Prijateljski broj

Prirodni brojevi a i b čine prijateljski par brojeva ako je zbir pravih delitelja broja a (onih koji su manji od a) jednak broju b i istovremeno zbir pravih delitelja broja b jednak je broju a. Drugim rečima dva broja su prijateljski brojevi ako je svaki od njih suma pravih delilaca drugog broja. Pod pravim deliocima nekog prirodnog broja ņ podražumevaju se svi delioci ovog broja, uključujući i broj 1, izuzev samog broja ņ.^[1]

Takav par nije nimalo jednostavno naći. Najmanji je (220, 284). Pravi delitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110, a njihov zbir je upravo 284. Zbir pravih delitelja broja 284 je jednak 220.

Poznati francuski matematičar Ferma našao je 1636. godine drugi par prijateljskih brojeva (17 296, 18 416). Zajedno sa Dekartom, Ferma je otkrio pravilo za formiranje takvih parova. Kasnije se ispostavilo da je za to znao, daleko pre njih, još u 10. veku, arapski matematičar po imenu Abu-l-Hasan Sabit ibn Marvan as-Sabi al Harani.

Sledeći tekst transparentno pokazuje njegov pristup:

Ukoliko su jednačine (p = 3x2^n-1 – 1), (q = 3x2^n-1 – 1) i (r = 9x2^n-1 – 1) validne, a svaka od spomenutih varijabli, odnosno „p“, „q“ i „r“ budu prosti brojevi veći od 2, tada će brojevi „2ⁿpq“ i „2ⁿr“ biti „prijateljski brojevi“.^[2]^{‍:str. 217.}

Sabit ibn Kura u X veku, pre drugih matematičara, u svojim istraživanjima dolazi do prva dva prijateljska broja, tačnije do para 284 i 220. Sabitovo otkriće je u islamskom svetu bilo toliko poznato da nije bilo moguće prenebregnuti ga. Ovo dostignuće su mnogi drugi muslimanski matematičari i aritmetičari, poput Bin Bena Marakešija, Kemaludina Farsija i Bin Hidra, koristili u svojim knjigama i naučnim trakatima mnogo pre Pjera de Ferme i nešto posle Sabita.^[2]^{‍:str. 255.}

U 18. veku Ojler je objavio spisak od 64 para prijateljskih brojeva, među kojima su dva bila pogrešna. Šesnaestogodišnji Italijan Paganini našao je 1867. godine par prijateljskih brojeva (1 184, 1 210) koji su daleko manji od Fermaovih.

Uz pomoć računara danas je pronađeno više od 600 prijateljskih parova. Prvo mesto na listi zauzima (220,284), iza njega je Paganinijev (1 184, 1 210), zatim dolazi (2 620, 2 924) itd. Fermaov par je tek na 8. mestu.

Parnost prijateljskog broja[uredi | uredi izvor]

U svim poznatim parovima prijateljskih brojeva, oba su parna ili, što je mnogo ređe, oba neparna. Nije poznato da li postoji mešovit par, sastavljen od jednog parnog i jednog neparnog broja. Takođe, nije poznata formula ta sve prijteljske parove, niti se zna da li ih ima konačno ili beskonačno mnogo.

Hronologija prijateljskih brojeva[uredi | uredi izvor]

Otkriće prijateljskih brojeva se pripisuje grčkim matematičarima. Smatra se da je Pitagora našao jedan par takvih brojeva: 220 i 284. Zaista pravi delioci broja 220 su 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 i njihova suma je 284. Delioci broja 284 su 1, 2, 4, 71, i 142 i njihova suma je tačno 220.

U periodu od 2000 godina ovo je bio jedini par prijateljskih brojeva.

U devetom veku Tabnt Ibn Kora je u vidu teoreme predložio algoritam za regenerisanje niža prijazeljskih brojeva.

Primeri parova prijateljskih brojeva[uredi | uredi izvor]

17296 i 18426: 9363584 9437056

Prijateljski brojevi do 1 000 000[uredi | uredi izvor]

220 i 284
1184 i 1210
2620 i 2924
5020 i 5564
6232 i 6368
10744 i 10856
12285 i 14595
17296 i 18416
63020 i 76084
66928 i 66992
67095 i 71145
69615 i 87633
79750 i 88730
100485 i 124155
122265 i 139815
122368 i 123152
141664 i 153176
142310 i 168730
171856 i 176336
176272 i 180848
185368 i 203432
196724 i 202444
280540 i 365084
308620 i 389924
319550 i 430402
356408 i 399592
437456 i 455344
469028 i 486178
503056 i 514736
522405 i 525915
600392 i 669688
609928 i 686072
624184 i 691256
635624 i 712216
643336 i 652664
667964 i 783556
726104 i 796696
802725 i 863835
879712 i 901424
898216 i 980984

Istina ili praznoverje[uredi | uredi izvor]

Ovo fantasično svojstvo pomenutog para brojeva, poslužilo je da se osigura neraskidivo prijateljstvo između osoba koje ih nose.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

^ Petković, Miodrag (2008). Zanimljivi matematički problemi velikih matematičara. Društvo matematičara Srbije.
^ ^a ^b Velajati, Ali Akbar (2016), Istorija kulture i civilizacije islama i Irana, preveo Muamer Halilović, Beograd, Centar za religijske nauke „Kom”.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Ovaj članak uključuje tekst iz publikacije koja je sada u javnom vlasništvu: Chisholm, Hugh, ur. (1911). „Amicable Numbers”. Encyclopædia Britannica (na jeziku: engleski) (11 izd.). Cambridge University Press.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. str. 32—36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl 1079.11001.
Wells, D. (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. London: Penguin Group. str. 145—147.
Weisstein, Eric W. „Amicable Pair”. MathWorld.
Weisstein, Eric W. „Thâbit ibn Kurrah Rule”. MathWorld.
Weisstein, Eric W. „Euler's Rule”. MathWorld.
M. García; J.M. Pedersen; H.J.J. te Riele (2003-07-31). „Amicable pairs, a survey” (PDF). Report MAS-R0307.

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]

Grime, James. „220 and 284 (Amicable Numbers)”. Numberphile. Brady Haran. Arhivirano iz originala 2017-07-16. g. Pristupljeno 2013-04-02.
Grime, James. „MegaFavNumbers - The Even Amicable Numbers Conjecture”. YouTube. Arhivirano iz originala 2021-11-23. g. Pristupljeno 2020-06-09.
Koutsoukou-Argyraki, Angeliki (4. 8. 2020). „Amicable Numbers (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)”. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[1] Petković, Miodrag (2008). Zanimljivi matematički problemi velikih matematičara. Društvo matematičara Srbije.

[Istorija_kulture_i_civilizacije_islama_i_Irana-2] Velajati, Ali Akbar (2016), Istorija kulture i civilizacije islama i Irana, preveo Muamer Halilović, Beograd, Centar za religijske nauke „Kom”.

[1]

[2]