Monte Karlo metoda

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Ne poistovećivati sa Monte Karlo algoritam.
Računarska fizika

Numerička analiza · Računarska simulacija

Analiza podataka · Naučna vizuelizacija
Potencijali
Morzeov/dugometni potencijal · Lenard-Džonsov potencijal · Jukava potencijal · Morzeov potencijal
Dinamika fluida
Metoda konačnih razlika · Metoda konačnih zapremina

Metoda konačnih elemenata · Metod graničnih elemenata

Metoda Bolcamanove rešetke · Rimanov rešavalac

Dinamike čestične disipacije

Hidrodinamika glatkih čestica

Modeling turbulencije
Monte Karlo metod
Integracija Monte Karlo · Gibsovo uzorkovanje · Metropolis-Hastings algoritam
Čestice
Simulacija N-tela · Metod čestične ćelije Molekulska dinamika
Naučnici
Sergej K. Godunov · Stanislav Ulam · Džon fon Nojman · Boris Galerkin · Edvard Norton Lorenc

Monte Karlo metode (ili Monte Karlo eksperimenti) čini grupa računarskih algoritama koji se oslanjaju na ponavljanje slučajnih pokušaja da bi se dobili numerički rezultati. Često se koriste u rešavanju fizičkih i matematičkih problemima i veoma su korisni u slučajevima kada je nemoguće koristiti druge matematičke metode. Ove metode se najčešće koriste u tri klase slučaja:[1] optimizaciji, numeričkoj integraciji i generisanju uzoraka kod raspodele verovatnoće.

U fizičkim problemima, Monte Karlo metode su veoma korisne kod simulacije sistema sa više stepena slobode, kao što su fluidi, jako vezani rastvori i ćelijske strukture (vidi ćelijski Potsov model, interaktivne čestične sisteme, MekKin—Vlasove procese, kinetičke modele gasova). Ostali primeri uključuju modelovanje fenomena sa nesigurnim ulazima poput visine rizika u biznisu ili u matematici, procene vičedimenzionalnih odrećenih integrala sa složenim graničnim uslovima. U primenama u svemirskim i naftnim istraživanjima, Monte—Karlo bazirana predviđanja neuspeha, prekoračenja troškova i neslaganje sa rasporedom su mnogo bolja nego ljudska intuicija ili alternativni „meki“ metodi.[2]  

U principu, Monte Karlo metode se mogu koristiti za rešavanje mnogih problema s probabilističkom interpretacijom. Po zakonu velikih brojeva, integrali opisani očekivanom vrednošću neke randomne promenljive se mogu aproksimirati uzimanjem empirijskog proseka (a.k.a. proseka uzorka) nezavisnih uzoraka promenljive. Kada je raspodela verovatnoće promenljive veoma složena, matematičari često koriste generator uzoraka Monte Karlo Markovog lanca (MCMC).[3][4][5][6] Glavna ideja je stvaranje modela Markovog lanca sa propisanim stacionarnim raspodelama verovatnoće. Ta taj način generisani uzorci u znatnoj meri će odražavati ženjenu (ciljnu) distribuciju[7]. Po ergodičnoj teoremi, stacionarna rapodela verovatnoće je aproksimirana empirijskim merama slučajnih stanja MCMC semplera.   

Kod ostalih prolema zainteresovani smo sa generisanje uzoraka iz nizova raspodele verovatnoće koji zadovoljavaju nelinearne evolucione jednačine. Ovi tokovi raspodele verovatnoće uvek mogu biti interpretirane kao raspodele slučajnih stanja Markovog procesa čija promena raspodele verovatnoće zavisi od raspodele trenutnih  slučajnih stanja ( vidi MekKin-Vlasov procese, nelinerne filter jednačine) [8][9] . U ostalim instancama  govorimo o toku u raspodeli verovatnoće sa rastućim nivoom složenosti (modeli prostora sa rastućim vremenom, Bolcman-Gibsove mere povezane sa opadajućim temperaturnim parametrima i mnogi drugi).[9][10] Ovi modeli se mogu takođe posmatrati kao razvoj slučajnih stanja nelinearnog lanca Markova. [11] Prirodni način simuliranja ovih sofisticiranih procesa lanaca Markova je uzorkovanje velikog broja kopija procesa, zamenom nepoznatih raspodela  slučajnih stanja u jednačinama od strane empirističkih mera. U suprotnosti sa tradicionalnim Monte Karlo i lancima Markova metodologijama ove tehnike čestičnog polja se oslanjaju na sekvencijalne interagujuće uzorke. Terminologija polja označava činjenicu da svaki od uzoraka (čestice, individue, šetači, agenti, stvorenja ili fenotip) interaguje sa empirijskim merama procesa. Kada veličina sistema teži beskonačnosti, ove slučajne empirijske mere konvergiraju ka determinističkoj raspodeli slučajnih stanja lanaca Markova, tako da se statistička interakcija između čestica gubi.

Uvod[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metoda primenjena na aproksimaciju vrednosti π. Nakon ucrtavanja 30000 proizvoljnih tačaka, procena π je u 0,07% od prave vrednosti. Ovo se dešava sa mogućnošću procene od 20%

Monte Karlo metode variraju, ali teže da isprate određeni obrazac:

  1. Definiše se domen ulaza 
  2. Generiše se niz slučajnih ulaza pomoću rapodele verovatnoće 
  3. Izvrši se deterministički proračuni 
  4. Izvrši se sažimanje rezultata

Na primer, uzmimo u obzir krug upisan u kvadrat. S obzirom na to da je odnos ovih površina π/4, vrednost π se može aproksimirati upotrebom Monte Karlo metode:[12]

  1. Nacrtajmo kvadrat na zemlji, zatim upišimo krug u njemu 
  2. Ravnomerno prospimo neke objekte jednake veličine (zrna peska ili pirinča) preko kvadrata
  3. Prebroji se broj zrna u krugu i ukupan broj zrna odnos dva prebrajanja je procena odnosa dve površine tj. π/4. Pomnoži se rezultat sa 4, čime se dobija π.

