Rotor (matematika)

S Vikipedije, slobodne enciklopedije


Rotor vektorskog polja definiše se kao:[1], gde je - vektor čije su komponente funkcije Dekartovih koordinata.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Vektorsko polje na infinitezimalnim dekartovim konturama

Kako se rotor vektorskog polja uvek računa za vrtložna polja, tj. polja sa vrtlogom bar u jednoj tački, to nas zanima granični proces za malu konturu pravougaonog oblika u ravnih ivica i kao na slici, kako bi dobili z-komponentu rotora vektorskog polja u datoj tački

, gde je - cirkulacija vektorskog polja po konturi površine , =

, dobili smo

komponentu rotora vektorskog polja . Postupak se ponavlja za konturu u xOz ravni ili za , odnosno konturu yOz ili za , te se dobija početno tvrđenje.

Rotor u generalisanim koordinatama[uredi | uredi izvor]

Pri određenim simetrijama problema, na primer, cilindričnim ili sfernim, jednostavnije je posmatrati rotor u generalisanim koordinatama.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

. , gde su -komponente rotora duž generalisanih ortova , , pa se komponenta računa kao ,, stim da su Lameovi koeficienti i funkcije generalisanih koordinata.

dobili smo komponentu rotora pa cikličnom permuacijom koordinata dobijamo ostale komponente, što se koncizno izražava kao:

Primeri[uredi | uredi izvor]

Magnetno polje oko beskonačnog pravolinjskog provodnika sa kontinualnom raspodelom toka elektriciteta[uredi | uredi izvor]

Ovo polje zadovoljava cilindričnu simetriju jer se osobine sistema ne mnjaju rotacijom oko ose provodnika za proizvoljni ugao, te magnetno polje,- V ne zavisi od azimutalnog ugla -φ i opisuje se diferencijalnom jednačinom: :, gde je - a j- gustina električne struje, μ0 - magnetna propustljivost vakuuma. Usled cilindrične simetrije, gornja jednačina postaje:=> ,

Pojam vektorskog magnetnog potencijala[uredi | uredi izvor]

Integracija po zatvorenoj strujnoj konturi

Iz Bio Savarovog zakona u integralnom obliku:, gde je I- jačina električne struje kroz provodnu konturu S, -infinitezimalna promena vektora položaja po konturi S,, - vektor položaja tačke u kojoj se posmatra magnetno polje strujne konture S, - vektor položaja koji šeta po konturi.

Kako je za i to magnetno polje možemo izraziti kao , gde je

odavde sledi da je Magnetno polje vrtložno jer je njegova divrgencija jednaka 0,

Dokaz[uredi | uredi izvor]

, ali kako je , jer je vektorski proizvod kolinearnih vektora uvek 0 sledi početno tvrđenje.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ „Teorija polja” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) na datum 14. 07. 2018. 

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]