Sferne Beselove funkcije
j
n
{\displaystyle j_{n}}
i
y
n
{\displaystyle y_{n}}
(
n
n
{\displaystyle n_{n}}
) predstavljaju rešenja diferencijalne jednačine:
x
2
d
2
y
d
x
2
+
2
x
d
y
d
x
+
[
x
2
−
n
(
n
+
1
)
]
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+[x^{2}-n(n+1)]y=0.}
tj. radijalne jednačine, koja se dobija separacijom varijabli prilikom rešavanja Helmholcove jednačine u sfernim koordinatama. Funkcije
j
n
{\displaystyle j_{n}}
nazivaju se sfernim Beselovim funkcijama prve vrste, a
y
n
{\displaystyle y_{n}}
(ili
n
n
{\displaystyle n_{n}}
) nazivaju se sfernim Beselovim funkcijama druge vrste ili sfernim Nojmanovim fukcijama.
Sferne Beselove funkcije prve vrste
j
n
{\displaystyle j_{n}}
(x ) za n = 0, 1, 2
Dva linearno nezavisna rešenja gornje diferencijalne jednačine nazivaju se sferne Beselove funkcije
j
n
{\displaystyle j_{n}}
i
y
n
{\displaystyle y_{n}}
(
n
n
{\displaystyle n_{n}}
), a sa običnim Beselovim funkcijama J n and Y n povezane su izrazom:
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
/
2
(
x
)
,
{\displaystyle j_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+1/2}(x),}
y
n
(
x
)
=
π
2
x
Y
n
+
1
/
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
2
x
Y
−
n
−
1
/
2
(
x
)
.
{\displaystyle y_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{-n-1/2}(x).}
y
n
{\displaystyle y_{n}}
se često označava sa
n
n
{\displaystyle n_{n}}
ili ηn , i ponekad se nazivaju sferne Nojmanove fukcije.
Sferne Beselove funkcije mogu da se napišu i kao:
j
n
(
x
)
=
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
sin
x
x
,
{\displaystyle j_{n}(x)=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\sin x}{x}},}
y
n
(
x
)
=
−
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
cos
x
x
.
{\displaystyle y_{n}(x)=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\,{\frac {\cos x}{x}}.}
Prikaz prvih nekoliko sfernih Beselovih funkcija [ uredi | uredi izvor ]
Sferne Beselove funkcije druge vrste
n
n
{\displaystyle n_{n}}
(x ), za n = 0, 1, 2
Nekoliko prvih sfernih Beselovih funkcija prve vrste je:
j
0
(
x
)
=
sin
x
x
{\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}
j
1
(
x
)
=
sin
x
x
2
−
cos
x
x
{\displaystyle j_{1}(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}}}
j
2
(
x
)
=
(
3
x
2
−
1
)
sin
x
x
−
3
cos
x
x
2
{\displaystyle j_{2}(x)=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}}}
j
3
(
x
)
=
(
15
x
3
−
6
x
)
sin
x
x
−
(
15
x
2
−
1
)
cos
x
x
,
{\displaystyle j_{3}(x)=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}},}
i za funkcije druge vrste:
y
0
(
x
)
=
−
j
−
1
(
x
)
=
−
cos
x
x
{\displaystyle y_{0}(x)=-j_{-1}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x}}}
y
1
(
x
)
=
j
−
2
(
x
)
=
−
cos
x
x
2
−
sin
x
x
{\displaystyle y_{1}(x)=j_{-2}(x)=-\,{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}}}
y
2
(
x
)
=
−
j
−
3
(
x
)
=
(
−
3
x
2
+
1
)
cos
x
x
−
3
sin
x
x
2
{\displaystyle y_{2}(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}}}
y
3
(
x
)
=
j
−
4
(
x
)
=
(
−
15
x
3
+
6
x
)
cos
x
x
−
(
15
x
2
−
1
)
sin
x
x
.
{\displaystyle y_{3}\left(x\right)=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.}
∫
0
1
x
2
j
α
(
x
u
α
,
m
)
j
α
(
x
u
α
,
n
)
d
x
=
δ
m
,
n
2
[
j
α
+
1
(
u
α
,
m
)
]
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})j_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[j_{\alpha +1}(u_{\alpha ,m})]^{2}\!}
gde je α > −1, δm ,n Kronekerova delta funkcija , a u α,m je m -ti koren (nula) funkcije of j α (x ). Relacije ortogonalnosti služe da bi se odredili koeficijenti razvoja funkcija u sferni Beselov red.
