Prvih hiljadu vrednosti za
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
U teoriji brojeva , Ojlerova fi funkcija
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
pozitivne cele brojeve n , je definisana kao broj pozitivnih celih brojeva manjih ili jednakih n , koji su uzajamno prosti sa n .
Na primer,
ϕ
(
9
)
=
6
{\displaystyle \phi (9)=6}
Ojlerova funkcija je dobila ime po švajcarskom matematičaru Leonardu Ojleru .
Ojlerova fi funkcija je važna uglavnom zbog toga što daje veličinu multiplikativnih grupa celih brojeva po modulu n . Preciznije,
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
jedinica prstena
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
Lagranžovom teoremom , daje dokaz Ojlerove teoreme .
Iz definicije sledi da je
ϕ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \phi (1)=1}
ϕ
(
n
)
=
(
p
−
1
)
p
k
−
1
{\displaystyle \phi (n)=(p-1)p^{k-1}}
n k -ti stepen prostog broja p . Štaviše,
ϕ
{\displaystyle \phi }
multiplikativna funkcija ; ako su m i n uzajamno prosti, onda
ϕ
(
m
n
)
=
ϕ
(
m
)
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (mn)=\phi (m)\phi (n)}
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
Osnovne teoreme aritmetike : ako
n
=
p
1
k
1
⋯
p
r
k
r
{\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
gde su
p
j
{\displaystyle p_{j}}
φ
(
n
)
=
(
p
1
−
1
)
p
1
k
1
−
1
⋯
(
p
r
−
1
)
p
r
k
r
−
1
{\displaystyle \varphi (n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1}\cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}}
Zadnja formula je Ojlerov proizvod , i često se zapisuje kao
φ
(
n
)
=
n
∏
p
|
n
(
1
−
1
p
)
{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}
a proizvod uzima samo vrednosti različitih prostih brojeva
p
{\displaystyle p}
n
{\displaystyle n}
φ
(
36
)
=
φ
(
3
2
2
2
)
=
36
(
1
−
1
3
)
(
1
−
1
2
)
=
36
⋅
2
3
⋅
1
2
=
12
{\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(3^{2}2^{2}\right)=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12}
Rečima, ovo znači da su različiti prosti faktori broja 36 brojevi 2 i 3; polovina trideset i šest celih brojeva od 1 do 36 su deljivi sa 2, što ostavlja osamnaest; trećina njih je deljivo sa 3, što ostavlja dvanaest uzajamno prostih sa 36. A ovih 12 brojeva su: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, i 35.
ϕ
(
n
)
{\displaystyle \phi (n)}
+0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
+9
0+
1
1
2
2
4
2
6
4
6
10+
4
10
4
12
6
8
8
16
6
18
20+
8
12
10
22
8
20
12
18
12
28
30+
8
30
16
20
16
24
12
36
18
24
40+
16
40
12
42
20
24
22
46
16
42
50+
20
32
24
52
18
40
24
36
28
58
60+
16
60
30
36
32
48
20
66
32
44
70+
24
70
24
72
36
40
36
60
24
78
80+
32
54
40
82
24
64
42
56
40
88
90+
24
72
44
60
46
72
32
96
42
60
Broj
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
ciklične grupe
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
n
{\displaystyle C_{n}}
podgrupu i podgrupe od
C
n
{\displaystyle C_{n}}
C
d
{\displaystyle C_{d}}
d deli n (što se zapisuje kao
d
|
n
{\displaystyle d|n}
∑
d
∣
n
φ
(
d
)
=
n
{\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}
gde suma prolazi kroz sve pozitivne delioce d od n .
Sada možemo da iskoristimo Mebijusovu inverzionu formulu da invertujemo ovu sumu i dobijemo još jednu formulu za
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
φ
(
n
)
=
∑
d
∣
n
d
⋅
μ
(
n
/
d
)
{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)}
gde je
μ
{\displaystyle \mu }
Mebijusova funkcija definisana za pozitivne cele brojeve.
Prema Ojlerovoj teoremi , ako su a i n uzajamno prosti, to jest, nzd (a , n ) = 1, tada
a
φ
(
n
)
≡
1
mod
n
.
{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.}
Ovo sledi iz Lagranžove teoreme i činjenice da a pripada multiplikativnoj grupi
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
akko je a uzajamno prosto sa n .
Dve generatorne funkcije predstavljene ovde su obe posledice činjenice da
∑
d
|
n
φ
(
d
)
=
n
.
{\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n.}
Direhleov red sa
φ
{\displaystyle \varphi }
n ) je
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.}
Ovo se izvodi na sledeći način:
ζ
(
s
)
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
=
∑
n
=
1
∞
(
∑
d
|
n
φ
(
d
)
)
1
n
s
=
∑
n
=
1
∞
n
n
s
=
ζ
(
s
−
1
)
,
{\displaystyle \zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|n}\varphi (d)\right){\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n^{s}}}=\zeta (s-1),}
gde je
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
Rimanova zeta funkcija .