U ovoj proceduri domen ulaza je kvadrat koji opisujemo oko kruga. Generišemo broj ulaza prosipanjem preko kvadrata, zatim izvršimo proračune na svaki ulaz (pitamo se da li je zrno palo u krug). Napokon, sažimamo rezultate da bi dobili konačan rezultat, aproksimaciju π. Ovde imamo dve bitne napomene: prvo, ako zrna nisu ravnomerno raspodeljena, onda je naša aproksimacija nepotpuna. Drugo, mora da postoji veliki broj ulaza. Aproksimacija je generalno loša samo ako je par zrna palo u ceo kvadrat. U proseku kvalitet procene se povećava sa većim brojem zrna u kvadratu. Upotreba Monte Karlo metode zahteva veliku količinu brojeva, što je prouzrokovalo formiranje generatora pseudobrojeva čijom upotrebom je proračunavanje olakšano.

Istorija[uredi | uredi izvor]

Pre nego što je Monte Karlo metoda razvijena, simulacije su testirale prethodno definisane determinističke probleme i statističko uzorkovanje je korišćeno za procenu neisigurnosti u simulaciji. Monte Karlo simulacije su okrenule ovaj pristup, rešavajući determinističke probleme upotrebom verovatnoće.[13]

Rana verzija Monte Karlo metoda se mogla videti u Bufonovom eksperimentu igle, u kom je π aproksimirano bacanjem igala na pod koji je napravljen od paralelnih traka jednakog rastojanja. U 30-im godinama 20. veka, Enriko Fermi je prvi eksperimentisao sa Monte Karlo metodom proučavajuću neutronsku difuziju, ali nije objavio taj rad.

Moderna verzija lanaca Markova Monte Karlo metoda je izmišljena krajem 1940-ih od strane Stanislava Ulama, dok je radio na projektima nuklearnog naoružanja u Nacionalnoj laboratoriji Los Alamos. Nakon Ulamovog prodora, Džon fon Nojman je razumeo njegovu važnost pa je programirao ENIAC računar da vrši Monte Karlo proračune. Godie 1946. fizičari i laboratoriji Los Alamos su proučavali zaštitu od radijacije i distancu koju neutron pređe pri prolasku kroz različite materijale. I pored poznavanja većine podataka, poput prosečne distance koju neutron pređe u materiji pre sudara sa atomskim jezgrom ili koliko energije neutron oslobađa pri sudaru, fizičari Los Alamosa nisu mogli da reše problem koristeći konvencionalne determinističke metode. Stanislav Ulam je imao ideju koja se bazirala na verovatnoći, on to ovako opisuje:

Prve misli i pokušaji da razvijem ovaj metod su nastale iz pitanja koje mi je palo na pamet 1946. dok sam se oporavljao od bolesti i igrao soliter. Pitanje je bilo: koje su šanse da se Kenfild soliter dobije sa 52 karte? Nakon što sam proveo dosta vremena pokušavajući da izračunam pomoću običnog matematičkog računa, pitao sam se da li bi praktičniji način od onog "apstraktnog" bio da izvršim 1000 pokušaja i izbrojim uspešne pokušaje. Ovo je već bilo moguće uraditi sa početkom nove ere brzih računara i momentalno sam počeo da razmatram pitanje neutronske difuzije i mnoga druga pitanja matematičke fizike, i generalno kako da probleme definisane pomoću sigurnih diferencijalnih jednačina interpretiram pomoću sukcesije slučajnih operacija. Kasnije (1946) opisao sam ovu ideju Džonu fon Nojman i počeli smo da radimo na proračunima.[14]

Tajni rad Nojmana i Ulama je zahtevao tajno šifrovano ime. Njihov kolega, Nikolas Metropolis, je predložio da to bude Monte Karlo, po poznatom Monte Karlo kazinu u Monaku gde je Ulamov stric pozajmljivao novac od rođaka za kocku.[13] Upotreba liste "slučajnih" brojeva je bila izuzetno spora pa je Nojman razvio način da izračuna pseudo brojeve, upotrebom metode srednjeg kvadrata. Iako je ova metoda kritikovana kao sirova, Nojman je to opravdavao njenom brzinom u toj poziciji, i takođe primetio da ova metoda pravi očigledne greške za razliku od nekih čije su greške teško primetne.

Monte Karlo metode su bile osnovne metode u radu kompjuterskih simulacija Menhetn projekta, iako ograničeni od strane računarskih alata u to vreme. U 50-im godinama 20. veka korišćeni su u laboratoriji Los Alamos pri razvoju hidrogenske bombe i postale su popularne u fizici, fizičkoj hemiji i operacionim istraživanjima. Korporacija Rand i Američko ratno vazduhoplovstvo su bile glavne organizacije odogovorne za finansiranje i propagandu Monte Karlo metoda tokom tog vremena i počele su da nalaze primenu u mnogim oblastima.

Teorija polja čestičnog tipa Monte Karlo metode je počela da se razvija krajem 60-ih godina radom Henrija P. MekKina Juniora na Markovim interpretacijama klasa nelinearnih paraboličnih parcijalnih diferencijalnih jednačina proizašlih iz mehanike fluida.[15][16] Takođe ćemo navesti pionirski članak Teodora Harisa i Hermana Kana, objavljenog 1951., o korišćenju polja genetičkog tipa Monte Karlo metoda za procenu prenosa energije čestica.[17] Polje genetičkog tipa Monte Karlo metodologija je takođe korišćeno u evolucionom računarstvu kod algoritama prirodne heurističke pretrage (Metaheurističke). Osnove ovih tehnika se mogu naći još u 50-im godinama u radu Alana Tjuringa na genetskom tipu mašina za mutacionu-selekciju [18] i članci Nilsa Aala Baričelija sa Instituta za napredne studije na Prinstonu, u Nju Džerziju.[19][20]

Kvantni Monte Karlo, i posebno Difuzioni Monte Karlo metodi se takođe mogu interpetirati kao polje čestičnih Monte Karlo metoda u aproksimaciji Fejnman-Kacovih integrala.[21][22][23][24][25][26][27] Počeci ovih metoda se pripisuju Enriku Fermiju i Robertu Ričmajeru koji su razvili 1948 čestičnu interpretaciju neutronske-lančane reakcije,[28] ali prvi heuristički algoritmi i genetski čestični algoritmi za procenu stanja energije kvantnih sistema (u redukovanoj matrici) su delo Džeka H. Heteringtona 1948. godine.[29] U molekularnoj hemiji, upotreba genetskih heursitičkih čestičnih metodologija se može slediti sve do 1955. i rada MAršala N. Rozenbluta i Arijane V. Rozenblut.