Druga relacija ortogonalnosti je:
∫
0
∞
x
2
j
α
(
u
x
)
j
α
(
v
x
)
d
x
=
π
2
u
2
δ
(
u
−
v
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)dx={\frac {\pi }{2u^{2}}}\delta (u-v)\!}
a tu je δ Dirakova delta funkcija .
j
l
(
x
)
=
1
x
s
i
n
(
x
−
l
π
2
)
za
x
≫
l
{\displaystyle j_{l}(x)={\frac {1}{x}}sin\left(x-{\frac {l\pi }{2}}\right){\text{ za }}x\gg l}
n
l
(
x
)
=
−
1
x
c
o
s
(
x
−
l
π
2
)
za
x
≫
l
{\displaystyle n_{l}(x)={\frac {-1}{x}}cos\left(x-{\frac {l\pi }{2}}\right){\text{ za }}x\gg l}
Za slučaj kada x teži 0 dobijaju se sledeći izrazi:
j
l
(
x
)
=
x
l
(
2
l
+
1
)
!
!
(
1
−
x
2
2
(
2
l
+
3
)
+
.
.
)
za
x
→
0
{\displaystyle j_{l}(x)={\frac {x^{l}}{(2l+1)!!}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2(2l+3)}}+..\right){\text{ za }}x\to 0}
n
l
(
x
)
=
(
2
l
+
1
)
!
!
(
2
l
+
1
)
1
x
l
+
1
(
1
+
x
2
2
(
2
l
−
1
)
+
.
.
)
za
x
→
0
{\displaystyle n_{l}(x)={\frac {(2l+1)!!}{(2l+1)}}{\frac {1}{x^{l+1}}}\left(1+{\frac {x^{2}}{2(2l-1)}}+..\right){\text{ za }}x\to 0}
2
l
+
1
x
j
l
=
j
l
−
1
(
x
)
+
j
l
+
1
(
x
)
j
l
′
(
x
)
=
1
2
l
+
1
(
l
j
l
−
1
(
x
)
−
(
l
+
1
)
j
l
+
1
(
x
)
)
d
d
x
(
x
j
l
(
x
)
)
=
x
j
l
−
1
(
x
)
−
l
j
l
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2l+1}{x}}j_{l}&=j_{l-1}(x)+j_{l+1}(x)\\j'_{l}(x)&={\frac {1}{2l+1}}\left(lj_{l-1}(x)-(l+1)j_{l+1}(x)\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xj_{l}(x))&=xj_{l-1}(x)-lj_{l}(x)\end{aligned}}}
Slične rekurzije postoje i za sfernu Nojmanovu funkciju:
2
l
+
1
x
n
l
=
n
l
−
1
(
x
)
+
n
l
+
1
(
x
)
n
l
′
(
x
)
=
1
2
l
+
1
(
l
n
l
−
1
(
x
)
−
(
l
+
1
)
n
l
+
1
(
x
)
)
d
d
x
(
x
n
l
(
x
)
)
=
x
n
l
−
1
(
x
)
−
l
n
l
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2l+1}{x}}n_{l}&=n_{l-1}(x)+n_{l+1}(x)\\n'_{l}(x)&={\frac {1}{2l+1}}\left(ln_{l-1}(x)-(l+1)n_{l+1}(x)\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(xn_{l}(x))&=xn_{l-1}(x)-ln_{l}(x)\end{aligned}}}
.
Generirajuće funkcije sfernih Beselovih funkcija su:
1
z
cos
z
2
−
2
z
t
=
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
j
n
−
1
(
z
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{z}}\cos {\sqrt {z^{2}-2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),}
1
z
sin
z
2
+
2
z
t
=
∑
n
=
0
∞
(
−
t
)
n
n
!
y
n
−
1
(
z
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{z}}\sin {\sqrt {z^{2}+2zt}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-t)^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).}
Sferne Hankelove funkcije h n [ uredi | uredi izvor ]
Postoji i sferni analog Hankelovih funkcija, koje su kombinacija sfernih Beselovih funkcija:
h
n
(
1
)
(
x
)
=
j
n
(
x
)
+
i
y
n
(
x
)
{\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+iy_{n}(x)\,}
h
n
(
2
)
(
x
)
=
j
n
(
x
)
−
i
y
n
(
x
)
.
{\displaystyle h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\,}
Pojavljuju se u sfernim problemima rasprostiranja talasa, kao npr. prilikom multipolnoga razvoja elektromagnetskoga talasa.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 .