je n pozitivan ceo broj, tada skup Z_n celih brojeva po modulu n čini komutativni prsten sa n elemenata (vidi modularna aritmetika).
• Ako je R dati komutativni prsten, onda je skup svih polinoma promenljive X čiji koeficijenti su iz R gradi novi komutativni prsten koji se označava sa R[X].

Lokalni prsteni

prsten se naziva lokalnim ako ima samo jedan maksimalni ideal, označen sa m. Za bilo koji (ne nužno lokalni) prsten R, lokalizacija

R_p

na prostom idealu p je lokalna. Ova lokalizacija odražava geometrijska svojstva Spec R „oko p”. Nekoliko pojmova i problema u komutativnoj algebri mogu se svesti na slučaj kada je R lokalno, što lokalne prstenove čini posebno duboko proučavanom klasom prstenova. Polje ostatka R je definisano kao

k = R / m.

Bilo koji R-modul M daje k-vektorski prostor dat sa M / mM. Nakajamina lema pokazuje da ovaj pasus čuva važne informacije: konačno generisani modul M je nula ako i samo ako je M / mM nula.

Redovni lokalni prstenovi

Kriva kubne ravni (crvena) definisana jednačinom y² = x²(x + 1) je singularna u početku, odnosno, prsten k[x, y] / y² − x²(x + 1), nije regularan prsten. Tangentni konus (plavi) je spoj dve prave, koji takođe odražava singularnost.

k-vektorski prostor m/m² je algebarska inkarnacija kotangensnog prostora. Neformalno, elementi od m se mogu smatrati funkcijama koje nestaju u tački p, dok m² sadrži one koje nestaju redosledom od najmanje 2. Za bilo koji Neterov lokalni prsten R, nejednakost

dim_k m/m² ≥ dim R

važi, odražavajući ideju da kotangentni (ili ekvivalentno tangentni) prostor ima najmanje dimenziju prostora Spec R. Ako je jednakost istinita u ovoj proceni, R se naziva regularnim lokalnim prstenom. Neterov lokalni prsten je pravilan ako i samo ako je prsten (koji je prsten funkcija na tangentnom konusu)

$$\bigoplus _{n}m^{n}/m^{n+1}$$

izomorfan polinomskom prstenu nad k. Uopšteno govoreći, regularni lokalni prstenovi su donekle slični polinomskim prstenovima. Uobičajeni lokalni prstenovi su UFD-ovi.

Diskretni prstenovi za vrednovanje su opremljeni funkcijom koja dodeljuje ceo broj bilo kom elementu r. Ovaj broj, nazvan vrednovanje r, može se neformalno smatrati nultim ili polnim redom r. Diskretni vrednosni prstenovi su upravo jednodimenzionalni regularni lokalni prstenovi. Na primer, prsten klica holomorfnih funkcija na Rimanovoj površini je diskretni vrednosni prsten.

Kompletni preseci

Uvrnuti kubni (zelena) je potpuni presek u teoriji skupova, ali ne i potpuni.

Po Krulovoj glavnoj teoremi ideala, temeljnom rezultatu teorije dimenzija prstenova, dimenzija

R = k[T₁, ..., T_r] / (f₁, ..., f_n)

je najmanje r − n. Prsten R se naziva kompletnim presečnim prstenom ako se može predstaviti na način koji postiže ovu minimalnu granicu. Ovaj pojam se takođe uglavnom proučava za lokalne prstenove. Svaki regularni lokalni prsten je kompletan presečni prsten, ali ne i obrnuto.

Prsten R je potpuni presek u teoriji skupova ako je redukovani prsten pridružen R, tj. onaj dobijen deljenjem svih nilpotentnih elemenata, potpuni presek. Prema podacima iz 2017. godine, generalno je nepoznato da li su krive u trodimenzionalnom prostoru potpuni preseci teorijskih skupova.

Koen-Makolejevi prstenovi

Dubina lokalnog prstena R je broj elemenata u nekom (ili, kako se može pokazati, bilo kom) maksimalnom regularnom nizu, tj. nizu a₁, ..., a_n ∈ m tako da su svi a_i delioci različiti od nule u

R / (a₁, ..., a_i−1).

Za bilo koji lokalni Neterov prsten, važi nejednakost

depth (R) ≤ dim (R)

Lokalni prsten u kome se ostvaruje jednakost naziva se Koen–Makolejev prsten. Lokalni kompletni presečni prstenovi, i a fortiori, regularni lokalni prstenovi su Koen–Makolej, ali ne i obrnuto. Kohen–Makalej kombinuje poželjna svojstva regularnih prstenova (kao što je osobina da budu univerzalni lančani prstenovi, što znači da se (ko)dimenzija prostih brojeva dobro ponaša), ali su takođe robustniji u uzimanju količnika od regularnih lokalnih prstenova.

