Tačka (geometrija)

Tačka je jedan od osnovnih pojmova geometrije kojim se označava beskonačno mali objekat bez dužine ili zapremine. Da bi se tačka definisala, potrebno je znati samo njeno mesto u prostoru, a ona sama se smatra osnovnim elementom od koga je prostor sačinjen. Predstavlja mesto preseka bilo koje dve linije u ravni.Prave i duži su neprekidni skupovi tačaka (shodno tome, mesto gde se seku dve prave je tačka), ravan neprekidan skup pravih itd. Po konvenciji, imena tačaka su velika slova latinice, a na crtežima se obeležavaju malim krugovima pored kojih se ova imena upisuju.

Preciznije, u Euklidskoj geometriji, tačka je primitivni pojam na kojem je izgrađena geometrija, što znači da tačka ne može biti definisana u smislu prethodno definisanih objekata. Odnosno, tačku definišu samo neka svojstva, koja se nazivaju aksiomima, i koja ona mora da zadovolji. Konkretno, geometrijske tačke nemaju nijednu dužinu, površinu, zapreminu ili bilo koji drugi dimenzioni atribut. Uobičajeno tumačenje je da koncept tačke treba da obuhvati pojam jedinstvene lokacije u Euklidskom prostoru.

Tačke u Euklidovoj geometriji

Konačan skup tačaka (plava) u 2D Euklidskom prostoru.

Tačka u euklidovoj geometriji nema veličinu, pravac, smer, niti bilo koju drugu osobinu sem položaja. Na početku I knjige Euklidovih Elemenata stoje sledeće definicije:

Definicija 1

Tačka je ono što nema delova.

Definicija 3

Krajevi linije su tačke.

U traženju primata linije i tačke, Euklid navodi da je tačka osnovna, a linija je ono što sadrži tačke, dok Aristotel radije uzima liniju za osnovu, a tačka je ono što je na krajevima linije.

Međutim postoje različiti prevodi i interpretacije Euklidove definicije, među kojima i sledeće: „Tačka je ono što nema pružanje“ kao najbolji prevod, ali nedovoljno jasan današnjem čitaocu originalne rečenice

ά Σημετόν έστιν, οϋ μέρος ούθέν

Definicija „Tačka je ono što nema meru“ ne bi bila dobra jer tačka ima svoj položaj, a to jeste nekakva mera dužine (udaljenost od neke referentne tačke).

U današnjem jeziku je najprisutnija i terminologiji najbliža sledeća definicija, u smislu interpretacije Euklida

„Tačka je ono što nema dimenzije“.

Tačke, posmatrane u okviru Euklidske geometrije, su jedan od najtemeljnijih objekata. Euklid je prvobitno definisao tačke kao „ono što nema dela”. U dvodimenzionalnom Euklidskom prostoru, tačka je predstavljena uređenim parom (x, y) brojeva, gde prvi broj konvencionalno predstavlja horizontalu i često se označava x, a drugi broj konvencionalno predstavlja vertikalu i često se označava y. Ova ideja je lako generalizovana za trodimenzionalni Euklidski prostor, gde je tačka predstavljena kao uređena trojka (x, y, z) sa dodatnim trećim brojem koji označava dubinu i često se označava z. Daljne generalizacije su predstavljene kao uređeni tuplet n uslova, (a₁, a₂, … , a_n), gde je n dimenzija prostora u kojem se tačka nalazi.

Mnoge konstrukcije unutar euklidske geometrije sastoje se od neograničene kolekcije tačaka koje su u skladu sa određenim aksiomima. To se obično predstavlja skupom tačaka; Kao primer, linija je neograničen skup tačaka oblika $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$, gde su c₁ kroz c_n i d konstante i n je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koje definišu ravan, linijski segment i ostale slične koncepte. Usput, degenerisani linijski segment se sastoji od jedne tačke.

