Kontrakcija (matematika)

U matematici, kontrakcija, ili funkcija kontrakcije, na metričkom prostoru (M, d) je funkcija f sa skupa M na samog sebe, sa svojstvom da postoji neki realan broj $0<k<1$, takav da, za svako x i y iz M,

$d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).$

Najmanje takvo k se naziva Lipšicovom konstantom za f. Kontraktivna preslikavanja se nazivaju Lipšicovim preslikavanjima. Ako je gornji uslov zadovoljen za $0<k\leq 1$, onda se kaže da je preslikavanje neekspanzivno.

Opštije, ideja kontraktivnog preslikavanja se može definisati za preslikavanja između metričkih prostora. Stoga, ako su (M, d) i (N, g) dva metrička prostora, i $f:M\rightarrow N$, onda tražimo konstantu k, takvu da je $g(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)$ za svako x i y iz M.

Svaka kontrakcija je Lipšic-neprekidna i stoga uniformno neprekidna.

Kontrakciono preslikavanje ima najviše jednu nepokretnu tačku. Štaviše, Banahova teorema o nepokretnoj tački tvrdi da svako kontrakciono preslikavanje na nepraznom kompletnom metričkom prostoru ima jedinstvenu nepokretnu tačku, i da za svako x iz M iterirani niz x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... konvergira ka toj nepokretnoj tački. Ovaj koncept je veoma koristan za sisteme iteriranih funkcija gde se kontrakcije često koriste. Banahova teorema o nepokretnoj tački se takođe primenjuje u dokazivanju postojanja rešenja ordinarnih diferencijalnih jednačina, kao i u jednom dokazu teoreme o inverzu funkcije.

Literatura

• Shifrin, Theodore (2005). Multivariable Mathematics. Wiley. str. 244-260. ISBN 978-0-471-52638-4. 
• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland. 1981. ISBN 90-277-1224-7.
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory. Springer-Verlag, New York. 2003. ISBN 978-0-387-00173-9.
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London. ISBN 978-0-7923-7073-4.