Literatura

• Christensen, Lars Winther; Striuli, Janet; Veliche, Oana (2010), „Growth in the minimal injective resolution of a local ring”, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 81 (1): 24—44, S2CID 14764965, arXiv:0812.4672 , doi:10.1112/jlms/jdp058 
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Hochster, Melvin (2007), „Homological conjectures, old and new”, Illinois J. Math., 51 (1): 151—169, doi:10.1215/ijm/1258735330  
• Jacobson, Nathan (1945), „Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”, Annals of Mathematics, 46 (4): 695—707, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205, doi:10.2307/1969205 
• Lyubeznik, Gennady (1989), „A survey of problems and results on the number of defining equations”, Representations, resolutions and intertwining numbers, str. 375—390, Zbl 0753.14001 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd izd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Pinter-Lucke, James (2007), „Commutativity conditions for rings: 1950–2005”, Expositiones Mathematicae, 25 (2): 165—174, ISSN 0723-0869, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001  
• Atiyah, Michael; Macdonald, I. G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications., Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised izd.), University of Chicago Press, MR 0345945 
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, str. xiii+234, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958), Commutative Algebra I, II, University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.  (Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)
• Artin, Michael (2018). Algebra (2nd izd.). Pearson. 
• Atiyah, Michael; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison–Wesley. 
• Bourbaki, N. (1964). Algèbre commutative. Hermann. 
• Bourbaki, N. (1989). Algebra I, Chapters 1–3. Springer. 
• Cohn, Paul Moritz (2003), Basic algebra: groups, rings, and fields, Springer, ISBN 978-1-85233-587-8 .
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer. 
• Gallian, Joseph A. (2006). Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition. Houghton Mifflin. ISBN 9780618514717. 
• Gardner, J.W.; Wiegandt, R. (2003). Radical Theory of Rings. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 0824750330. 
• Herstein, I. N. (1994) [reprint of the 1968 original]. Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. 15. With an afterword by Lance W. Small. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X. 
• Hungerford, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition. Brooks/Cole. ISBN 9780030105593. 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (2nd izd.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Jacobson, Nathan (1964). „Structure of rings”. American Mathematical Society Colloquium Publications (Revised izd.). 37. 
• Jacobson, Nathan (1943). „The Theory of Rings”. American Mathematical Society Mathematical Surveys. I. 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised izd.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945 .
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd izd.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Lam, Tsit Yuen (2003). Exercises in classical ring theory. Problem Books in Mathematics (2nd izd.). Springer. ISBN 0-387-00500-5. 
• Lam, Tsit Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics. 189. Springer. ISBN 0-387-98428-3. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 .
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. 
• Milne, J. „A primer of commutative algebra”. 
• Rotman, Joseph (1998), Galois Theory (2nd izd.), Springer, ISBN 0-387-98541-7 .
• van der Waerden, Bartel Leendert (1930), Moderne Algebra. Teil I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 33, Springer, ISBN 978-3-540-56799-8, MR 0009016 .
• Warner, Seth (1965). Modern Algebra. Dover. ISBN 9780486663418. 
• Wilder, Raymond Louis (1965). Introduction to Foundations of Mathematics. Wiley. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Commutative Algebra. 1. Van Nostrand. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 
• Ballieu, R. (1947). „Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif”. Ann. Soc. Sci. Bruxelles. I (61): 222—227. 
• Berrick, A. J.; Keating, M. E. (2000). An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge University Press. 
• Cohn, Paul Moritz (1995), Skew Fields: Theory of General Division Rings, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 57, Cambridge University Press, ISBN 9780521432177 
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Gilmer, R.; Mott, J. (1973). „Associative Rings of Order”. Proc. Japan Acad. 49: 795—799. doi:10.3792/pja/1195519146 . 
• Harris, J. W.; Stocker, H. (1998). Handbook of Mathematics and Computational Science. Springer. 
• Isaacs, I. M. (1994). Algebra: A Graduate Course. AMS. ISBN 978-0-8218-4799-2. 
• Jacobson, Nathan (1945), „Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”, Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 46 (4): 695—707, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205, doi:10.2307/1969205 
• Knuth, D. E. (1998). The Art of Computer Programming. 2: Seminumerical Algorithms (3rd izd.). Addison–Wesley. 
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Dover. ISBN 9780486411477. 
• Milne, J. „Class field theory”. 
• Nagata, Masayoshi (1962) [1975 reprint], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 
• Pierce, Richard S. (1982). Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics. 88. Springer. ISBN 0-387-90693-2. 
• Poonen, Bjorn (2018), Why all rings should have a 1 (PDF), arXiv:1404.0135  
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer 
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, 585, Springer, ISBN 9783540373704 
• Weibel, Charles. „The K-book: An introduction to algebraic K-theory”. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics. 28–29. Springer. ISBN 0-387-90089-6. 
• Fraenkel, A. (1915). „Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen”. J. Reine Angew. Math. 145: 139—176. 
• Hilbert, David (1897). „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4. 
• Noether, Emmy (1921). „Idealtheorie in Ringbereichen”. Math. Annalen. 83 (1–2): 24—66. S2CID 121594471. doi:10.1007/bf01464225. 

Spoljašnje veze

Mediji vezani za članak Komutativni prsten na Vikimedijinoj ostavi