U dodatku sa definisanjem tačaka i oblika vezanih za tačke, Euklid je takođe uzeo kao istinito ključnu ideju o tačkama; tvrdio je da bilo koje dve tačke mogu biti povezane pravcem. Ovo se lako potvrđuje pod modernom ekspanzijom Euklidske geometrije, te ima trajne posledice na svom predstavljanju, dopuštajući konstrukciju skoro svih geometrijskih koncepata vremena. Ipak, Euklidovi postulati tačaka nisu ni kompletni niti definitivni, jer je povremeno pretpostavljao činjenice o tačkama koje nisu sledile direktno iz njegovih aksioma, poput redanja tačaka na liniju ili postojanje posebnih tačaka. Uprkos tome, moderne ekspanzije sistema služe za uklanjanje ovih pretpostavki.

Dimenzija tačke

Postoji nekoliko neekvivalentnih definicija dimenzije u matematici. U svim opštim definicijama, tačka je 0-dimenzionalna.

Tačke u Kartezijanskoj geometriji

Lokacija tačke u prostoru može biti opisana sa tri realna broja koji predstavljaju koordinate u trodimenzionalnom prostoru. Na primer:

P = (2,6,9).

Na ovaj način tačka se može opisati i u višedimenzionalnom prostoru. Opis tačke je sličan opisu vektora koji takođe može da postoji u višedimenzionalnom prostoru. Razlika između vektora i tačke je u tome što vektor ima i pravac i dužinu, zato se podrazumeva da je početna tačka vektora (0,0,0).

Tačka u prostoru dimenzije 2 ili veće

Svaka tačka koja pripada prostoru dimenzije n se da predstaviti sa jednom uređenom n-torkom skalara, koji pripadaju polju skalara nad kojim je izgrađen prostor a predstavljaju njene koordinate u tom prostoru. Tako bi na primer tačka P iz Eⁿ bila predstavljena kao P=(P₁,P₂,...,P_n) pri čemu su P_i iz E, i=1,..,n.

Rastojanje između dve tačke

Rastojanje između dve tačke iz prostora Eⁿ se u euklidovoj geometriji definiše kao zbir kvadrata razlika njihovih koordinata. Na primer:

$A=(A_{1},\dots ,A_{n}),B=(B_{1},\dots ,B_{n})\in E^{n}$

$d(A,B)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{(A_{i}-B_{i})}^{2}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}$

Dimenzija vektorskog prostora

Glavni članak: Dimenzija vektorskog prostora

Dimenzija vektorskog prostora je maksimalna veličina linearno nezavisnog podskupa. U vektorskom prostoru koji se sastoji od jedne tačke (koja ne smije biti nulti vektor 0), ne postoji linearno nezavisan podskup. Nulti vektor nije po sebi linearno nezavisan, jer postoji netrivijalna linearna kombinacija koja ga čini nulom: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Topološka dimenzija

Topološka dimenzija topološkog prostora X je definisana da bude minimalne vrednosti n, takva da je svaki ograničeni otvoreni interval ${\mathcal {A}}$ od X priznaje ograničen otvoreni interval ${\mathcal {B}}$ od X koji rafinira ${\mathcal {A}}$ u kojem se tačka ne nalazi u više od n+1 elemenata. Ako takav najmanji n ne postoji, za prostor se kaže da je od beskonačno-pokrivene dimenzije.

Tačka je nulte dimenzije sa poštovanjem pokrivenosti dimenzije, jer svaki otvoreni interval prostora ima rafiniranje koje se sastoji od jednog otvorenog skupa.

Hausdorfova dimenzija

Neka je X metrički prostor. Ako je S ⊂ X i d ∈ [0, ∞), d-dimenzionalni Hausdorfov sadržaj od S je infimum skupa brojeva za δ ≥ 0 takvih da postoji neka (indeksirana) kolekcija loptica $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ koje pokrivaju S sa r_i > 0 za svaki i ∈ I koji zadovoljava $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$.

