Koordinate

Sferni koordinatni sistem se često koristi u fizici. On sadrži tri broja (poznata kao koordinate) za svaku tačku u Euklidovom prostoru: radijalno rastojanje r, polarni ugao θ (teta), i azimutski ugao φ (fi). Simbol ρ (ro) se često koristi umesto r.

Pravougaoni prostorni (trodimenzionalni) koordinatni sistem.

Koordinate su brojni ili uglovni elementi koji određuju položaj neke tačke u ravni ili prostoru. Zavisno od potrebe, koordinate mogu biti određene sa jednom, dve, ili tri tačke.

U geometriji, koordinatni sistem je sistem koji koristi jedan ili više brojeva, ili koordinata, da jedinstveno odredi poziciju tačaka ili drugih geometrijskih elemenata na manifoldu kao što je Euklidov prostor. Redosled koordinata je značajan, i one su ponekad identifikuju po njihovoj poziciji u uređenoj N-torci a ponekad slovom, kao u „x-koordinata”. Koordinate su realni brojevi u elementarnoj matematici, ali mogu da budu kompleksni brojevi ili elementi apstraktnijeg sistema kao što je komutativni prsten. Upotreba koordinatnog sistema omogućava problemima u geometriji da budu translirani u probleme o brojevima vice versa; to je osnova analitičke geometrije.

Uobičajeni koordinatni sistemi

Koordinatni sistem je skup linija i ravni koje se koriste za nedvosmisleno određivanje položaja nekog objekta njegovim koordinatama. Postoji više vrsta koordinatnih sistema.

• Koordinatni sistemi u ravni:
  • Pravougli koordinatni sistem. Dve prave linije (koordinatne ose) se seku pod pravim uglom u jednoj tački (koordinatni početak, ishodište). Horizontalna osa je iks (X) osa (ordinatna osa), a vertikalna osa je ipsilon (Y) osa (apscisna osa).
  • Kosougli koordinatni sistem. Razlikuje se od pravouglog po tome što ugao između koordinatnih osa nije 90 stepeni.
  • Polarni koordinatni sistem. Ima usvojeni koordinatni početak O i orijentisanu pravu liniju OP (polarna osa). Položaj tačke je određen polarnim koordinatama: ro (ρ) (polarna razdaljina, radijus vektor, poteg) i fi (φ) (polarni ugao, anomalija, amplituda).
• Koordinatni sistemi u prostoru:
  • Pravougli ili kosougli. Ovaj sistem stvaraju tri koordinatne ose, X, Y i Z, koje se međusobno seku pod nekim uglom. Položaj tačke je određen sa tri koordinate — ordinata X, apscisa Y i aplikata Z.
  • Cilindrični. Polarni koordinatni sistem je u ravni XY, a smer koordinatne ose Z. Cilindrične koordinate su φ, ρ i Z.
  • Sferni. Obrazuju ga dva polarna sistema. Postoji ravan XY i ravan ZT. Sferne koordinate. r, ρ i φ se zovu i polarne koordinate u prostoru.

Brojčana osa

Glavni članak: Brojčana osa

Najjenostavniji primer coordinatnog sistema je identifikacija tačaka na liniji sa realnim brojevima koristeći brojčanu liniju. U tom sistemu, jedna arbitrarna tačka O (koordinatni početak) se bina na datoj liniji. Koordinata tačke P je definisana kao rastojanje od O do P, pri čemu to rastojanje može da bude pozitivno ili negativno u zavisnosti od toga na kojoj strani linije P leži. Svakoj tački je dodeljena jedinstvena koordinata i svaki realni broj je koordinata jedinstvene tačke.

Brojčana osa

Kartezijski koordinatni sistem

Glavni članak: Kartezijski koordinatni sistem

Kartezijski koordinatni sistem u ravni.

Prototipni primer koordinatnog sistema je Kartezijski koordinatni sistem. U ravni, dve normalne linije su izabrane i koordinate tačke su date kao rastojanja na linijama.

Kartezijski koordinatni sistem u prostoru

U tri dimenzije, tri međusobno normalne ravni se izabrane i tri koordinate tačke su rastojanja do svake ravni. Ovo se može generalisati kreiranjem n koordinata za svaku tačku u n-dimenzionom Euklidovom prostoru.

U zavisnosti od smera i redosleda koordinatnih osa sistem može da bude desnoruki ili levoruki sistem. Ovo je jedan od mnogih koordinatnih sistema.