Upotreba sekvencijalnog Monte Karla u naprednoj obradi signala i Bajesovoj interferenciji je sve veća. Godine 1993, Gordon i ostali su objavili svoj prvi rad [30] sa prvom primenom ovog metoda u Bajesovoj statističkoj interferenciji. Autori su nazvali svoj algoritam „butstrep filter“ i pokazali da u poređenju sa drugim filterima, njihov algoritam ne zahteva nikakvu procenu o stanju-prostoru ili buci sistema. Takođe ćemo citirati još jedan pionirski članak u ovoj oblasti autora Genšira Kitagave o pomenutim „Monte Karlo filterima“,[31] i one Pjera del Morala[32] i Himilkona Karvalja, Pjera del Morala, Andrea Monina i Džerarda Saluta[33] o čestičnim filterima objavljenim sredinom 90-ih. Čestični filteri su takođe razvijeni u obradi signala u periodu 1989-1992 od strane P. del Morala, Dž. S. Nojera, G. Rigala i Dž. Saluta u LAAS-CNRS u seriji tajnih projekata STCAN, IT kompanije DIGILOG, i LAAS-CNRS (LAboratorija za analizu i arhitekturu sistema) o problemima procesije RADAR/SONAR i GPS signala.[34][35][36][37][38][39] Ove sekvencijalne Monte Karlo metodologije mogu se interpretirati kao sempleri prihvatanja-odbijanja sa interaktivnim obnovljivim sistemom.

Od 1950. do 1996. godine, sve publikacije na temu sekvencijalne Monte Karlo metodologije, uključujući i prerade i modifikacije Monte Karlo metode uvedene u računarskoj fizici i molekularnokj hemiji, su predtavile prirodni i heurističke algoritmi koji se primenjuju u različitim situacijama bez ijednog dokaza o njihovoj doslednosti, niti rasprava o pristrasnosti procena genealoških i predačkih stabala na bazi algoritama. Matematičke osnove i prvu rigoroznu analizu ovih čestica algoritama su delo Pjera del Moraa [32][40] iz 1996. Čestične metodologije sa grananjem sa različitim veličinama populacije su takođe razvijene krajem 1990. od strane Dena Krisana, Džesike Gejns i Terija Lajonsa [41][42][43][44] i Den Krisana, Pjera del Morala i Terija Lajona. [traži se izvor] Dalji razvoj u ovoj oblasti su izvršeni 2000. od strane P. del Morala, A. Guioneta i L. Micla .[22][45][46]

Definicija[uredi | uredi izvor]

Ne postoji konsenzus o tome kako treba da budu definisani Monte Karlo metodi. Na primer, Ripli [47] definiše modeliranje najviše verovatnoće kao stohastičku simulaciju, dok je Monte Karlo rezervisan za Monte Karlo integracije i Monte Karlo statističke testove. Savilovski [48] razlikuje simulacije, metode Monte-Karlo, i Monte Karlo simulacije: simulacija je izmišljena predstava stvarnosti, metod Monte Karlo je tehnika koja se može koristiti za rešavanje matematičkog ili statističkog problem, a Monte Karlo simulacija koristi ponovio uzorkovanje za utvrđivanje svojstva neke pojave (ili ponašanja). Primeri:

  • Simulacija: Generisanje jedne pseudo-slučajne jedinstvene promenljive iz intervala [0,1] korišćenog za simulaciju bacanja novčića: Ako je vrednost manja ili jednaka 0,50 odredi ishod kao glavu, ali ako je vrednost veća od 0,50 odrediti ishod kao pismo. Ovo je simulacija, ali ne i Monte Karlo simulacija
  • Monte Karlo metoda: prospimo kutiju kovanica na sto, a zatim izračunavanje odnosa kovanica sa glavom u odnosu na pisma je Monte Karlo metod za određivanja ponašanja ponovljenih bacanja novčića, ali nije simulacija.
  • Monte Karlo simulacija: Crtanje velikog broja pseudo-slučajnih jedinstvenih varijabli iz intervala [0,1], i dodeljivanje vrednosti manjih ili jednakih 0,50 kao glave i veći od 0,50 kao pisma, je Monte Karlo simulacija ponašanja u više navrata bacanja novčića.

Kalos i Vitlok[12] ističu da takve razlike nisu uvek lake za održavanje. Na primer, emisija zračenja kod atoma je prirodan stohastički proces. Može se simulirati direktno ili njeno prosečno ponašanje može biti opisano stohastičim jednačinama koje se same rešavaju korišćenjem Monte Karlo metoda. "Zaista, isti računarski kod može se istovremeno posmatrati kao „prirodna simulacija“ ili kao rešenjnje jednačina putem prirodnog uzorkovanja."

Monte Karlo i slučajni brojevi[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo simulacije metode ne zahtevaju uvek istinski slučajne brojeve da bi bila korisne -dok za neke primene, kao što je testiranje uzoraka, nepredvidivost je od vitalnog značaja.[49] Mnoge od najkorisnijih tehnika koriste determinističke, pseudoslučajne sekvence, što olakšava testiranje i ponovne simulacije. Jedini kvalitet obično potreban da se napravi dobre simulacije je da se u pseudo-slučajnom redosledu pojavi "dovoljno slučajni" u određenom smislu. Šta to znači zavisi od aplikacije, ali obično treba da prođe niz statističkih testova. Testiranja da su brojevi ravnomerno raspoređeni ili prate drugu željenu rapodelu kada je dovoljan veliki broj elemenata u nizu se smatraju jednim od najjednostavnijih i najčešćih. Slabe korelacije između uzastopnih uzoraka je često poželjno / neophodno

Savilovski navodi karakteristike kvalitetne Monte Karlo simulacije:[48]

  • je (pseudo-slučajni) generator brojeva ima određene karakteristike (npr dug "rok" pred ponavljanja sekvence)
  • je (pseudo-slučajni) generator brojeva koji proizvodi vrednosti koje prolaze testove slučajnosti
  • ima dovoljno uzoraka kako bi se osigurali tačni rezultati
  • koristi se pravilna tehnika uzorkovanja
  • algoritam se koristi za ono za šta je modeliran
  • simulira fenomen u pitanju.

