Sferni harmonici u matematici predstavljaju ugaoni deo rešenja Laplasove jednačine u sfernim koordinatama.
Sferne harmonike je prvi 1782. uveo Pjer Simon Laplas, a oblika su:
i rešenje su jednačine:
Laplasova jednačina u sfernim koordinatama ima oblik:
Jednačinu rešavamo separacijom varijabli pretpostavljajući rešenje oblika:
Separacijom varijabli dobija se:
Množeći sa i deleći sa dobija se:
odnosno dobijaju se dve jednačine:
Ugaona jednačina
može dalje da se separira po dve varijable:
Odatle se dobija:
tj. dve jednačine:
Rešenje prve jednačine je:
Da bi druga jednačina imala rešenje mora biti zadovoljeno .
Konačno za ugao dobija se jednačina:
Uvedemo li supstituciju dobija se:
- <
odnosno jednačina čije rešenje su pridruženi Ležandrovi polinomi .
Sada treba da normiramo ta rešenja uz pomoć pa dobijamo:
Isto tako treba da se normira i po drugom uglu , pa se dobija:
- .
Zajedničko ugaono rešenje je onda upravo funkcija, koju nazivamo sferni harmonik:
Sferni harmonici su ortogonalni:
- .
Zadovoljavaju relaciju potpunosti:
Osim toga u slučaju transformacija vredi:
Integral tri sferna harmonika dat je preko 3-jm simbola:
gde su , and celi brojevi.
Pretpostavimo da su dva jedinična vektora i predstavljena u sfernim kordinatama odnosno . Ugao između dva vektora je onda:
Adiciona teorema za sferne harmonike je:
Za slučaj kada se radi o istom vektoru dobija se:
Razvoj po sfernim harmonicima[uredi | uredi izvor]
Pošto sferni harmonici čine potpun skup oprtonormalnih funkcija funkcije mogu da se razviju preko njih:
a koeficijenti su:
Tabela nekih sfernih harmonika[uredi | uredi izvor]
Prvih nekoliko sfernih harmonika
Ylm
|
l = 0
|
l = 1
|
l = 2
|
l = 3
|
m = -3
|
|
|
|
|
m = −2
|
|
|
|
|
m = −1
|
|
|
|
|
m = 0
|
|
|
|
|
m = 1
|
|
|
|
|
m = 2
|
|
|
|
|
m = 3
|
|
|
|
|
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
- Сферни хармоници
- Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience .
- Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9.
- Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), „On nodal sets and nodal domains on and ”, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, 57 (7): 2345—2360, ISSN 0373-0956, MR2394544
- MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press .
- Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: The application to quantum mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-43798-9. .
- Solomentsev, E.D. (2001). „Spherical harmonics”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. .
- Stein, Elias; Weiss, Guido (1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9. .
- Unsöld, Albrecht (1927), „Beiträge zur Quantenmechanik der Atome”, Annalen der Physik, 387 (3): 355—393, Bibcode:1927AnP...387..355U, doi:10.1002/andp.19273870304 .
- Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, str. 392 .
- E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0104-3.
- C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. ISBN 978-3-540-03600-5.
- E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3.
- J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X
- Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
- Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 6.7. Spherical Harmonics”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
- D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4