Stepeni slobode (mehanika)

Za drugu upotrebu, pogledajte stranicu Stepeni slobode.

U mehanici, stepeni slobode mehaničkog sistema predstavljaju broj nezavisnih parametara koji definišu konfiguraciju sistema. Stepen slobode je fundamentalni koncept koji predstavlja centralni deo analize sistema tela u mašinstvu, astronautičkoj industriji, robotici, i građevinarstvu. Broj stepeni slobode je broj parametara koji određuju stanje fizičkog sistema.

Pozicija lokomotive koja se kreće duž šina ima jedan stepen slobode, jer je položaj lokomotive određen tačkom na šinama na kojoj se lokomotiva nalazi. Kompozicija vagona, povezanih zglobnim vezama za lokomotivu i dalje ima samo jedan stepen slobode, jer je položaj vagona ograničen oblikom pruge.

Automobil sa čvrstim vešanjem može da se posmatra kao čvrsto telo koje se kreće po ravni (ravnom, dvodimenzionom prostoru). Ovo telo ima tri nezavisna stepena slobode, koja se sastoje od dve komponente translacije i jednog ugla rotacije. Klizanje automobila je dobar primer koji ilustruje sva tri stepena slobode.

Položaj čvrstog tela u prostoru je određen preko tri komponente translacije i tri komponente rotacije, što znači da telo ima šest stepeni slobode.

Kretanje i dimenzije

Položaj n-dimenzionog čvrstog tela je definisan čvrstom transformacijom, [T]=[A, d], gde d predstavlja n-dimenzionu translaciju, a A je nxn matrica rotacije, koja ima n translacionih stepeni slobode i n(n - 1)/2 rotaciona stepena slobode. Broj rotacionih stepeni slobode dolazi od dimenzije rotacione grupe SO(n).

Ne-čvrsto ili deformabilno telo može da se posmatra kao skup sićušnih čestica (ogroman broj stepeni slobode); prilikom analize ovakvih sistema se često vrši aproksimacija sistemom sa manjim brojem stepeni slobode. Kada je glavni cilj analize proučavanje velikih pomeraja (na primer, u analizi kretanja satelita), deformabilno telo može da se aproksimira čvrstim telom (ili čak česticom) kako bi se analiza pojednostavila.

Kao što je objašnjeno gore, broj stepeni slobode odgovara minimalnom broju koordinata neophodnih da se odredi položaj tela. Ako se to primeni:

Za određivanje položaja pojedinačne čestice su neophodne 2 koordinate u dvodimenzionoj ravni i 3 koordinate u trodimenzionom prostoru. Stoga je broj stepeni slobode čestice u prostoru 3.

Za telo koje se sastoji od dve čestice (na primer dvoatomni molekuli) u prostoru, sa konstantnim razmakom d između njih, može da se pokaže da je broj stepeni slobode jednak 5.

Neka su poznate tri koordinate jedne čestice (x₁, y₁, z₁), kao i x-koordinata (x₂) i y-koordinata (y₂) druge čestice. Formula za izračunavanje razdaljine između dve tačke u euklidskom prostoru glasi d = sqrt(((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²)) Kako je razdaljina poznata, ovo predstavlja jednačinu sa jednom nepoznatom, iz koje može da se izračuna preostala koordinata druge čestice, z₂.

Napomena: u ovoj situaciji bilo koja od koordinata x₁, x₂, y₁, y₂, z₁, z₂ može da bude nepoznata.

Šest stepeni slobode

Dinamik aleta

Kretanje broda na moru ima šest stepeni slobode čvrstog dela, opisanih kao:

Translacija:

1. Kretanje gore i dole;
2. Kretanje levo i desno;
3. Kretanje napred i nazad;

Rotacija:

1. Zaokretanje gore i dole (propinjanje);
2. Zaokretanje levo i desno (skretanje);
3. Zaokretanje u stranu (valjanje).

Vidi još: Ojlerovi uglovi

Vidi još

• Kinematika