Algoritmi uzorkovanja pseudo-slučajnih brojeva se koriste za transformaciju ravnomerno raspoređenih pseudo-slučajnih brojeva u brojeve koji se distribuiraju prema datoj raspodeli verovatnoće. Sekvence male nesrazmernosti se često koriste umesto slučajnog uzorka jer imaju bolju pokrivenost i obično imaju brži red konvergencije od Monte Karlo simulacije pomoću slučajnih ili pseudoslučajnih sekvenci. Metode zasnovane na njihovoj upotrebi se nazivaju kvazi-Monte Karlo metode.

Monte Karlo metode protiv „šta ako“ scenarija[uredi | uredi izvor]

Postoje načini korišćenja verovatnoće koje definitivno nisu Monte Karlo simulacije - na primer, determinističko modeliranje koristi procene jedne tačke. Svakoj neizvesnoj promenljivoj u okviru modela je dodeljena procena "najbolje pretpostavke" . Scenariji (kao što su najbolji, najgori, ili najverovatniji slučaj) za svaku ulaznu promenljivu se biraju i rezultati čuvaju.[50] Nasuprot tome, uzorak Monte Karlo simulacija iz raspodele verovatnoće za svaku promenljivu proizvede stotine ili hiljade mogućih ishoda. Rezultati su analizirani da bi se uvidelo da se javljaju verovatnoće različitih ishoda.[51] Na primer, poređenje modela izgradnje tabela troškova koristeći tradicionalni „šta ako“ scenarijo, a zatim pokretanje poređenja Monte Karlo simulacijom, trougaona distribucija verovatnoće pokazuje da Monte Karlo analiza ima uži opseg nego "šta ako" analiza. Npr. „šta ako“ analiza daje jednaku težinu svim scenarijima (vidi kvantifikativna nesigurnost u korporativnim finansijama), dok je metodom Monte Karlo daju uzorci u veoma niskoj verovatnoći regiona. Uzorci u takvim oblastima nazivaju se „retki događaji“.

Primena[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metode su posebno korisne za simulaciju fenomena sa neizvesnošću ulaza i sistemima sa velikim brojem spregnutih stepena slobode. Oblasti primene uključuju:

Fizičke nauke[uredi | uredi izvor]

Vidi još: Monte Karlo metode u statističkoj fizici

Monte Karlo metode su veoma važne u računarskoj fizici, fizičkoj hemiji i srodnim primenjenim oblastima, i imaju različite primene u kompleksnim kvantnim hromodinamičkim proračunima u dizajniranju toplotnih štitova i aerodinamičkih oblika kao i u modeliranju transporta zračenja u dozimetrijskim proračunima.[52][53][54] U statističkoj fizici Monte Karlo molekularno modeliranje je alternativa molekularne računarske dinamike, takođe se koriste za izračunavanja u oblasti statističkih teorija jednostavnih čestica i polimernih sistema.[29][55] Kvantne Monte Karlo metode rešavaju problem mnogih tela za kvantne sisteme.[8][9][21] U eksperimentalnoj fizici čestica, Monte Karlo metode se koriste za izradu detektora, razumevanja njihovog ponašanja i poređenja eksperimentalnih podataka u teoriji. U astrofizici, oni se koriste u različitim načinima modeliranja evolucije galaksija [56] i mikrotalasnom prenosu zračenja kroz teške planetarne površine. [traži se izvor] Monte Karlo metode se koriste u ansamblu modela koji čine osnovu savremene numeričkevremenske prognoze.

Inženjerstvo[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metode su u širokoj upotrebi u inženjerstvu u analizi osetljivosti i kvantitativnim analizama verovatnoće u procesu projektovanja. Potreba proizilazi iz interaktivnog, ko-linearnog i nelinearnog ponašanja simulacija tipičnih procesa. Na primer,

Računarska biologija[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metode se koriste u raznim oblastima računarske biologije, na primer kod Bajesovih zaključka u filogeni, ili za proučavanje bioloških sistema kao što su genomi, proteini,[61] ili membrane.[62] Ovi sistemi se mogu proučavati u grubim or ab initiio okvirima u zavisnosti od željene preciznosti. Kompjuterske simulacije nam omogućavaju da pratimo lokalnu sredinu određenog molekula i vidimo da li se neka hemijska reakcija dešava, na primer. U slučajevima gde nije izvodljivo da se sprovede fizički eksperiment, misaoni eksperimenti se mogu sprovoditi (na primer: razbijanje veza, uvođenje nečistoće na određenim mestima, menjanje lokalnih / globalnih struktura, odnosno uvođenje spoljnih polja).

Računarska grafika[uredi | uredi izvor]

Praćenje puta, povremeno nazivano Monte Karlo praćenje staze, čini 3D prikaz slučajnog praćenju uzoraka mogućih svetlsonih staza. Ponovljeno uzorkovanje svakog piksela na kraju će dovesti do toga da prosečni uzorci konvergiraju ka ispravnom rešenju jednačine renderovanja, što ga čini jednim od najznačajnijih fizički tačnih metoda za prikazivanje 3D grafike u realnosti.

Primenjena statistika[uredi | uredi izvor]

U primenjenoj statistici, Monte Karlo metode se generalno koriste u dve svrhe:

  1. Za poređenje konkurentskih statistika na malim uzorcima pod realnim uslovima podataka. Iako Tip 1 grešaka i snaga svojstva statističkih podataka se može izračunati za podatke izvučene iz klasičnih teorijskih raspodela (npr normalna kriva, Košijeve distribucije) za asimptotske uslove (npr. beskonačne veličine uzorka i beskonačno mali efekat tretmana), realni podaci često nemaju takve raspodele.[63]
  2. Da obezbedi implementacije hipoteza testova koji su efikasniji od egzaktnih testova, kao što su permutacija testova (koje je često nemoguće izračunati) dok je precizniji od kritičnih vrednosti za asimptotske raspodele.

