Monomorfizam

U kontekstu apstraktne algebre ili univerzalne algebre, monomorfizam je prosto injektivni homomorfizam.

Kada se posmatra u opštijem kontekstu teorije kategorija, monomorfizam je morfizam f : X → Y takav da

f o g₁ = f o g₂ implicira g₁ = g₂

za sve morfizme g₁, g₂ : Z → X.

Monomorfizmi su analogni injektivnim funkcijama, ali se ne radi o dva potpuno ista pjma. Dual monomorfizma je epimorfizam (tj. monomorfizam u kategoriji C je epimorfizam u dualnoj kategoriji C^op).

Terminologija

Izraze monomorfizam i epimorfizam je uveo Burbaki; Burbaki koristi monomorfizam kao skraćeni izraz za injektivnu funkciju. Rani teoretičari kategorija su verovali da je tačna generalizacija injektivnosti u kontekst kategorija svojstvo dato gore. Mada ovo nije sasvim tačno za monička preslikavanja, vrlo je blizu tačnog, pa je ovo dovelo do malo nevolja, za razliku od slučaja epimorfizama. Saunders Maklejn je pokušao da napravi razliku između onoga šta je nazivao monomorfizmima, koji su bili preslikavanja u konkretnoj kategoriji čija su preslikavanja skupova koja su im u osnovi, injektivna, i moničkih preslikavanja, koja su monomorfizmi u kategorijskom smislu reči. Ova distinkcija nikada nije ušla u opštu upotrebu.

Primeri

Svaki morfizam u konkretnoj kategoriji čija je funkcija u osnovi injektivna, je monomorfizam. U kategoriji skupova, obratno takođe važi, pa su monomorfizmi upravo injektivni morfizmi. Obratno takođe važi u većini kategorija algebri koje se prirodno javljaju, zbog postojanja slobodnog objekta na jednom generatoru. Na primer, tačno je u kategorijama grupa i prstenova, i u svakoj Abelovoj kategoriji.

Međutim, nije tačno u opštem slučaju da svi monomorfizmi moraju biti injektivni u ostalim kategorijama. Na primer, u kategoriji Div deljivih Abelovih grupa i homomorfizama grupa između njih postoje monomorfizmi koji nisu injektivni: uzmimo količničko preslikavanje q : Q → Q/Z. Jasno je da ovo nije injektivno preslikavanje; pa ipak, radi se o monomorfizmu u ovoj kategoriji. Da bi se ovo videlo, treba obratiti pažnju da ako je q o f = q o g za neke morfizme f,g : G → Q gde je G neka deljiva Abelova grupa, onda q o h = 0 gde h = f - g (ovo ima smisla pošto se radi o aditivnoj kategoriji). Ovo implicira da je h(x) ceo broj ako x ∈ G. Ako h(x) nije 0 tada, na primer,

$h\left({\frac {x}{4h(x)}}\right)={\frac {1}{4}}$

tako da

$(q\circ h)\left({\frac {x}{4h(x)}}\right)\neq 0$,

što je u kontradikciji sa q o h = 0, pa je h(x) = 0 i q je stoga monomorfizam.

Vidi još

• injektivna funkcija
• epimorfizam
• izomorfizam
• podobjekat

Literatura

• Francis Borceaux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44178-0..
• George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 978-0-9655211-4-7..