Rang matrice

Rang matrice je jedan od najvažnijih pojmova linearne algebre, oblasti matematike. U izvesnom smislu, rang meri „punoću“ matrice i njoj odgovarajućeg linearnog preslikavanja. Pojam komplementaran rangu je defekt matrice.

Definicija

Postoji nekoliko ekvivalentnih definicija ranga matrice. Najčešće se on definiše kao dimenzija slike matrice, odnosno kao dimenzija prostora koji generišu (katkad se kaže i „razapinju“) njene kolone. Drugim rečima, rang matrice je najveći broj njenih linearno nezavisnih kolona.

Vektorski prostor koji generišu kolone matrice naziva se i njenim prostorom kolona, a njegova dimenzija rangom kolona. Analogno, prostor vrsta je vektorski prostor koji generišu vrste matrice, dok njegovu dimenziju nazivamo rangom vrsta. Rang vrsta i rang kolona svake matrice su jednaki, odakle i za oba naziv „rang“ bez daljeg određenja. Posebno je rang matrice jednak rangu njoj transponovane matrice.

Elementarne operacije nad vrstama i kolonama matrice ne menjaju njen rang. Stoga ekvivalentne (i posebno slične) matrice imaju jednak rang. Sve matrice linearnog preslikavanja između dva vektorska prostora u odnosu na proizvoljan par njihovih baza su ekvivalentne; njihov zajednički rang se naziva i rangom datog linearnog preslikavanja i jednak je dimenziji njegove slike. Rang matrice je takođe jednak broju vodećih kolona u po vrstama svedenom ešelonskom obliku matrice; ova definicija se često koristi u uvodnim kursevima linearne algebre. Alternativno, matrica se može korišćenjem elementarnih operacija i nad vrstama i nad kolonama svesti na tačno jednu ekvivalentnu joj matricu čiji su svi elementi nule izuzev što na izvesnom broju prvih mesta duž glavne dijagonale stoje jedinice; rang polazne matrice jednak je broju jedinica u njenom tako svedenom obliku.

Determinantni rang matrice je red najveće njene inverzibilne podmatrice, odnosno najvećeg njenog ne-nula minora. Determinantni rang matrice jednak je njenom rangu.

Svojstva ranga

Rang m×n matrice je ceo broj između 0 i min(m,n). Jedina matrica ranga nula je nula-matrica. Kvadratna matrica reda n je ranga n ako i samo ako je inverzibilna, stoga za inverzibilne matrice kažemo i da su „punog ranga“. Opštije, rang dijagonalizabilne kvadratne matrice jednak je broju njenih ne-nula svojstvenih vrednosti, računajući sa višestrukostima. Ako je 0≤k≤n i P matrica projekcije prostora 'R'ⁿ na neki njegov k-dimenzioni potprostor (ortogonalne ili duž ma kog komplementarnog (n − k)-dimenzionog potprostora), tada je P ranga k. Svaka matrica ranga k je proizvod inverzibilne matrice i matrice projekcije na neki k-dimenzioni potprostor.

Linearno preslikavanje L : Rⁿ → R^m je monomorfizam (injektivno) ako i samo je r(L) = n, a epimorfizam (surjektivno) ako i samo ako je r(L) = m. Za m × n matricu kažemo da je „punog ranga kolona“ ako je r(A) = n, odnosno „punog ranga vrsta“ ako je r(A) = m.

Jedan od najvažnijih iskaza o rangu matrice, koji ponekad nazivaju i osnovnom teoremom linearne algebre, jeste sledeći

Stav prema rangu i defektu: Za svaku m × n matricu A je

δ(A) + r(A) = n.

Značajno svojstvo ranga matrice je i sledeća Silvesterova nejednakost:

r(B) + r(ABC)  ≥  r(AB) + r(BC),

koja važi za svake tri matrice A, B, C formata takvog da su svi matrični proizvodi u nejednakosti definisani. Posebno je za svake dve m × n i n × p matrice A i B

r(A) + r(B) − n  ≤  r(AB)  ≤  min(r(A), r(B)).

Rang proizvoda AB je jednak rangu matrice A ako je B punog ranga vrsta, i rangu matrice B ako je A punog ranga kolona.

Konačno, kako je ker(A^TA) = ker(A), to je prema stavu o rangu i defektu i

r(A^TA) = r(A).

Prema ovoj jednakosti je rang realne matrice jednak broju njenih ne-nula singularnih vrednosti.

Rang i sistemi linearnih jednačina

Kroneker-Kapelijeva teorema tvrdi da je sistem linearnih jednačina

Ax' = b'

konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sistema [ A : b ] jednak rangu matrice koeficijenata sistema A.

Rang matrice može ponuditi i dodatne informacije o broju rešenja linearnog sistema (formata m × n), na primer:

• Ako je r(A) = m, tada će sistem u VSEO imati vodeću promenljivu u svakoj od jednačina i stoga je nužno konzistentan, sa jedinstvenim rešenjem ako je m = n ili beskonačno mnogo rešenja (koja čine afini potprostor dimenzije n − m ako je m < n.
• Ako je r(A) = n, tada su sve promenljive vodeće u svedenom obliku, pa je sistem ili nekonzistentan ili ima jedinstveno rešenje, već zavisno od toga da li je rang proširene matrice sistema jednak n + 1 ili n.
• Ako je r(A) < n, tada sistem ima i slobodnih promenljivih u svedenom obliku, pa je ili nekonzistentan ili ima beskonačno mnogo rešenja, zavisno od toga da li je rang proširene matrice sistema veći ili jednak r(A).

Numeričko izračunavanje

Rang matrice se uvek može izračunati Gausovim postupkom eliminacije, ali je u numeričkim izračunavanjima koja koriste aritmetiku pokretnog zareza ovaj postupak (LU dekompozicija) nestabilan. Umesto njega, češće se koriste dekomopozicija po singularnim vrednostima ili QR dekompozicija sa pivotima. Numeričko određivanje ranga uvek uključuje i praktični izbor praga pomoću kojeg se određuje kada element jako male numeričke vrednosti treba tretirati kao nulu, koji će zavisiti od svojstava matrice i konkretne primene.

Uopštenja

Rang se definiše i za matrice nad proizvoljnim prstenovima. U ovim uopštenjima, rang kolona (najveći broj linearno nezavisnih kolona), rang vrsta, dimenzija prostora kolona, dimenzija prostora vrsta, determinantni rang, itd. mogu biti međusobno različiti ili ne biti definisani.

Rang glatkog preslikavanja između dve glatke mnogostrukosti u nekoj tački se definiše kao (linearni) rang njegovog diferencijala.