Monte Karlo metode su takođe kompromis između približne slučajnosti i testova permutacija.Testovi približne slučajnosti se zasnivaju na određenom podskupu svih permutacija (koji podrazumeva potencijalno ogroman uređivanje od kojih su permutacije smatra). Monte Karlo pristup se zasniva na određenom broju nasumično izvučenih permutacija (razmenu manjih gubitaka u preciznosti ako se permutacija dva puta izvršava - ili češće-za efikasnost ne moraju da prate koje su već izabrane permutacija).

Veštačka inteligencija kod igrica[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Monte Karlo pretraga stabala

Monte Karlo metode su razvijene u tehnici pod nazivom metod Monte-Karlo pretraga stabala koji je koristan za traženje najboljeg poteza u igri. Mogući potezi su organizovani u pretragu stabla i veliki broj slučajnih simulacija se koristi za procenu dugoročnog potencijala svakog poteza. Simulator crne kutije predstavlja protivnikove poteze.[64] Monte Karlo pretraga stabala (MCTS) ima četiri koraka:[65]

  1. Počevši od korena stabla, izaberite optimalne naslednike čvorova dok se ne nađe list čvor.
  2. Proširite list čvor i odaberite jedno od njegove dece.
  3. Započnite simuliranu igru počevši od tog čvora
  4. Koristite rezultate simulirane igre za ažuriranje čvora i njegovih predaka.

Neto efekat, tokom mnogih simulacija igre, je da vrednost čvora koji predstavlja potez će ići gore ili dole, pri čemu će čvor predstaviti dobar ili loš potez Monte Karlo pretraga stabla se uspešno koristi za igranje igara kao što su Go.[66] Tantriks,[traži se izvor] Oklopnjača,[67] Havana,[68] i Arimaa [69]

Vidi još: Computer Go

Dizajn i vizuelizacija[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metode su efikasne u rešavanju spregnutih integralnih diferencijalnih jednačina polja zračenja i prenosa energije, i na taj način ove metode su korišćeni u proračunima Globalnog osvetljenja koje proizvode foto-realistične slike virtuelnih 3D modela, sa primenama u video igrama, arhitekturi, dizajnu, kompjuterski generisanim Filmovima, i filmskim specijalnim efektima.[70]

Finansije i biznis[uredi | uredi izvor]

Vidi još: Monte Karlo metode u finansijama, Kvazi Monte Karlo metode u finansijama, Monte Karlo metode u formiranju cena, Stodžastičko modelovanje (osiguranje) i Stohastički model ulaganja

Monte Karlo metode u finansijama se često koriste za procenu ulaganja u projekte na poslovnom ili korporativnom nivou, ili pri proceni finansijskih proizvoda. Mogu se koristiti za modelovanje rasporeda projekata, gde simulacije sažima procene u najgorem slučaju, najboljem slučaju, kao i ishoda projekata. Monte Karlo metode koriste se i kod određivanja cena, analize podrazumevanih rizika .[71][72][73]

Primena u matematici[uredi | uredi izvor]

U principu, Monte Karlo metode se koriste u matematici za rešavanje raznih problema kroz stvaranje odgovarajućih slučajnih brojeva (vidi Generisanje slučajnih brojeva) i posmatranje onih frakciju brojeva koji pokorava neku imovinu ili imovine. Postupak je koristan za dobijanje numeričkih rešenja za probleme previše komplikovane za analitičko rešavanje. Najčešći primena metode Monte Karlo je Monte Karlo integracija.

Integracija[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Integracija Monte Karlo
Monte Karlo integracija radi po principu poređenja proizvoiljnh tačaka sa vrednošću funkcije
Greške redukovane faktorom

Algoritmi determinističke numeričke integracije rade dobro u malom broju dimenzija, ali nailaze na dva problema kada funkcije imaju mnogo promenljivih. Prvo, broj potrebnih procena funkcije rapidno se povećava sa brojem dimenzija. Na primer, ako 10 evaluacija pruže adekvatnu tačnost u jednoj dimenziji, za 100 dimenzija potrebno je 10100 evaluacije-isuviše proračuna. Ovo se zove prokletstvo dimenzionalnosti. Drugo, granica multidimenzionalnog regiona može biti vrlo komplikovana, tako da ne bi bilo moguće da se problem smanji na iterativni integral.[74] 100 dimenzija nikako nije neobično, jer u mnogim fizičkim problemima, "dimenzija" je ekvivalent stepena slobode.

Monte Karlo metode pružaju izlaz iz ovog eksponencijalnog povećanja računanja vremena. Dokle god je funkcija sa regulisanim načinom ponašanja, može se proceniti nasumično odabirom procena u 100-dimenzionalnom prostoru, i uzimajući neku vrstu proseka vrednosti funkcije u tim mestima. Do centralne granične teoreme, ovaj metod prikazuje konvergencije-npr učetvorostručavanjem broja uzorkovanih procena prepolovljava se greška, bez obzira na broj dimenzija.[74]

Prefinjenost ovog metoda, poznata kao značaj uzorkovanja u statistici, podrazumeva uzorkovanje procena slučajno, ali češće gde je integranta velika. Da biste to uradili upravo jedan bi morao da ima ve poznati integral, ali može se približno aproksimirati integralu slične funkcije ili koristiti adaptivne rutine kao što su 'stratifikovano uzorkovanje, rekurzivno slojevito uzorkovanje, prilagodljivo kišobran uzorkovanja [75][76] ili VEGAS algoritam.

Sličan pristup, kvazi-Monte Karlo metoda, koristi niske neslaganja sekvenci. Ove sekvence bolje "popunjavaju" oblast i uzorkuju najvažnije tačke, pa kvazi-Monte-Karlo metodi brže konvergiraju.

