Kub

y = x³ za vrednosti 0 ≤ x ≤ 25.

U aritmetici i algebri, kub broja n je njegov treći eksponent: rezultat broja pomnoženog samim sobom dva puta:

n³ = n × n × n.

To je takođe i broj pomnožen svojim kvadratom:

n³ = n × n².

To je ujedno i formula za zapreminu za geometrijsku kocku sa stranom dužine n, što dovodi do imena. Inverzna operacija od pronalaženja broja čiji kub je n se zove vađenje kubnog korena od n. Ona određuje stranu kocke datog zapremine. To je takođe n podignuto na jednu-trećinu.

Oba kuba i kubni koren su neparne funkcije:

(−n)³ = −(n³).

Kub broja ili drugog matematičkog izraza se označava pomoću eksponenta 3, na primer 2³ = 8 ili (x + 1)³.

Celi brojevi

Kubni broj, ili savršeni kub, ili samo kub, je broj koji je kub celog broja. Pozitivni savršeni kubovi do 60³ su (sequence A000578 in OEIS):

13 = 1	113 = 1331	213 = 9261	313 = 29,791	413 = 68,921	513 = 132,651
23 = 8	123 = 1728	223 = 10,648	323 = 32,768	423 = 74,088	523 = 140,608
33 = 27	133 = 2197	233 = 12,167	333 = 35,937	433 = 79,507	533 = 148,877
43 = 64	143 = 2744	243 = 13,824	343 = 39,304	443 = 85,184	543 = 157,464
53 = 125	153 = 3375	253 = 15,625	353 = 42,875	453 = 91,125	553 = 166,375
63 = 216	163 = 4096	263 = 17,576	363 = 46,656	463 = 97,336	563 = 175,616
73 = 343	173 = 4913	273 = 19,683	373 = 50,653	473 = 103,823	573 = 185,193
83 = 512	183 = 5832	283 = 21,952	383 = 54,872	483 = 110,592	583 = 195,112
93 = 729	193 = 6859	293 = 24,389	393 = 59,319	493 = 117,649	593 = 205,379
103 = 1000	203 = 8000	303 = 27,000	403 = 64,000	503 = 125,000	603 = 216,000

Geometrijski gledano, pozitivan broj m je savršen kub ako i samo ako se može organizovati kub m u čvrstu i veću jedinicu, čvrsti kub. Na primer, 27 mali kubovi mogu da se organizuju u jedan veći sa pojavom Rubikove kocke, od 3 × 3 × 3 = 27.

Razlika između kubova uzastopnih celih brojeva se može izraziti na sledeći način:

n³ − (n − 1)³ = 3(n − 1)n + 1.

ili

(n + 1)³ − n³ = 3(n + 1)n + 1.

Ne postoji minimalni savršeni kub, jer je kub negativnog celog broja je. Na primer,(−4) × (−4) × (−4) = −64.

Dekadni sistem

Za razliku od savršenih kvadrata, savršeni kubovi nemaju mali broj mogućnosti za poslednje dve cifre. Osim za kub deljiv sa 5, gde samo 25, 75 i 00 mogu biti poslednje dve cifre, bilo koji par brojeva sa bilo koje dve neparne poslednje cifre može biti savršen kub. Sa parnim kubovima, postoji značajno ograničenje, za samo 00, o2, e4, o6 i e8 mogu biti poslednje dve cifre savršenog kuba (gde o označava bilo koju neparnu cifru i e bilo šta, čak i cifru). Neki kubni brojevi su takođe kvadratni brojevi; na primer, 64 je kvadratni broj (8 × 8) ai kubni broj (4 × 4 × 4). To se dešava ako i samo ako je broj savršena šesta snaga.

Poslednje cifre bilo koje treće snage su:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

Međutim, lako je pokazati da većina brojevi nisu savršeni kubovi jer svi savršeni kubovi moraju imati digitalni koren 1, 8 ili 9. Štaviše, digitalni koren kuba bilo kog broja može se odrediti ostatkom koji broj daje kada se podeli 3:

• Ako je broj deljiv sa 3, njegov kub ima digitalni koren 9;
• Ako daje ostatak 1 pri deljenju sa 3, njegov kub ima digitalni koren 1;
• Ako daje ostatak 2, pri deljenju sa 3, njegov kub ima digitalni koren 8.

Upozorenje o problemu za kubove

Svaki pozitivan ceo broj može biti napisan kao suma od devet (ili manje) pozitivnih kubova. Ova gornja granica od devet kubova se ne može smanjiti jer, na primer, 23 može da se piše kao zbir manje od devet pozitivnih kubova:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Fermatova poslednja teorema za kocke

Jednačina x³ + y³ = z³ nema netrivijalno (npr: xyz ≠ 0) rešenje u celim brojevima. U stvari, nega u Ajnšajnovim celim brojevima.

