Linearna jednačina

Primer grafikona linearnih jednačina sa dve promenljive.

U matematici, linearna jednačina je jednačina koja se može postaviti u obliku

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+c=0,$

gde su $x_{1},\ldots ,x_{n}$ promenljive ili nepoznate, a $c,a_{1},\ldots ,a_{n}$ su koeficijenti, koji su često realni brojevi, ali mogu biti i parametri ne sadrži nepoznate. Drugim rečima, linearna jednačina se dobija jednačenjem linearnog polinoma sa nulom. Rešenja takve jednačine su vrednosti koje, kada se zamene nepoznatim, čine jednakost tačnom.

Alternativno, linearna jednačina se može dobiti izjednačavanjem nula linearnog polinoma nad nekim poljem, iz kojeg se uzimaju koeficijenti. Rešenja takve jednačine su vrednosti koje, kada se zamenjuju nepoznatima, čine jednakost tačnom. U slučaju samo jedne promenljive, postoji tačno jedno rešenje (pod uslovom da $a_{1}\neq 0$). Često se termin linearna jednačina implicitno odnosi na ovaj konkretni slučaj, u kojem se promenljiva smisleno naziva nepoznata.

U slučaju dve promenljive, svako rešenje se može tumačiti kao kartezijanske koordinate tačke Euklidove ravni. Rešenja linearne jednačine čine liniju u Euklidovoj ravni, i obratno, svaka prava se može posmatrati kao skup svih rešenja linearne jednačine sa dve promenljive. Odatle potiče termin linearna za opisivanje ove vrste jednačina. Generalnije, rešenja linearne jednačine sa n promenljivih formiraju hiperravan (potprostor dimenzije n – 1) u Euklidovom prostoru dimenzije n.

Linearne jednačine se često javljaju u svim matematikama i njihovim primenama u fizici i inženjerstvu, delimično i zbog toga što su nelinearni sistemi često dobro aproksimirani linearnim jednačinama.

Ovaj članak razmatra slučaj pojedinačne jednačine sa koeficijentima iz polja realnih brojeva, za koje se proučavaju realna rešenja. Sav njegov sadržaj primenljiv je i na kompleksna rešenja i, uopštenije, na linearne jednačine sa koeficijentima i rešenjima u bilo kom polju. Za slučaj nekoliko istovremenih linearnih jednačina, pogledajte sistem linearnih jednačina.

Linearna jednačina sa jednom nepoznatom

Linearna jednačina sa jednom nepoznatom se može napisati u opštem obliku:

$a\cdot x=b$

Slučaj jedne nepoznate je od posebnog značaja i često se linearna jednačina implicitno odnosi na ovaj poseban slučaj.

Rešenje linearne jednačine oblika $a\cdot x+b=0$ je svaki broj $x_{0}$ takav da važi $a\cdot x_{0}=b$.

Za rešenje linearne jednačine oblika $a\cdot x=b$ važi sledeće:

• ako je $a\neq 0$, rešenje je oblika $x=-{\frac {b}{a}}$
• ako je $a=b=0$ jednačina postaje $0\cdot x=0$ , i ona ima beskonačno mnogo rešenja
• ako je $a=0,b\neq 0$ jednačina nema rešenja, jer množenjem nepoznate $x$ nulom ne može nastati broj različit od nule.

Ekvivalentne jednačine

Ekvivalentne linearne jednačine su one jednačine koje imaju isti skup rešenja.

Dve jednačine A(x) i B(x) su ekvivalentne ako svako rešenje jednačine A(x) je ujedno i rešenje jednačine B(x) i obrnuto, ako je svako rešenje jednačine B(x) ujedno rešenje jednačine A(x).

Tipovi ekvivalentnih transformacija za jednakost A(x) = B (x) su:

• $A-c=B-c$
• $A+c=B+c$
• $A\cdot c=B\cdot c$
• $A:c=B:c,c\neq 0$

Rešavanje linearne jednačine sa jednom nepoznatom

Za jednačinu oblika $a\cdot x=b$ kaže se da je sređena jednačina.

Problem rešavanja svake linearne jednačine se odgovarajućim transformacijama svodi na problem rešavanja sređene jednačine, odnosno njenog opšteg oblika. Rešiti jednačinu znači transformisati je tako da nepoznata ostane na jednoj strani jednakosti, dok se na drugoj strani nalazi takav broj, koji ako se zameni u početnu jednačinu ili bilo koju ekvivalentnu jednačinu daje tačnu jednakost.

Linearna jednačina se rešava korišćenjem sledećih metoda:

• oslobađanje od zagrada. Ako se u jednačini nalaze izrazi u zagradama, vrši se potrebno množenje članova ispred zagrade sa članovima u zagradi. U ovom koraku se koristi osobina distributinosti.

Ako imamo slučaj:

$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

Primer:

$5\cdot (x+8)=5\cdot x+40$

U slučaju množenje binoma:

$(A+B)\cdot (C+D)=A\cdot C+A\cdot D+B\cdot C+B\cdot D$

Primer:

$(x+1)\cdot (x+2)=x\cdot x+2\cdot x+x+2=x^{2}+3x+2$

• eliminacija razlomaka. Koristi se kada se u jednačinama nalaze racionalni algebarski izrazi. Cela jednačina se množi s najmanjim zajedničkim sadržaocem imenilaca (NZS).

Primer:

${\frac {1}{3}}\cdot x={\frac {1}{2}}$

pošto je 6 NZS za 2 i 3, cela jednačina se množi sa 6

$6\cdot {\frac {1}{3}}\cdot x=6\cdot {\frac {1}{2}}$

$2\cdot x=3$

U slučaju da se u imeniocu nalazi i nepoznata x, transformacija u ekvivalentnu jednačinu se može izvršiti samo pod određenim uslovima, pa se navode uslovi pod kojima je moguće izvršiti transformaciju jednačine, s obzirom da imenilac ne može biti jednak 0

Primer:

${\frac {2\cdot x-1}{x+2}}=1$

množi se cela jednačina sa $x+2$, a jednačina ima rešenje ako se ispunjava uslov da je $x\neq -2$

$(x+2)\cdot {\frac {2\cdot x-1}{x+2}}=(x+2)$

$2\cdot x-1=x+2$

• razdvajanje nepoznatih na jednu (levu) stranu, a poznatih na drugu (desnu) stranu, pri čemu se koristi pravilo o promeni znaka.

Primer:

$2\cdot x-1=x+2$

$2\cdot x-x=2-1$

$x=1$

• sređivanje obe strane jednačine i izražavanje nepoznate.

Primer:

$3\cdot x+2\cdot x=18+2$

$5\cdot x=20$

$x={\frac {20}{5}}$

$x=4$

Primer korišćenja više metoda:

${\frac {4\cdot x+1}{3}}-{\frac {3\cdot x-2}{2}}=x-1$

oslobađanje od imenilaca množenjem sa $6=3\cdot 2$

${\frac {4\cdot x+1}{3}}-{\frac {3\cdot x-2}{2}}=x-1/\cdot 6$

$2\cdot (4\cdot x+1)-3\cdot (3\cdot x-2)=6\cdot x-6$

oslobađanje od zagrada:

$8\cdot x+2-9\cdot x+6=6\cdot x-6$

razdvajanje nepoznatih od pozantih:

$8\cdot x-9\cdot x-6\cdot x=-6-2-6$

svođenje na obe strane:

$-7\cdot x=-14$

deljenje obe jednačine sa keficijentom koji stoji uz x (-7):

$-7\cdot x=-14/:(-7)$

${\frac {-7}{-7}}x={\frac {-14}{-7}}$

$x=2$

Linearna jednačina sa parametrima

Linearna jednačina sa paremetrima, je jednačina u kojoj se osim nepoznate i konkretnih realnih brojeva pojavljauju parametri koji nisu dati konkretnim vrednostima.

Postupak rešavanja ovakvih jednačina je isti kao i kod ostalih jednačina. Jednačina se svodi na sređeni oblik, a zatim se izražava nepoznata koja u sledećoj formi:

$x={\frac {B}{A}}$

gde su A i B izrazi u kojima učestvuju parametri. Kako rešenje zavisi od vrednosti parametara, radi se diskusija jednačine prema istim pravilima koja važe i za ostale linearne jednačine:

• ako je $A\neq 0$ jednačina ima jedinstveno rešenje $x={\frac {B}{A}}$
• ako je $A=B=0$ jednačina ima beskonačno mnogo rešenja za svako x∈R
• ako je $A=0,B\neq 0$ jednačina nema rešenja

Linearna jednačina sa dve nepoznate

Linearna jednačina sa dve nepoznate $x_{0}$ i $y$ je svaka jednačina ekvivalentna jednačini oblika:

$ax+by+c=0.$

gde su 𝑎, 𝑏, 𝑐 realni brojevi, a koeficijenti 𝑎 i 𝑏 nisu jednaki 0 (a ≠ 0, b ≠ 0).

Rešenje linearne jednačine sa dve nepoznate je svaki uređen par $(x_{0},y_{0})$ koji zamenom $x$ sa $x_{0}$ i $y$ sa $y_{0}$ tu jednačinu prevodi u tačnu brojevnu jednakost.

Svaku linearnu jednačinu s dve nepoznate možemo tumačiti i kao implicitno zadatu linearnu funkciju. Zato svakoj takvoj jednačini pridružujemo pravu u koordinatnom sistemu. Uređeni par koordinata svake tačke te prave je jedno od rešenja odgovarajuće jednačine.

To znači da linearna jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, odnosno ima onoliko rešenja koliko prava $ax+by+c=0$ ima tačaka.

Linearna funkcija

Glavni članak: Linearna funkcija

Ako je b ≠ 0, jednačina

$ax+by+c=0$

je linearna jednačina jedne promeljive y za svaku vrednosti x. Ona ima jedinstveno rešenje za y, koje je dato sa

$y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$

Ovo definiše funkciju. Grafikon ove funkcije je linija sa nagibom $-{\frac {a}{b}}$ i y-presekom $-{\frac {c}{b}}.$ Funkcije čiji je graf linija obično se u kontekstu kalkulusa nazivaju linearnim funkcijama. Međutim, u linearnoj algebri, linearna funkcija je funkcija koja mapira sumu.

Primena

Linearne jednačine se često javljaju u matematici i njihovim primenama u fizici i inženjerstvu, delom zato što se nelinearni sistemi često približno mogu predstaviti preko modela linearnih jednačina.

Vidi još

• Prava (linija)

Literatura

• Barnett, R.A; Ziegler, M.R; Byleen, K.E. (2008). College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences (11 izd.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson. ISBN 978-0-13-157225-6. 
• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. izdanje. Springer-Verlag. 2008. ISBN 978-3-540-34186-4.
• Bernd Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. (2nd изд.). Spektrum Akademischer Verlag. 2004. ISBN 978-3-8274-1492-2. 
• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 7. izdanje. Vieweg. 2009. ISBN 978-3-528-66508-1.
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. izdanje. Springer-Verlag. 2010. ISBN 978-3-540-76490-8.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. (17th изд.). Vieweg Verlag. 2009. ISBN 978-3-8348-0996-4. 
• Günter Gramlich: Lineare Algebra. . Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag. 2003. ISBN 978-3-446-22122-2. 
• Jürgen Jost: Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen. 1. izdanje. Springer-Verlag. 2009. ISBN 978-3-540-64222-0.
• Branković, Biljana (2015). Sistemi jednačina u školi sa osvrtom na problemske zadatke master rad (PDF). Beograd: Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu. Pristupljeno 21. 5. 2018. 
• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th izd.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7 
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, I, Boston: Allyn and Bacon, Inc. 
• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] izd.). New York: Dover Publications. str. 50–62. ISBN 0-486-20630-0. 
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley. 
• Eves, Howard (1963). A Survey of Geometry (Volume One). Allyn and Bacon. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] izd.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, vol. 2 ISBN 0-486-60089-0, vol. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman. 
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. 
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press. 
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press. 
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6 
• Wilson, W.A.; Tracey, J.I. (1925), Analytic Geometry (revised izd.), D.C. Heath 
• James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. . ISBN 978-0-538-49790-9. 
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate izd.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0871503417 

Spoljašnje veze

• Linear Equations and Inequalities Open Elementary Algebra textbook chapter on linear equations and inequalities.
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Linear equation”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.