Petnaestougao

Pravilni petnaestougao

U geometriji, petnaestougao je mnogougao sa petnaest temena i petnaest stranica.

Pravilni petnaestougao

Pravilni petnaestougao je petnaestougao kod koga su sve stranice jednake dužine i svi unutrašnji uglovi jednaki.

Svaki unutrašnji ugao pravilnog petnaestougla ima 156° (stepeni), a zbir svih unutrašnjih uglova bilo kog petnaestougla iznosi 2340°.

Ako mu je osnovna stranica dužine $a\,\!$, površina pravilnog petnaestougla se određuje formulom
$P={\frac {15}{4}}a^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{15}}={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\approx 17.6424a^{2}$.
Ako je $R$ - poluprečnik opisanog kruga, a $r$ - poluprečnik upisanog kruga, onda važi

$R={\frac {a}{4}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$, i
$r={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$.

Obim pravilnog petnaestougla kome je stranica dužine $a\,\!$ biće jednak $15a\,\!$.

Konstrukcija

Pravilni petnaestougao se može konstruisati uz pomoć lenjira i šestara. Sledeća animacija ilustruje korak po korak, konstrukciju koju je naveo Euklid u četvrtoj knjizi Elemenata.

Animirani prikaz konstrukcije pravilnog petnaestougla pomoću šestara i lenjira

Vidi još

• Adicione formule

Spoljašnje veze

• Petnaestougao na Mathworld
• Konstrukcija petnaestougla