Druga klasa metoda za uzimanje uzoraka u zapremini je da se simulira slučajni prolaz kroz njega (umetanje). Takve metode uključuju Metropolis-Hastings algoritam, Gibsovo uzorkovanje, Vang i Landau algoritam i saradnje MCMC metodologije, kao što su sekvencijalni Monte Karlo sempleri.[77]

Simulacija i optimizacija[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Stohastička optimizacija

Još jedna snažna i vrlo popularna primena za slučajne brojeve u numeričkim simulacijama je kod numeričkih optimizacija. Problem je da se minimiziraju (ili povećaju) funkcije nekog vektora koji često ima veliki broj dimenzija. Mnogi problemi mogu biti formulisana na ovaj način: na primer, računarski šahovski program se može posmatrati kako pokušava da pronađe skup, recimo, 10 poteza koji daje najbolje funkcije evaluacije na kraju. Kod problema trgovačkih putnika cilj je da se minimizira udaljenost. Postoji primena u inženjerskom dizajnu, kao što je dizajn multidisciplinarne optimizacije. Ona je primenjena sa kvazi-jednodimenzionalnim modelima za rešavanje dinamičkih problema čestica efikasnim istraživanjem velike konfiguracije prostora.

Problem trgovačkog putnika je ono što se zove konvencionalni problem optimizacije. Cilj je odrediti rastojanja između svakog odredišta potrebnog za utvrđivanje optimalnog puta najmanjom ukupnom međusobnom udaljenošću. Međutim pretpostavimo da umesto najmanje ukuone udaljenosti tražimo najkraće vreme za obilazak. Ovo prevazilazi konvencionalne optimizacije, jer je putovanje kroz vreme inherentno neizvesno (saobraćajne gužve, doba dana, itd). Kao rezultat toga, za određivanje optimalne putanje koristimo simulaciju - optimizaciju prvo da bi razumeli niz potencijalnih vremena potrebnih za kretanje od jedne do druge tačke (predstavljenih raspodelom verovatnoće u ovom slučaju pre nego određenom udaljenošću) i onda optimizovanjem naše odluke identifikujemo najbolji put uz uzimanje faktora neizvesnost u obzir.

Inverzni problemi[uredi | uredi izvor]

Formulacija verovatnoće inverznog problema dovodi do definicije raspodele verovatnoće u modela prostora. Ova raspodela kombinuje prethodne informacije sa novim informacijama dobijenim merenjem nekog vidljivog parametara (podaci). Kako, u opštem slučaju, teorija koja povezuje podatke sa parametrima modela je nelinearna, pa se krajnja verovatnoća u modelu prostora ne može lako opisati (može biti multimodalna, neki trenuci se ne mogu definisati, itd).

Kada se analizira inverzni problem, dobijanje maksimalne verodostojnosti modela obično nije dovoljna, kao što obično i želite da imate informacije o snazi rezolucije podataka. U opštem slučaju imamo veliki broj parametara modela i pretraga marginalnih gustina verovatnoće od interesa može biti nepraktična, ili čak beskorisna. Ali, moguće je pseudonasumično generišemo veliku kolekciju modela prema zadnjoj raspodeli verovatnoće i da analiziramo i prikažemo modele na takav način da informacije o relativnim svojstavima modela prenose na gledaoca. Ovo se može postići pomoću efikasnog Monte Karlo metoda, čak i u slučajevima kada je dostupna eksplicitna formula za a priori raspodelu .

Najpoznatiji značaj metoda uzorkovanja, Metropolis algoritam, može se generalizovati, i to daje metod koji omogućava analizu (eventualno visoko nelinearnih) inverznih problema sa složenim a priori informacijama i podatacima proizvoljne distribucije buke.[78][79]

Upravljanje zalihama nafte[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metode su veoma popularne u upravljanju rezervoarima ugljovodonika u kontekstu nelinearnih inverznih problema. Ovo uključuje stvaranje računarskih modela naftnih i gasnih rezervoara sa doslednošću posmatranih podataka o proizvodnji. Sa ciljem donošenja odluka i procenom neizvesnosti, Monte Karlo metode se koriste za generisanje više geoloških realizacija.[80]

U kulturi[uredi | uredi izvor]

