Povorka impulsa

Povorka impulsa kao beskonačni red Dirakovih delta funkcija na intervalima od T.

U matematici povorka impusla (takođe Dirakov češalj i funkcija odabiranja u elektrotehnici) je periodična Švarcova raspodela sačinjena od Dirakovih delta funkcija.

$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$

na nekom određenom intervalu vremena T. Neki autori, konkretno Brejsvel kao i neki autori udžbenika za elektrotehniku i teoriju električnih kola, nazivaju ovu funkciju Š funkcijom (moguće zato što grafik podseća na oblik slova Š). Pošto je ova funkcija periodična, može da se predstavi Furijeovim redom:

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.$

Osobina skaliranja

Osobina skaliranja sledi direktno iz osobine Dirakove delta funkcije

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.$

Furijeov red

Jasno je da je Δ_T(t) periodično sa periodom T. To jest

$\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t$.

Kompleksni Furijeov red za takvu periodičnu funkciju glasi

$\Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\$

gde Furijeovi koeficijenti, c_n, iznose,

$c_{n}\,$	$={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
	$={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\$
	$={\frac {1}{T}}.\$

Svi Furijeovi koeficijenti su 1/T, zbog čega je

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}$.

Furijeova transformacija

Furijeova transformacija povorke impulsa je takođe povorka impulsa.

Jedinična transformacija u frekvencijski domen (Hz):

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}$

Jedinična transformacija u ugaoni frekvencijski domen (rad/s):

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,$

Odabiranje i preklapanje

Množenje kontinualnog signala povorkom impulsa ponekad se naziva idealni odabirač sa intervalom odabiranja T.

Kada se koristi kao idealni odabirač, može da se upotrebi za razumevanje efekta preklapanja (alijasinga) i kao dokaz za Nikvist-Šenonova teorema odabiranja.

Vidi još

• Poasonova formula sumiranja

Literatura

• Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)