Obe ove izjave takođe važe i za jednačinu x³ + y³ = 3z³.

Zbir prvih n kubova

Zbir prvih n kubova je n-ti trougaoni broj kvadrat:

$1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.$

Vizuelni dokaz da 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²

Na primer, zbir prvih 5 kubova je kvadrat 5. trougaonog broja,

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}\,$

Sličan rezultat se može dobiti za sumu od prvih u neparnih kubova,

$1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}$

ali x, y moraju zadovoljiti negativnu Pelovu jednačinu $x^{2}-2y^{2}=-1$. Na primer, za y = 5 i 29, onda,

$1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}\,$

$1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}$

i tako dalje. Takođe, svaki paran savršen broj, osim najnižeg, je zbir prvidž  2^(p−1)/2 neparnih kubova,

$28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}$

$496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}$

$8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}$

Zbir kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji

Postoje primeri kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji čiji zbir je kub:

$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}$

$31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}$

sa prvim takođe poznatim kao Platonov broj. Formula F za pronalaženje zbira n kubova brojeva u aritmetičkoj progresiji sa zajedničkom razlikom d i početnim kubom a³,

$F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}$

je data kao

$F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})$

Parametarsko rešenje za

$F(d,a,n)=y^{3}$

je poznato za poseban slučaj d = 1, ili uzastopne kubove, ali samo sporadična rešenja su poznata za ceo broj  d > 1, kao za d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, itd.

Kubovi kao sume uzastopnih celih neparnih brojeva

U nizu neparnih celih brojeva 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., prvi je kub (1 = 1³); zbir sledeća dva je kub (3+5 = 2³); zbir sledeća tri je sledeći kub (7+9+11 = 3³); i tako dalje.

Za racionalne brojeve

Svaki pozitivan racionalan broj je zbir tri pozitivna racionalna kuba, a tu su i racionalni koji nisu zbir dva racionalna kuba.

U realnim brojevima, drugim poljima, i prstenovima

x³ uneto u Kartezijski avion

U realnim brojevima, funkcija kuba čuva red: veći broj ima veći kub. Drugim rečima, kub (strogo) monotono raste. Takođe, njegov kodomen je cela realna linija: funkcija x ↦ x³ : R → R je surjekcija (uzima sve moguće vrednosti). Samo tri broja su jednaka sopstvenim kubovima: −1, 0, i 1. If −1 < x < 0 ili 1 < x, onda x³ > x. Ako je x < −1 ili 0 < x < 1, onda x³ < x. Svi navedeni osobine odnose se i na bilo koji veći neparan vlasti (x⁵, x⁷, …) realnih brojeva. Ravnopravnost i nejednakosti su takođe istinite u svakom naručenom prstenu.

Mnogo sličnih Euklidskih stereometara su povezani kao kubovi njihovih linearnih veličina.

U kompleksnim brojevima, kub imaginarnog broja je takođe imaginaran. Na primer, i³ = −i.

Izov od x³ je3x².

Kocke povremeno imaju surjektivnu imovinu u drugim oblastima, kao što su F_p za osnovni p koji p ≠ 1 (mod 3), ali ne obavezno: pogledajte primer sa racionalnim brojevima gore. Takođe u F₇ samo tri elementa 0, ±1 su savršeni kubovi, od ukupno sedam. −1, 0, i 1 su savršeni kubovi bilo gde i  i jedini elementi polja jednaki svojim kubovima : x³ − x = x(x − 1)(x + 1).

Istorija

Određivanje kubova velikih brojeva je bilo vrlo često u mnogim drevnim civilizacijama. Mesopotamski matematičari su stvorio kunform tablete sa tabelama za izračunavanje kuba i kubnog koreni u Starom vavilonskom periodu (20. do 16. veka pre nove ere). Kubne jednačine su poznate po antičko-grčkom matematičar Diofant. Heron je osmislio metod za izračunavanje kvradratnog korena u 1. veku nove ere Metode za rešavanje kubnih jednačina i vađenje kubnih korena se pojavljuju u Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti, tekst kineskog matematičara sastavljen oko 2. veka pre nove ere i komentarisan od strane Liu Hui-a u 3. veku naše ere. Indijski matematičar Ariabhata napisao objašnjenje kuba u svom radu Ariabhatia. 2010. Alberto Zanoni je pronašao novi algoritam za izračunavanje kuba velikog celog broja u određenom opsegu, brže nego kvadriraj-i-množi.

Vidi još

• Kabtaksi broj
• Kubna jednačina
• Dupliranje kuba
• Ejlerov zbir ovlašćenih nagađanja
• Peta snaga (algebra)
• Četvrta snaga
• Keplerovi zakoni
• Majmunovo sedlo
• Savršen stepen
• Taksikeb broj

Literatura

• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). „An Introduction to the Theory of Numbers” (Fifth izd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.