  • Monte Karlo Metod je album južnokalifornijskog rok benda "Ništa obojeno u plavo" iz 1998. godine.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Kroese, D. P.; Brereton, T.; Taimre, T.; Botev, Z. I. (2014). „Why the Monte Carlo method is so important today”. WIREs Comput Stat. 6: 386—392. doi:10.1002/wics.1314. 
  2. ^ Hubbard 2009
  3. ^ Metropolis, Nicholas; Rosenbluth, Arianna W.; Rosenbluth, Marshall N.; Teller, Augusta H.; Teller, Edward (1. 6. 1953). „Equation of State Calculations by Fast Computing Machines”. The Journal of Chemical Physics. 21 (6): 1087—1092. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. ISSN 0021-9606. doi:10.1063/1.1699114. 
  4. ^ Hastings, W. K. (1. 4. 1970). „Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications”. Biometrika. 57 (1): 97—109. ISSN 0006-3444. doi:10.1093/biomet/57.1.97. 
  5. ^ Liu, Jun S.; Liang, Faming; Wong, Wing Hung (1. 3. 2000). „The Multiple-Try Method and Local Optimization in Metropolis Sampling”. Journal of the American Statistical Association. 95 (449): 121—134. ISSN 0162-1459. doi:10.1080/01621459.2000.10473908. 
  6. ^ Martino, Luca; Read, Jesse (11. 7. 2013). „On the flexibility of the design of multiple try Metropolis schemes”. Computational Statistics. 28 (6): 2797—2823. ISSN 0943-4062. doi:10.1007/s00180-013-0429-2. 
  7. ^ Spall, J. C. (2003), “Estimation via Markov Chain Monte Carlo,” IEEE Control Systems Magazine, vol. 23(2). pp. 34–45.. doi:10.1109/MCS.2003.1188770.  Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć)
  8. ^ a b Kolokoltsov 2010
  9. ^ a b v Del Moral, Pierre (2013). Mean field simulation for Monte Carlo integration. Chapman & Hall/CRC Press. str. 626. „Monographs on Statistics & Applied Probability” 
  10. ^ „Sequential Monte Carlo samplers - P. Del Moral - A. Doucet - A. Jasra - 2006 - Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology) - Wiley Online Library”. onlinelibrary.wiley.com. Pristupljeno 11. 6. 2015. 
  11. ^ . doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x.  Nedostaje ili je prazan parametar |title= (pomoć)
  12. ^ a b Kalos & Whitlock 2008
  13. ^ a b Metropolis 1987
  14. ^ Eckhardt 1987
  15. ^ McKean, Henry, P. (1967). „Propagation of chaos for a class of non-linear parabolic equations”. Lecture Series in Differential Equations, Catholic Univ. 7: 41—57. 
  16. ^ McKean, Henry, P. (1966). „A class of Markov processes associated with nonlinear parabolic equations” (PDF). Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 56 (6): 1907—1911. Bibcode:1966PNAS...56.1907M. PMC 220210 Slobodan pristup. PMID 16591437. doi:10.1073/pnas.56.6.1907. 
  17. ^ Herman, Kahn; Harris, Theodore, E. (1951). „Estimation of particle transmission by random sampling” (PDF). Natl. Bur. Stand. Appl. Math. Ser. 12: 27—30. 
  18. ^ Turing, Alan M. „Computing machinery and intelligence”. Mind. LIX (238): 433—460. doi:10.1093/mind/LIX.236.433. 
  19. ^ Barricelli, Nils Aall (1954). „Esempi numerici di processi di evoluzione”. Methodos: 45—68. 
  20. ^ Barricelli, Nils Aall (1957). „Symbiogenetic evolution processes realized by artificial methods”. Methodos: 143—182. 
  21. ^ a b Del Moral, Pierre (2004). Feynman-Kac formulae. Genealogical and interacting particle approximations. Springer. str. 575. „Series: Probability and Applications” 
  22. ^ a b Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2000). Branching and Interacting Particle Systems Approximations of Feynman-Kac Formulae with Applications to Non-Linear Filtering. (PDF). Lecture Notes in Mathematics. 1729. str. 1—145. doi:10.1007/bfb0103798. 
  23. ^ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent (2000). „A Moran particle system approximation of Feynman-Kac formulae.”. Stochastic Processes and their Applications. 86 (2): 193—216. doi:10.1016/S0304-4149(99)00094-0. 
  24. ^ Del Moral, Pierre (2003). „Particle approximations of Lyapunov exponents connected to Schrödinger operators and Feynman-Kac semigroups” (PDF). ESAIM Probability & Statistics. 7: 171—208. doi:10.1051/ps:2003001. 
  25. ^ Assaraf, Roland; Caffarel, Michel; Khelif, Anatole (2000). „Diffusion Monte Carlo Methods with a fixed number of walkers” (PDF). Phys. Rev. E. 61: 4566—4575. Bibcode:2000PhRvE..61.4566A. doi:10.1103/physreve.61.4566. Arhivirano iz originala (PDF) 07. 11. 2014. g. Pristupljeno 15. 11. 2015. 
  26. ^ Caffarel, Michel; Ceperley, David; Kalos, Malvin (1993). „Comment on Feynman-Kac Path-Integral Calculation of the Ground-State Energies of Atoms”. Phys. Rev. Lett. 71: 2159. Bibcode:1993PhRvL..71.2159C. doi:10.1103/physrevlett.71.2159. 
  27. ^ Hetherington, Jack, H. (1984). „Observations on the statistical iteration of matrices”. Phys. Rev. A. 30 (2713): 2713—2719. Bibcode:1984PhRvA..30.2713H. doi:10.1103/PhysRevA.30.2713. 
  28. ^ Fermi, Enrique; Richtmyer, Robert, D. (1948). „Note on census-taking in Monte Carlo calculations” (PDF). LAM. 805 (A). „Declassified report Los Alamos Archive” 
  29. ^ a b Rosenbluth, Marshall, N.; Rosenbluth, Arianna, W. (1955). „Monte-Carlo calculations of the average extension of macromolecular chains”. J. Chem. Phys. 23: 356—359. Bibcode:1955JChPh..23..356R. doi:10.1063/1.1741967. 
  30. ^ Gordon, N.J.; Salmond, D.J.; Smith, A.F.M. (1993). „Novel approach to nonlinear/non-Gaussian Bayesian state estimation”. Radar and Signal Processing, IEE Proceedings F. 140 (2): 107—113. ISSN 0956-375X. doi:10.1049/ip-f-2.1993.0015. 
  31. ^ Kitagawa, G. (1996). „Monte carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear state space models”. Journal of Computational and Graphical Statistics. 5 (1): 1—25. JSTOR 1390750. doi:10.2307/1390750. 
  32. ^ a b Del Moral, Pierre (1996). „Non Linear Filtering: Interacting Particle Solution.” (PDF). Markov Processes and Related Fields. 2 (4): 555—580. Arhivirano iz originala (PDF) 04. 03. 2016. g. Pristupljeno 15. 11. 2015. 
  33. ^ Carvalho, Himilcon; Del Moral, Pierre; Monin, André; Salut, Gérard (1997). „Optimal Non-linear Filtering in GPS/INS Integration.” (PDF). IEEE-Trans. on Aerospace and electronic systems. 33 (3). Arhivirano iz originala (PDF) 10. 11. 2022. g. Pristupljeno 15. 11. 2015. 
  34. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : An unified framework for particle solutions LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 91137, DRET-DIGILOG- LAAS/CNRS contract, April (1991).
  35. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Nonlinear and non Gaussian particle filters applied to inertial platform repositioning. LAAS-CNRS, Toulouse, Research Report no. 92207, STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS Convention STCAN no. A.91.77.013, (94p.) September (1991).