Polarni koordinatni sistem

Glavni članak: Polarni koordinatni sistem

Još jedan koordinatni sistem u širokoj upotrebi je polarni koordinatni sistem. Jedna tačka se bira kao pol i prava koja prolazi kroz tu tačku se uzima kao polarna osa. Za dati ugao θ, postoji jedna linija kroz pol čiji ugao sa polarnom osom je θ (mereno nasuprot kretanju kazaljki na satu od ose do te linije). Zatim postoji jedinstevena tačka na toj liniji čije rastojanje od koordinatnog početka je r za dati broj r. Za dati par koordinata (r, θ) postoji jedna tačka, mada je svaka tačka predstavljena mnogim parovima koordinata. Na primer, (r, θ), (r, θ+2π) i (−r, θ+π) su sve koordinte iste tačke. Koordinatni početak se predstavlja sa (0, θ) za bilo koju vrednost θ.

Cilindrični i sferni koordinatni sistem

Glavni članci: Cilindrični koordinatni sistem i Sferni koordinatni sistem

Postoje dva uobičajena metoda za proširivanje polarnog koordinatnog sistema u tri dimenzije. U cilindričnom koordinatnom sistemu, z-koordinata sa istim značenjem kao u Kartezijskim koordinatama se dodaje na r i θ polarne koordinate čime se formira triplet (r, θ, z). Sferične koordinate čine korak dalje konvertujući par cilindričnih koordinata (r, z) u polarne koordinate (ρ, φ) čime se formira triplet (ρ, θ, φ).

Homogeni koordinatni sistem

Glavni članak: Homogene koordinate

Tačka u ravni se može predstaviti u homogenim koordinatama u vidu tripleta (x, y, z) gde su x/z i y/z Kartezijske koordinate te tačke. Ovim se uvodi jedna „ekstra” koordinata pošto su samo dve potrebne za specificiranje tačke u ravni, međutim ovaj sistem je koristan zato što predstavlja svaku tačku na projektivnoj ravni bez upotrebe beskonačnosti. Generalno, homogeni koordinatni sistem je onaj u kome su samo odnosi koordinata značajni i ne stvarne vrednosti.

Drugi često korišteni sistemi

Neki drugi koordinatni sistemi u širokoj upotrebi su:

• Krivolinearne koordinate su generalizacija koordinatnih sistema; sistem je baziran na preseku krivih.
  • Ortogonalne koordinate: koordinatne površine se sastaju pod pravim uglovima
  • Zakošene koordinate: koordinatne površine nisu ortogonalne
• Log-polarni koordinatni sistem predstavlja tačku u ravni logaritmom rastojanja od koordinatnog početka i uglom koji se meri od referentne linije koja prolazi kroz koordinatni početak.
• Plikerove koordinate su način predstavljanja linija u 3D Euklidovom prostoru koristeći šest brojeva kao homogene koordinate.
• Generalizovane koordinate se koriste u Lagranžovom treatmanu mehanike.
• Kanoničke koordinate se koriste u Hamiltonijanskom treatmanu mehanike.
• Baricentrične koordinate se koriste za ternarnim grafikonima i generalno u analizi trouglova.
• Trilinearne koordinate se koriste u kontekstu trouglova.

Postoje načini za opisivanje krivih bez koordinata, koristeći intrinzične jednačine koje koriste invarijantne kvantitete kao što su zakrivljenost i dužina luka. Ovi su obuhvaćene:

• Vevelova jednačina povezuje dužinu luka i tangentni ugao.
• Čezarova jednačina povezuje dužinu luka i zakrivljenost.

Koordinate geometrijski objekata

Koordinatni sistemi se često koriste za specificiranje pozicije tačke u prostoru, mada se oni isto tako mogu koristiti za specificiranje pozicije kompleksnijih figura kao što su linije, ravni, krugovi ili sfere. Na primer, Plikerove koordinate se koriste za određivanje pozicije linije u prostoru. Kada za tim postoji potreba, tip figure koja se opisuje se koristi za razlikovanje tipa koordinatnog sistema, na primer termin linijske koordinate se koristi za bilo koji koordinatni sistem koji specificira poziciju linije.

Može se desiti da su sistemi koordinata za dva različita skupa geometrijskih figura ekvivalentni u smislu njihove analize. Primer ovoga su sistemi homogenih koordinata za tačke i linije u projektnoj ravni. Dva sistema u ovakvom slučaju nazivaju se dualističkim. Dualistički sistemi imaju svojstvo da se rezultati iz jednog sistema mogu preneti na drugi pošto su ti rezultati jedino različite interpretacije istog analitičkog rezultata; ovo je poznato kao princip dualnosti.

