Pokrivač (matematika)

Definicija:

Pokrivačem skupa $Y$ nazivamo proizvoljnu porodicu podskupova $\mathbb {X}$ nekog skupa $X$, tj. $\mathbb {X} =\{X_{i}|i\in I\}$, a $Y\subset X$ ako važi:

$Y\subset \bigcup _{i\in I}X_{i}$, tj. ako svaki element skupa $Y$ pripada bar nekom od članova porodice $\mathbb {X}$.

Specijalno, ako za neko $J\subset I$, i neka potporodica $\mathbb {X} '=\{X_{j}|j\in J\}$ sama čini pokrivač skupa $Y$, tada kažemo da je porodica $\mathbb {X} '$ potpokrivač skupa $Y$.

Primena

Pokrivač je pojam koji se najviše koristi u Teoriji skupova i Topologiji. U Realnoj analizi pod pokrivačem skupa podrazumeva se pokrivanje neke krive intervalima.

Borel-Lebegova lema

Glavni članak: Borel-Lebegova lema

Jedna od poznatijih teorema iz Realne analize u čijem se dokazu koriste pokrivači, je tzv. Borel-Lebegova lema.

Lema

Iz svakog pokrivača otvorenim intervalima, odsečka realne prave $[a,b]$, može se izdvojiti konačan potpokrivač.

Dokaz

Označimo sa $X$ skup svih onih tačaka $x$ za koje važi da se odsečak $[a,x]$ može pokriti konačnim brojem otvorenih intervala. Taj skup $X$ očigledno nije prazan, jer mu pripada najpre tačka $a$ koja prema uslovima tvrđenja mora pripadati nekom otvorenom intervalu. Potrebno je dokazati da i tačka $b$ pripada skupu $X$. Pošto skup $X$ nije prazan i ograničen je odozgo, on mora imati supremum. Neka je $y$ njegov supremum. Ako pretpostavljamo da tačka $b$ ne pripada tom skupu, onda je $x\leq y\leq b$, te i $y$ pripada odsečku $[a,b]$, pa kao i svaka tačka tog segmenta, i $y$ pripada nekom otvorenom intervalu $(\alpha ,\beta )$. Tada za neko $x$ važi: $\alpha \leq x\leq y$, jer bi inače to $x$ bilo supremum skupa $X$. Interval $(\alpha ,\beta )$ možemo pridružiti skupu $X$, zato što je moguće i odsečak $[a,y]$ prekriti sa konačnim brojem otvorenih intervala. Međutim, ako bi bilo $y\neq b$, tada bi se između $y$ i $b$ našlo još članova skupa $X$ zbog otvorenosti intervala $(\alpha ,\beta )$, što je u suprotnosti sa time da je $y$ supremum skupa $X$. Zbog toga, i $b$ pripada skupu $X$, čime smo dokazali da se odsečak $[a,b]$ može prekriti sa konačnim brojem otvorenih intervala, što je i tvrđenje leme.

Vidi još

• Kompaktnost
• Topologija
• Borel-Lebegova lema

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.