Mera (matematika)

U matematici, pojam mere generalizuje pojmove kao što su dužina, površina i zapremina (mada nemaju sve njegove primene veze sa fizičkim veličinama). Neformalno, ako je dat neki bazni skup, mera je svaka konzistentna dodela veličina (nekim) podskupovima baznog skupa. Zavisno od primene, veličina podskupa se može interpretirati i kao fizička veličina, količina nečega koja leži u podskupu, ili kao verovatnoća da će neki slučajan proces dovesti do rezultata iz tog podskupa. Glavna upotreba mere je u definisanju opštih pojmova integracije nad domenima sa kompleksnijim strukturama nego što su intervali na realnoj pravoj. Takvi integrali se primenjuju u teoriji verovatnoće, kao i u matematičkoj analizi.

Često nije moguće ili poželjno da se dodeli veličina svim podskupovima baznog skupa, pa mera to ne mora ni da učini. Postoje određeni uslovi konzistentnosti koji određuju kojim kombinacijama podskupova mera može da dodeli veličine; ti uslovi su sadržani u pomoćnom konceptu σ-algebre.

Teorija mere je grana realne analize koja proučava σ-algebre, mere, merljive funkcije i integrale.

Neformalno, mera preslikava skupove u nenegativne realne brojeve, tako da se veći skupovi slikaju u veće brojeve.

Definicija

Formalno, mera μ je funkcija definisana na σ-algebri Σ nad skupom X i uzima vrednosti u proširenom intervalu [0, ∞], tako da su sledeća svojstva zadovoljena:

• Prazan skup ima meru nula:

$\mu (\varnothing )=0$.

• Prebrojiva aditivnost ili σ-aditivnost: ako je $E_{1},E_{2},E_{3},\,\!$ ... prebrojiv niz u paru disjunktnih skupova iz $\Sigma$, mera unije svih $E_{i}\,\!$ je jednaka sumi mera svih $E_{i}\,\!$:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$

Trojka (X, Σ, μ) se tada naziva prostorom mere, a skupovi iz Σ se nazivaju merljivim skupovima.

Mera verovatnoće je mera sa ukupnom merom jedan (to jest, μ(X)=1); prostor verovatnoće je prostor mere sa merom verovatnoće.

Za prostore mere koji su ujedno i topološki prostori, mogu se postaviti razni uslovi kompatibilnosti za meru i topologiju. Većina mera koje se sreću u praksi u analizi (a u mnogim slučajevima i u teoriji verovatnoće) su Radonove mere. Na svakoj lokalno kompaktnoj topološkoj grupi može se definisati do na množenje konstantom jedinstvena translatorno invarijantna mera Hara.

Nemerljivi skupovi

Glavni članak: Nemerljivi skupovi

Nisu svi skupovi nad euklidskim prostorom Lebeg merljivi; primeri takvih skupova su Vitalijev skup, i nemerljivi skupovi postulirani Hausdorfovim paradoksom i paradoksom Banaha-Tarskog.

Literatura

• R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-41129-1 Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-317160-0  Second edition.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63519-4.