  36. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : Particle resolution in filtering and estimation. Experimental results. Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.2 (54p.), January (1992).
  37. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : Particle resolution in filtering and estimation. Theoretical results Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01, Research report no.3 (123p.), October (1992).
  38. ^ P. Del Moral, J.-Ch. Noyer, G. Rigal, and G. Salut. Particle filters in radar signal processing : detection, estimation and air targets recognition. LAAS-CNRS, Toulouse, Research report no. 92495, December (1992).
  39. ^ P. Del Moral, G. Rigal, and G. Salut. Estimation and nonlinear optimal control : Particle resolution in filtering and estimation. Studies on: Filtering, optimal control, and maximum likelihood estimation. Convention DRET no. 89.34.553.00.470.75.01. Research report no.4 (210p.), January (1993).
  40. ^ Del Moral, Pierre (1998). „Measure Valued Processes and Interacting Particle Systems. Application to Non Linear Filtering Problems”. Annals of Applied Probability (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) izd.). 8 (2): 438—495. doi:10.1214/aoap/1028903535. 
  41. ^ Crisan, Dan; Gaines, Jessica; Lyons, Terry (1998). „Convergence of a branching particle method to the solution of the Zakai”. SIAM Journal on Applied Mathematics. 58 (5): 1568—1590. doi:10.1137/s0036139996307371. 
  42. ^ Crisan, Dan; Lyons, Terry (1997). „Nonlinear filtering and measure-valued processes”. Probability Theory and Related Fields. 109 (2): 217—244. doi:10.1007/s004400050131. 
  43. ^ Crisan, Dan; Lyons, Terry (1999). „A particle approximation of the solution of the Kushner–Stratonovitch equation”. Probability Theory and Related Fields. 115 (4): 549—578. doi:10.1007/s004400050249. 
  44. ^ Crisan, Dan; Del Moral, Pierre; Lyons, Terry (1999). „Discrete filtering using branching and interacting particle systems” (PDF). Markov Processes and Related Fields. 5 (3): 293—318. 
  45. ^ Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (1999). „On the stability of Measure Valued Processes with Applications to filtering”. C.R. Acad. Sci. Paris. 39 (1): 429—434. 
  46. ^ Del Moral, Pierre; Guionnet, Alice (2001). „On the stability of interacting processes with applications to filtering and genetic algorithms”. Annales de l'Institut Henri Poincaré. 37 (2): 155—194. doi:10.1016/s0246-0203(00)01064-5. 
  47. ^ Ripley 1987
  48. ^ a b Sawilowsky 2003
  49. ^ Davenport 1992
  50. ^ Vose 2000, str. 13
  51. ^ Vose 2000, str. 16
  52. ^ „GPU-based high-performance computing for radiation therapy”. Physics in Medicine and Biology. 59: R151—R182. Bibcode:2014PMB....59R.151J. doi:10.1088/0031-9155/59/4/R151. 
  53. ^ „Advances in kilovoltage x-ray beam dosimetry”. Physics in Medicine and Biology. 59: R183—R231. Bibcode:2014PMB....59R.183H. doi:10.1088/0031-9155/59/6/R183. 
  54. ^ „Fifty years of Monte Carlo simulations for medical physics”. Physics in Medicine and Biology. 51: R287—R301. Bibcode:2006PMB....51R.287R. doi:10.1088/0031-9155/51/13/R17. 
  55. ^ Baeurle 2009
  56. ^ MacGillivray & Dodd 1982
  57. ^ Int Panis et al. 2001
  58. ^ Int Panis et al. 2002
  59. ^ G. A. Bird, Molecular Gas Dynamics, Clarendon, Oxford (1976)
  60. ^ Dietrich, S.; Boyd, I. (1996). „A Scalar optimized parallel implementation of the DSMC technique”. Journal of Computational Physics. 126: 328—42. Bibcode:1996JCoPh.126..328D. doi:10.1006/jcph.1996.0141. 
  61. ^ Ojeda & et al. 2009,
  62. ^ Milik & Skolnick 1993
  63. ^ Sawilowsky & Fahoome 2003
  64. ^ http://sander.landofsand.com/publications/Monte-Carlo_Tree_Search_-_A_New_Framework_for_Game_AI.pdf
  65. ^ „Monte Carlo Tree Search - About”. Arhivirano iz originala 29. 11. 2015. g. Pristupljeno 15. 11. 2015. 
  66. ^ Chaslot, Guillaume M. J. -B.; Winands, Mark H. M.; Van Den Herik, H. Jaap (2008). „Parallel Monte-Carlo Tree Search”. Computers and Games. Lecture Notes in Computer Science. 5131. str. 60—71. ISBN 978-3-540-87607-6. doi:10.1007/978-3-540-87608-3_6. 
  67. ^ „Arhivirana kopija” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 18. 07. 2016. g. Pristupljeno 15. 11. 2015. 
  68. ^ Lorentz, Richard J. (2011). „Improving Monte–Carlo Tree Search in Havannah”. Computers and Games. Lecture Notes in Computer Science. 6515. str. 105—115. ISBN 978-3-642-17927-3. doi:10.1007/978-3-642-17928-0_10. 
  69. ^ http://www.arimaa.com/arimaa/papers/ThomasJakl/bc-thesis.pdf
  70. ^ Szirmay-Kalos 2008
  71. ^ Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Carmona, René A.; Moral, Pierre Del; Hu, Peng; Oudjane, Nadia, ur. „An Introduction to Particle Methods with Financial Applications”. Numerical Methods in Finance. Springer Proceedings in Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. 12: 3—49. ISBN 978-3-642-25745-2. doi:10.1007/978-3-642-25746-9_1. 
  72. ^ „Numerical Methods in Finance - Springer”. link.springer.com. doi:10.1007/978-3-642-25746-9. 
  73. ^ Kroese, D. P.; Taimre, T.; Botev, Z. I. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. John Wiley & Sons. 
  74. ^ a b Press et al. 1996
  75. ^ MEZEI, M (31. 12. 1986). „Adaptive umbrella sampling: Self-consistent determination of the non-Boltzmann bias”. Journal of Computational Physics. 68 (1): 237—248. Bibcode:1987JCoPh..68..237M. doi:10.1016/0021-9991(87)90054-4. 
  76. ^ Bartels, Christian; Karplus, Martin (31. 12. 1997). „Probability Distributions for Complex Systems: Adaptive Umbrella Sampling of the Potential Energy”. The Journal of Physical Chemistry B. 102 (5): 865—880. doi:10.1021/jp972280j. 
  77. ^ „Sequential Monte Carlo samplers - Del Moral - Doucet - Jasra- 2006 - Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology) - Wiley Online Library”. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology). 68: 411—436. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. 
  78. ^ Mosegaard & Tarantola 1995
  79. ^ Tarantola 2005
  80. ^ Shirangi, M. G., History matching production data and uncertainty assessment with an efficient TSVD parameterization algorithm, Journal of Petroleum Science and Engineering, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0920410513003227

Literatura[uredi | uredi izvor]

Monte Karlo metoda na Vikimedijinoj ostavi.
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Монте_Карло_метода&oldid=27672942”