Transformacije

Vidi još: Aktivne i pasivne transformacije

Glavni članak: Spisak zajedničkih transformacija koordinata

Zbog toga što često postoje različiti mogući koordinatni sistemi za opisivanje geometrijskih figura, važno je da se razume kako su oni povezani. Ovakvi odnosi se opisuju kao koordinatne transformacije koje daju formule za koordinate u jednom sistemu u smislu koordinata u drugom sistemu. Na primer u ravni, ako Kartezijske koordinate (x, y) i polarne koordinate (r, θ) imaju isti koordinatni početak, i ako je polarna osa pozitivna x osa, onda su koordinatne transformacije iz polarnih u Kartezijske koordinate date sa x = r cosθ i y = r sinθ.

Sa svakom bijekcijom iz prostora do sebe mogu se povezati dve koordinatne transformacije:

• takva da su nove koordinate slike svake tačke iste kao i stare koordinate originalne tačke (formule za mapiranje su inverzne onima za transformaciju koordinata)
• takva da su stare koordinate slike svake tačke iste kao i nove koordinate izvorne tačke (formule za mapiranje su iste kao i za koordinatnu transformaciju)

Na primer, u 1D, ako je mapiranje translacija za 3 nadesno, prvom se pomera koordinatni početak od 0 do 3, tako da koordinate svake tačke postaju za 3 manje, dok se drugom pomera koordinatni početak od 0 do -3, tako da koordinate svake tačke postaju za 3 veće.

Koordinatne linije/krive i ravni/površine

U dve dimenzije, ako se jedna od koordinata u tačci koordinatnog sistema drži konstantnom, a drugoj koordinati se dozvoli da varira, onda se dobijena kriva naziva koordinatnom krivom. U Dekartovom koordinatnom sistemu koordinatne krive su zapravo prave linije, i stoga koordinatne linije. Specifično, one su linije koje su paralelne sa jednom od koordinatnih osa. U drugim koordinatnim sistemima koordinatne krive mogu biti generalne krive. Na primer, koordinatne krive u polarnim koordinatama dobijene držanjem r na konstantnoj vrednosti su krugovi sa centrom u koordinatnom početku. Koordinatni sistemi za Euklidov prostor osim Kartezijanskog koordinatnog sistema se nazivaju krivolinijskim koordinatnim sistemima. Takve procedure nisu uvek smislene, na primer ne postoje koordinatne krive u homogenom koordinatnom sistemu.

Koordinatne površine trodimenzionih paraboloidnih koordinata.

U trodimenzionom prostoru, ako se jedna koordinata drži konstantnom, a drugim dvema se dozvoli da variraju, onda se rezultirajuća površina naziva koordinatnom površinom. Na primer, koordinatne površine dobijene držanjem ρ vrednosti konstantnom u sfernom koordinatnom sistemu su sfere sa centrom u koordinatnom početku. U trodimenzionom prostoru presek dve koordinatne površine je koordinatna kriva. U Kartezijskom koordinatnom sistemu može se govoriti o koordinatnim ravnima.

Slično tome, koordinatne hiperpovršine su (n − 1)-dimenzioni prostori koji proističu iz fiksiranja jedne koordinate n-dimenzionalnog koordinatnog sistema.

Koordinatne mape

Glavni članak: Koordinatna mapa

Za više informacija pogledajte: Mnogostrukost

Koncept koordinatne mape, ili koordinatnog grafikona je centralan za teoriju mnogostrukosti. Koordinatna mapa je esencijalno koordinatni sistem za podskup određenog prostora sa svojstvom da svaka tačka ima precizno jedan set koordinata. Preciznije, koordinatna mapa je homeomorfizam iz jednog otvorenog podskupa prostora X na otvoreni potskup Rⁿ. Često nije moguće obezbediti jedan konzistentni koordinatni sistem za čitav prostor. U tom slučaju, kolekcija koordinatnih mapa se sastavlja da bi se formirao atlas koji pokriva prostor. Prostor opremljen takvim atlasom naziva se mnogostrukost, i dodatna struktura se može definisati na mnogostrukosti ako je struktura konzistentna, gde se mape koordinata preklapaju. Na primer, diferencijabilna mnogostrukost je mnogostrukost gde je promena koordinata iz jedne koordinatne mape u drugu uvek diferencijabilna funkcija.

Koordinate zasnovane od orijentacije

U geometriji i kinematici, koordinatni sistemi se koriste ne samo za opisivanje (linearne) pozicije tačke, već isto tako ugaone pozicije osa, ravni, i krutih tela. U kasnijem slučaju, orijentacija drugog (koji se tipično naziva „lokalnim”) koordinatnog sistema, fiksiranog u čvoru, definiše se na bazi prvog (koji se tipično naziva „globalnim” ili „svetskim” koordinatnim sistemom). Na primer, orijentacija čvrstog tela se može predstaviti pomoću orijentacione matrice, koja obuhvata u svoje tri kolone kartezijanske koordinate tačaka. Te tačke se koriste za definisanje orijentacije osa lokalnog sistema; one su vrhovi tri jedinična vektora poravnata sa tim osama.

