Laplasova transformacija

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Laplasova transformacija (nazvana po Pjer-Simon Laplasu) je integralna transformacija, koja datu kauzalnu funkciju f(t) (original) preslikava iz vremenskog domena (t = vreme) u funkciju F(s) u kompleksnom spektralnom domenu.[1] Laplasova transformacija, iako je dobila ime u njegovu čast, jer je ovu transformaciju koristio u svom radu o teoriji verovatnoće, transformaciju je zapravo otkrio Leonard Ojler, švajcarski matematičar iz osamnaestog veka.

Pojam originala[uredi | uredi izvor]

Funkcija t->f(t) naziva se originalom ako ispunjava sledeće uslove:

1. f je integrabilna na svakom konačnom intervalu t ose
2. za svako t<0, f(t)=0
3. postoje M i s0, tako da je

Definicija Laplasove transformacije[uredi | uredi izvor]

Funkcija F(s) je »slika« ili laplasova transformacija »originala« f(t).

Za slučaj da je dobija se jednostrana Furijeova transformacija:

Osobine[uredi | uredi izvor]

Linearnost[uredi | uredi izvor]

Teorema sličnosti[uredi | uredi izvor]

Ako je , tada je , pri čemu je

Diferenciranje originala[uredi | uredi izvor]

Ako je i , tada je

Diferenciranje slike[uredi | uredi izvor]

Ako je , tada je , odnosno indukcijom se potvrđuje da važi

Integracija originala[uredi | uredi izvor]

Ako je i , tada je

Integracija slike[uredi | uredi izvor]

Ako postoji integral , tada je

Teorema pomeranja[uredi | uredi izvor]

Teorema kašnjenja[uredi | uredi izvor]

Laplasova transformacija konvolucije funkcija[uredi | uredi izvor]

Ova osobina je poznata kao Borelova teorema. Napomena: definicija konvolucije je:

Laplasova transformacija periodičnih funkcija[uredi | uredi izvor]

Ako ima osobinu , tada važi

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Odakle sledi:

Tabela najčešće korišćenih Laplasovih transformacija[uredi | uredi izvor]

Jednostrana Laplasova transformacija ima smisla samo za ne-negativne vrednosti t, stoga su sve vremenske funkcije u tabeli pomožene sa Hevisajdovom funkcijom.

ID Funkcija Vremenski domen
Laplasov s-domen
(frekventni domen)
Oblast konvergencije
za kauzalne sisteme
1 idealno kašnjenje
1a jedinični impuls
2 zakašnjeni n-ti stepen
sa frekvencijskim pomeranjem
2a n-ti stepen
(za ceo broj n)
2a.1 q-ti stepen
(za realno q)
2a.2 Hevisajdova funkcija
2b zakašnjena Hevisajdova funkcija
2c rampa funkcija
2d frekvencijsko pomeranje n-tog reda
2d.1 eksponencijalno opadanje
3 eksponencijalno približavanje
4 sinus
5 kosinus
6 sinus hiperbolikus
7 kosinus hiperbolikus
8 eksponencijalno opadajući
sinus
9 eksponencijalno opadajući
kosinus
10 n-ti koren
11 prirodni logaritam
12 Beselova funkcija
prve vrste,
reda n

13 modifikovana Beselova funkcija
prve vrste,
reda n
14 Beselova funkcija
druge vrste,
nultog reda
15 modifikovana Beselova funkcija
druge vrste,
nultog reda
   
16 funkcija greške
Objašnjenja:

Inverzna Laplasova transformacija[uredi | uredi izvor]

U opštem slučaju, original f(t) date slike F(s) dobija se rešavanjem Bromvičovog integrala:

gde je realni deo bilo kog singulariteta funkcije .

S obzirom da se ovde integrali kompleksna promenljiva, potrebno je koristiti metode kompleksne matematičke analize. Mnogi primeri inverzne Laplasove transformacije navedeni su u tabeli iznad. U praksi, funkcije se transformišu u primere iz tablice, na primer razlaganjem na proste faktore.

Diskretna Laplasova transformacija[uredi | uredi izvor]

Za funkciju celobrojne promenljive njena diskretna Laplasova transformacija se definiše kao:

Konvergencija ovog reda zavisi od .

Sve osobine i teoreme regularne Laplasove transformacije imaju svoje ekvivalente u diskretnoj Laplasovoj transformaciji.

Primena[uredi | uredi izvor]

U matematici Laplasova transformacija se koristi za analiziranje linearnih, vremenski nepromenljivih sistema, kao: električnih kola, harmonijskih oscilatora, optičkih uređaja i mehaničkih sistema. Ima primene u rešavanju diferencijalnih jednačina i teoriji verovatnoće.

Reference[uredi | uredi izvor]

Literatura[uredi | uredi izvor]

  • Bracewell, Ronald N. (1978), The Fourier Transform and its Applications (2nd izd.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4 
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd izd.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8 
  • Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403 
  • Korn, G. A.; Korn, T. M. (1967), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd izd.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1 
  • Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press, MR 0005923 
  • Williams, J. (1973), Laplace Transforms, Problem Solvers, George Allen & Unwin, ISBN 978-0-04-512021-5 
  • Takacs, J. (1953), „Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal”, Magyar Hiradastechnika (na jeziku: Hungarian), IV (7–8): 93—96 
  • Euler, L. (1744), „De constructione aequationum” [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), 22: 150—161 
  • Euler, L. (1753), „Methodus aequationes differentiales” [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), 22: 181—213 
  • Euler, L. (1992) [1769], „Institutiones calculi integralis, Volume 2” [Institutions of Integral Calculus], Opera Omnia, 1st series (na jeziku: latinski), Basel: Birkhäuser, 12, ISBN 978-3764314743 , Chapters 3–5
  • Euler, Leonhard (1769), Institutiones calculi integralis [Institutions of Integral Calculus] (na jeziku: latinski), II, Paris: Petropoli, ch. 3–5, pp. 57–153 
  • Grattan-Guinness, I (1997), „Laplace's integral solutions to partial differential equations”, Ur.: Gillispie, C. C., Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1 
  • Lagrange, J. L. (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, 2, str. 171—234 
  • Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3 .
  • Davies, Brian (2002), Integral transforms and their applications (Third izd.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4 
  • Deakin, M. A. B. (1981), „The development of the Laplace transform”, Archive for History of Exact Sciences, 25 (4): 343—390, doi:10.1007/BF01395660 
  • Deakin, M. A. B. (1982), „The development of the Laplace transform”, Archive for History of Exact Sciences, 26 (4): 351—381, doi:10.1007/BF00418754 
  • Doetsch, Gustav (1974), Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation, Springer, ISBN 978-0-387-06407-9 
  • Mathews, Jon; Walker, Robert L. Mathematical methods of physics , New York: W. A. Benjamin. 1970. ISBN 978-0-8053-7002-7.
  • Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998), Handbook of Integral Equations, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-0-8493-2876-3 
  • Schwartz, Laurent (1952), „Transformation de Laplace des distributions”, Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] (na jeziku: French), 1952: 196—206, MR 0052555 
  • Schwartz, Laurent (2008) [1966], Mathematics for the Physical Sciences, Dover Books on Mathematics, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46662-0  - See Chapter VI. The Laplace transform.
  • Siebert, William McC. (1986), Circuits, Signals, and Systems, Cambridge, Massachusetts: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3 
  • Widder, David Vernon (1945), „What is the Laplace transform?”, The American Mathematical Monthly, 52 (8): 419—425, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305640, MR 0013447, doi:10.2307/2305640 

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]