Linearna jednačina

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Primer grafikona linearnih jednačina sa dve promenljive.

U matematici, linearna jednačina je jednačina koja se može postaviti u obliku

gde su promenljive ili nepoznate, a su koeficijenti, koji su često realni brojevi, ali mogu biti i parametri ili bilo koji drugi izraz koji ne sadrži nepoznate. Drugim rečima, linearna jednačina se dobija jednačenjem linearnog polinoma sa nulom. Rešenja takve jednačine su vrednosti koje, kada se zamene nepoznatim, čine jednakost tačnom.

Rešenja linearne jednačine u promenljivim n formiraju hiperravan (dimenzije n – 1) u Euklidovom prostoru dimenzije n.

Linearna jednačina sa jednom nepoznatom[uredi | uredi izvor]

Linearna jednačina sa jednom nepoznatom se može napisati u opštem obliku:

Slučaj jedne nepoznate je od posebnog značaja i često se linearna jednačina implicitno odnosi na ovaj poseban slučaj.

Rešenje linearne jednačine oblika je svaki broj takav da važi .

Za rešenje linearne jednačine oblika važi sledeće:

  • ako je , rešenje je oblika
  • ako je jednačina postaje , i ona ima beskonačno mnogo rešenja
  • ako je jednačina nema rešenja, jer množenjem nepoznate nulom ne može nastati broj različit od nule.

Ekvivalentne jednačine[uredi | uredi izvor]

Ekvivalentne linearne jednačine su one jednačine koje imaju isti skup rešenja.

Dve jednačine A(x) i B(x) su ekvivalentne ako svako rešenje jednačine A(x) je ujedno i rešenje jednačine B(x) i obrnuto, ako je svako rešenje jednačine B(x) ujedno rešenje jednačine A(x).

Tipovi ekvivalentnih transformacija za jednakost A(x) = B (x) su:

Rešavanje linearne jednačine sa jednom nepoznatom[uredi | uredi izvor]

Za jednačinu oblika kaže se da je sređena jednačina.

Problem rešavanja svake linearne jednačine se odgovarajućim transformacijama svodi na problem rešavanja sređene jednačine, odnosno njenog opšteg oblika. Rešiti jednačinu znači transformisati je tako da nepoznata ostane na jednoj strani jednakosti, dok se na drugoj strani nalazi takav broj, koji ako se zameni u početnu jednačinu ili bilo koju ekvivalentnu jednačinu daje tačnu jednakost.

Linearna jednačina se rešava korišćenjem sledećih metoda:

  • oslobađanje od zagrada. Ako se u jednačini nalaze izrazi u zagradama, vrši se potrebno množenje članova ispred zagrade sa članovima u zagradi. U ovom koraku se koristi osobina distributinosti.
Ako imamo slučaj:
Primer:
U slučaju množenje binoma:
Primer:
Primer:
pošto je 6 NZS za 2 i 3, cela jednačina se množi sa 6
U slučaju da se u imeniocu nalazi i nepoznata x, transformacija u ekvivalentnu jednačinu se može izvršiti samo pod određenim uslovima, pa se navode uslovi pod kojima je moguće izvršiti transformaciju jednačine, s obzirom da imenilac ne može biti jednak 0
Primer:
množi se cela jednačina sa , a jednačina ima rešenje ako se ispunjava uslov da je
  • razdvajanje nepoznatih na jednu (levu) stranu, a poznatih na drugu (desnu) stranu, pri čemu se koristi pravilo o promeni znaka.
Primer:
  • sređivanje obe strane jednačine i izražavanje nepoznate.
Primer:

Primer korišćenja više metoda:

oslobađanje od imenilaca množenjem sa

oslobađanje od zagrada:

razdvajanje nepoznatih od pozantih:

svođenje na obe strane:

deljenje obe jednačine sa keficijentom koji stoji uz x (-7):

Linearna jednačina sa parametrima[uredi | uredi izvor]

Linearna jednačina sa paremetrima, je jednačina u kojoj se osim nepoznate i konkretnih realnih brojeva pojavljauju parametri koji nisu dati konkretnim vrednostima.

Postupak rešavanja ovakvih jednačina je isti kao i kod ostalih jednačina. Jednačina se svodi na sređeni oblik, a zatim se izražava nepoznata koja u sledećoj formi:

gde su A i B izrazi u kojima učestvuju parametri. Kako rešenje zavisi od vrednosti parametara, radi se diskusija jednačine prema istim pravilima koja važe i za ostale linearne jednačine:

  • ako je jednačina ima jedinstveno rešenje
  • ako je jednačina ima beskonačno mnogo rešenja za svako x∈R
  • ako je jednačina nema rešenja

Linearna jednačina sa dve nepoznate[uredi | uredi izvor]

Linearna jednačina sa dve nepoznate i je svaka jednačina ekvivalentna jednačini oblika:

gde su 𝑎, 𝑏, 𝑐 realni brojevi, a koeficijenti 𝑎 i 𝑏 nisu jednaki 0 (a ≠ 0, b ≠ 0).[1]

Rešenje linearne jednačine sa dve nepoznate je svaki uređen par koji zamenom sa i sa tu jednačinu prevodi u tačnu brojevnu jednakost.[2]

Svaku linearnu jednačinu s dve nepoznate možemo tumačiti i kao implicitno zadatu linearnu funkciju. Zato svakoj takvoj jednačini pridružujemo pravu u koordinatnom sistemu. Uređeni par koordinata svake tačke te prave je jedno od rešenja odgovarajuće jednačine.[2]

To znači da linearna jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, odnosno ima onoliko rešenja koliko prava ima tačaka.[2]

Primena[uredi | uredi izvor]

Linearne jednačine se često javljaju u matematici i njihovim primenama u fizici i inženjerstvu, delom zato što se nelinearni sistemi često približno mogu predstaviti preko modela linearnih jednačina.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Branković 2015, str. 14.
  2. 2,0 2,1 2,2 Branković 2015, str. 15.

Literatura[uredi | uredi izvor]

  • Barnett, R.A; Ziegler, M.R; Byleen, K.E. (2008). College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11 izd.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson. ISBN 978-0-13-157225-6. 
  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. izdanje. Springer-Verlag. 2008. ISBN 978-3-540-34186-4.
  • Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. Spektrum Akademischer Verlag.2004. ISBN 978-3-8274-1492-2.
  • Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. izdanje. Vieweg. 2009. ISBN 978-3-528-66508-1.
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. izdanje. Springer-Verlag. 2010. ISBN 978-3-540-76490-8.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. Vieweg Verlag.2009. ISBN 978-3-8348-0996-4.
  • Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag.2003. ISBN 978-3-446-22122-2.
  • Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. izdanje. Springer-Verlag. 2009. ISBN 978-3-540-64222-0.
  • Branković, Biljana (2015). Sistemi jednačina u školi sa osvrtom na problemske zadatke master rad (PDF). Beograd: Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu. Pristupljeno 21. 5. 2018. 

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]