Generatorna funkcija Lamberovog reda je
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
q
(
1
−
q
)
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
što konvergira za |q |<1.
Ovo sledi iz
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
∑
r
≥
1
q
r
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}
što je
∑
k
≥
1
q
k
∑
n
|
k
φ
(
n
)
=
∑
k
≥
1
k
q
k
=
q
(
1
−
q
)
2
.
{\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}
Rast
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
n je interesantno pitanje, jer je prvi utisak dobijen na osnovu malih n da je
φ
(
n
)
{\displaystyle \varphi (n)}
n je unekoliko netačan. Asimptotski imamo
n
1
−
ϵ
<
φ
(
n
)
<
n
{\displaystyle \,n^{1-\epsilon }<\varphi (n)<n}
za svako dato
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
n
>
N
(
ϵ
)
{\displaystyle n>N(\epsilon )}
φ
(
n
)
/
n
{\displaystyle \,\varphi (n)/n}
možemo iz gornje formule da dobijemo, kao proizvod faktora
1
−
p
−
1
{\displaystyle 1-p^{-1}\,}
iznad prostih brojeva p koji dele n . Stoga vrednosti n koje odgovaraju posebno malim vrednostima odnosa su oni n koji su proizvod početnog segmenta niza prostih brojeva. Iz Teoreme prostih brojeva se može pokazati da se konstanta ε u gornjoj formuli može zameniti sa
C
log
log
n
/
log
n
{\displaystyle C\,\log \log n/\log n}
φ
{\displaystyle \varphi }
n u smislu proseka:
1
n
2
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
=
3
π
2
+
O
(
log
n
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}
gde je veliko O Landauov simbol . Ovo takođe znači da je verovatnoća da će dva pozitivna cela broja slučajno izabrana iz {1, 2, ..., n } biti relativno prosti teži
6
/
π
2
{\displaystyle 6/\pi ^{2}}
n teži beskonačnosti.
Druge formule koje uključuju Ojlerovu funkciju [ uredi | uredi izvor ]
φ
(
n
m
)
=
n
m
−
1
φ
(
n
)
{\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
m
≥
1
{\displaystyle m\geq 1}
∑
d
∣
n
μ
2
(
d
)
φ
(
d
)
=
n
φ
(
n
)
{\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
∑
1
≤
k
≤
n
(
k
,
n
)
=
1
k
=
1
2
n
φ
(
n
)
{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n)}
n
>
1
{\displaystyle \;n>1}
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
=
1
2
(
1
+
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
⌊
n
k
⌋
2
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}
∑
k
=
1
n
φ
(
k
)
k
=
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
k
⌊
n
k
⌋
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }
∑
k
=
1
n
k
φ
(
k
)
=
O
(
n
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}
∑
k
=
1
n
1
φ
(
k
)
=
O
(
log
(
n
)
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}
∑
1
≤
k
≤
n
(
k
,
m
)
=
1
1
=
n
φ
(
m
)
m
+
O
(
2
ω
(
m
)
)
,
{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,m)=1}1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+{\mathcal {O}}\left(2^{\omega (m)}\right),}
gde je
m
>
1
{\displaystyle m>1}
ω
(
m
)
{\displaystyle \omega (m)}
m
{\displaystyle m}
n i relativno prostih sa m .)
Neke nejednakosti koje uključuju
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
(
n
)
>
n
e
γ
log
log
n
+
3
log
log
n
{\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}}
Ojlerova konstanta ,
φ
(
n
)
≥
n
2
{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}}
n > 0,i
φ
(
n
)
≥
n
{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}}
n > 6.Za prost n , jasno je da
φ
(
n
)
=
n
−
1
{\displaystyle \varphi (n)=n-1}
n imamo
φ
(
n
)
≤
n
−
n
{\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}}
Za sve
n
>
1
{\displaystyle n>1}
0
<
φ
(
n
)
n
<
1
{\displaystyle 0<{\frac {\varphi (n)}{n}}<1}
Za slučajno veliki n, ove granice se i dalje ne mogu poboljšati, ili učiniti preciznijim:
lim inf
φ
(
n
)
n
=
0
and
lim sup
φ
(
n
)
n
=
1.
{\displaystyle \liminf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0{\mbox{ and }}\limsup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1.}
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions,. Dover Publications, New York. 1964. ISBN 978-0-486-61272-0 .. See paragraph 24.3.2. Eric Bach and Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 978-0-262-02405-1 ., see page 234 in section 8.8.