Vidi još

• Dekartov koordinatni sistem

Literatura

• Schaub, Hanspeter; Junkins, John L. (2003). „Rigid body kinematics”. Analytical Mechanics of Space Systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics. str. 71. ISBN 978-1-56347-563-4. 
• Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. str. 38. ISBN 978-3-540-34235-9. 
• Tang, K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. 2. Springer. str. 13. ISBN 978-3-540-30268-1. 
• Hodge, W. V. D.; D. Pedoe (1994) [1947]. Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5. 
• Jones, Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon. 
• Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ur. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 978-0-395-77114-3. 
• Serway, Raymond A.; Jewett Jr., John W. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 978-0-534-49143-7. 
• Finney, Ross; Thomas, George; Demana, Franklin; Waits, Bert (1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (Single Variable Version izd.). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 978-0-201-55478-6. 
• Morse, PM; Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. str. 658. ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN 52011515. 
• Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. str. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486. 
• Moon P, Spencer DE (1988). „Rectangular Coordinates (x, y, z)”. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print izd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-18430-2. 
• Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5th izd.). Brooks Cole. ISBN 978-0-495-56521-5. 
• Vojna enciklopedija, Beograd, 1972, knjiga četvrta. pp. 572.
• Voitsekhovskii, M.I.; Ivanov, A.B. (2001). „Coordinates”. Ur.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Woods, Frederick S. (1922). Higher Geometry. Ginn and Co. 
• Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Geometry of Differential Forms. AMS Bookstore. str. 12. ISBN 978-0-8218-1045-3. 
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6 
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics/An Introduction (7th izd.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th izd.), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5 
• Descartes, René (2001). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Prevod: Paul J. Oscamp (Revised izd.). Indianapolis, IN: Hackett Publishing. ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC 488633510. 
• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (1st izd.). New York: McGraw-Hill. LCCN 59-14456. OCLC 19959906. 
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. LCCN 67-25285. 
• Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York City: Springer-Verlag. LCCN 67025285. 
• Zwillinger, Daniel (1992). Handbook of Integration. Boston: Jones and Bartlett Publishers. ISBN 978-0-86720-293-9. OCLC 25710023. 
• Szymanski, J. E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications. Tutorial Guides in Electronic Engineering (no. 16). Taylor & Francis. ISBN 978-0-278-00068-1. 
• Nunn, Robert H. (1989). Intermediate Fluid Mechanics. Taylor & Francis. ISBN 978-0-89116-647-4. 
• Sparke, Linda Siobhan; Gallagher, John Sill (2007). Galaxies in the Universe: An Introduction (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85593-8. 
• Duffett-Smith P, Zwart J (2011). Practical Astronomy with your Calculator or Spreadsheet, 4th Edition. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0521146548. 
• Mortenson, Michael E. (1999). Mathematics for Computer Graphics Applications. Industrial Press Inc. ISBN 978-0-8311-3111-1. 
• McConnell, Jeffrey J. (2006). Computer Graphics: Theory into Practice. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-2250-0. 
• Bôcher, Maxime (1907). Introduction to Higher Algebra. Macmillan. 
• Briot, Charles; Bouquet, Jean Claude (1896). Elements of Analytical Geometry of Two Dimensions. trans. J.H. Boyd. Werner school book company. 
• Cox, David A.; Little, John B.; O'Shea, Donal (2007). Ideals, Varieties, and Algorithms. Springer. ISBN 978-0-387-35650-1. 
• Garner, Lynn E. (1981), An Outline of Projective Geometry, North Holland, ISBN 978-0-444-00423-9 
• Miranda, Rick (1995). Algebraic Curves and Riemann Surfaces. AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-0268-7. 
• Wilczynski, Ernest Julius (1906). Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. B.G. Teubner. 
• Stillwell, John (2002). Mathematics and its History. Springer. ISBN 978-0-387-95336-6. 
• King, David A. (2005). „The Sacred Geography of Islam”. Ur.: Koetsier, Teun; Luc, Bergmans. Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-444-50328-2. 

Spoljašnje veze

• Heksagonalni koordinatni sistem
• Koordinate tačke
• Cartesian Coordinate System
• „Cartesian coordinates”. PlanetMath. 
• MathWorld description of Cartesian coordinates
• -{Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinatesv
• open source JavaScript class for 2D/3D Cartesian coordinate system manipulation