Hausdorfova dimenzija X je definisana sa

$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$

Tačka ima Hausdorfovu dimenziju 0, jer može biti pokrivena samo jednom loptom proizvoljno malog radijusa.

Geometrija bez tačaka

Iako je ideja tačke generalno smatrana temeljem u standardnoj geometriji i topologiji, postoje neki sistemi koji su je zaboravili, npr. nekomutativna geometrija i topologija bez tačke. Besmisleni i bez-tačke prostor nije definisan kao skup, nego preko neke strukture (algebarske ili logične respektivno), što izgleda kao dobro poznata funkcija prostora u skupu: algebra neprekidnih funkcija ili algebra skupova respektivno. Preciznije, takve strukture generalizuju dobro poznate prostore funkcija u smislu da operacija „uzima vrednost na ovoj tački” može da ne bude definisana. Dalja tradicija počinje iz nekih knjiga autora A. N. Vajthed u kojima je pojam regije pretpostavljen kao primitiv zajedno sa onim iz inkluzije ili konekcije.

Masa tačaka i Dirakova delta funkcija

Glavni članak: Dirakova delta funkcija

Često u fizici i matematici, korisno je zamišljati kao da ima nenultu masu ili naboj (ovo je posebno često u elektromagnetizmu, gde su elektroni idealizovani kao tačke sa nenultim nabojem). Dirakova delta funkcija, ili δ funkcija, jeste (neformalno) generalizovana funkcija realne brojne linije koja je nula svuda osim u nuli, sa integralom jednog na celoj realnoj liniji. Delta funkcija se ponekad smatra kao beskonačno visoka, beskonačno tanak špic na izvoru, sa ukupnom površinom jedan ispod špica, te fizikalno predstavlja idealiziranu tačkastu masu ili tačkasti naboj. Prvi put je objavljena od strane teoretskog fizičara Pola Diraka. U kontekstu obrade signala često se označava kao jedinični impulsni simbol (ili funkcija). Njen diskretni analog je Kroneker delta funkcija koja se često definiše na ograničenom domenu i uzima vrednosti 0 i 1.

Napomene

• ^ Anton Bilimović, Euklidovi Elementi, Prva knjiga, SANU, 1949

Literatura

• Ohmer, Merlin M. (1969). Elementary Geometry for Teachers. Reading: Addison-Wesley. str. 34–37. OCLC 00218666. 
• Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
• Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
• Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
• Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
• Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.
• Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paris: Hermann, MR 0345092 
• Munkres, James R. (2000). Topology (2nd izd.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2. 
• Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) . ISBN 0-201-58701-7. 
• Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
• A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. . ISBN 0-521-20515-8. 
• V. V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin . ISBN 3-540-18178-4.  .
• Gannon, Terry (2006), Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics, ISBN 0-521-83531-3 
• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd izd.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Dodson, M. Maurice; Kristensen, Simon (12. 6. 2003). „Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation”. Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 72. str. 305—347. Bibcode:2003math......5399D. ISBN 9780821836378. S2CID 119613948. arXiv:math/0305399 . doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. 
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (1948). Dimension Theory. Princeton University Press. 
• E. Szpilrajn (1937). „La dimension et la mesure”. Fundamenta Mathematicae. 28: 81—9. 
• Marstrand, J. M. (1954). „The dimension of cartesian product sets”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 50 (3): 198—202. Bibcode:1954PCPS...50..198M. doi:10.1017/S0305004100029236. 
• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8. 
• Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000), Mathematical Methods for Physicists (5th izd.), Boston, Massachusetts: Academic Press, ISBN 978-0-12-059825-0 
• Dirac, Paul (1930), The Principles of Quantum Mechanics (1st izd.), Oxford University Press .

Spoljašnje veze

• Weisstein, Eric W. „Point”. MathWorld. 
• Definition of Point with interactive applet
• Points definition pages, with interactive animations that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare