Lukas broj

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Lucas number spiral.svg
Ne treba mešati sa Lukas redovima, generičke klase redova kojima pripadaju Lukas brojevi.

Lukas brojevi ili Lukas redovi su celi brojevi redova nazvani po matematičaru Frankuisu Eduardu Anatolu Lukasu (1842–91), koji je proučavao oba ta reda i blisko povezane Fibonačijeve brojeve. Lukas brojevi i Fibonačijevi brojevi formiraju komplementarne slučajeve Lukas redova.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Slično Fibonačijevim brojevima, svaki Lukas broj je definisan zbirom svoja dva neposredno prethodna člana, čime se formira Fibonačijev celobrojni red. Prva dva Lukas broja su L0 = 2 i L1 = 1 za razliku od prva dva Fibonačijeva broj F0 = 0 i F1 = 1. Iako usko povezani u definiciji, Lukas i Fibonačijevi brojevi pokazuju različite osobine.

Lukas brojevi mogu biti definisani na sledeći način:

Red Lukas brojeva je:

(sekvenca A000032 u OEIS)OEIS).
Svi celi brojevi slični Fibonačijevom redu se pojavljuju u obliku pomeranja kao red Vajtof niza;Fibonačijev sam red je prvi red i Lukas red je drugi red. Takođe, kao svi celi brojevi slični Fibonačijevom redu, odnos između dva uzastopna Lukas broja konvergira od zlatnog preseka.

Proširenje do negativnih celih brojeva[uredi | uredi izvor]

Koristeći Ln−2 = Ln − Ln−1, možemo proširiti Lukas brojeve do negativnih celih brojeva da dobijemo dvostruki beskonačni niz: ..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... članovi za  su pokazani). Formula za članove sa negativnim indeksom u ovom nizu je

Povezanost sa Fibonačijevim brojevima[uredi | uredi izvor]

Lukas brojevi su povezani sa Fibonačijevim brojevima identitetima

  • , i kako se  približava +∞, odnos  se približava 

Njihova zatvorena formula je data kao:

gde je  takođe zlatni presek. Alternativno, kako je za  veličina članova manja od 1/2, je najbliži ceo broj broju  ili, ekvivalentno, celobrojni deo , piše se i kao .

Nasuprot tome, kako Binetova formula daje:

imamo:

Odnosi podudarnosti[uredi | uredi izvor]

Ako je Fn ≥ 5 Fibonačijev broj onda nijedan Lukas broj nije deljiv  Fn.

Ln je u skladu za 1 mod n ako je n prost broj, ali neke kompozitne vrednosti n-a takođe imaju ovu osobinu.

Lukas prosti brojevi[uredi | uredi izvor]

Lukas prost broj je Lukas broj koji je prost. Prvih nekoliko Lukas prostih brojeva su -om

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (sekvenca A005479 u OEIS).

Za ove ns su

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (sekvenca A001606 u OEIS).

Ako je Ln prost broj onda je n ili 0, prost, ili stepen 2.[1] L2m je prost broj za m = 1, 2, 3, i 4 i nema više poznatih vrednosti za m.

Lukas polinomi[uredi | uredi izvor]

Na isti način na koji su Fibonačijevi polinomi izvedeni iz Fibonačijevih brojeva, Lukas polinomi Ln(x) su polinomi reda izvedeni iz Lukas brojeva.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Lucas prime" from The Prime Pages.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]