Teorema o zatvorenom grafiku

U matematici, teorema o zatvorenom grafiku je temeljni rezultat klasične funkcionalne analize, koji karakteriše neprekidna linearna preslikavanja između Banahovih prostora svojstvima njihovih grafika.

Iskaz

Grafik ma kog preslikavanja A : X → Y se definiše kao { (x,Ax) ∈ X×Y | x ∈ X }.

Teorema o zatvorenom grafiku glasi:

Neka su X i Y Banahovi prostori i A : X → Y svugde definisano linearno preslikavanje (tj. domen D(A) je ceo prostor X). Tada je A neprekidno ako i samo ako je zatvoreno, odnosno, ako je njegov grafik zatvoren u X×Y (sa topologijom proizvoda).

Uslov da je A svugde definisano je neophodan jer postoje zatvorena neograničena linearna preslikavanja. Uobičajeni dokaz teoreme o zatvorenom grafiku koristi teoremu o otvorenom preslikavanju.

Dokaz

Neka su p₁ : X×Y → X i p₂ : X×Y → Y projekcije na X i Y; one su neprekidne po definiciji topologije proizvoda. Pretpostavimo prvo da je A neprekidno preslikavanje i (x_n,Ax_n) niz tačaka na grafiku G(A) koje konvergiraju nekoj tački (x,y) ∈ X×Y. Prema neprekidnosti projekcija je

x_n = p₁(x_n,Ax_n) → p₁(x,y) = x     i     Ax_n = p₂(x_n,Ax_n) → p₂(x,y) = y.

Prema neprekidnosti preslikavanja A je sa druge strane Ax_n → Ax. Stoga je y = Ax, te je (x,y) ∈ G(A). To dokazuje da je G(A) zatvoren skup.

Glavni deo tvrđenja je obrnuti stav, da zatvorenost grafika G(A) povlači da je preslikavanje A neprekidno. G(A), kao zatvoren vektorski potprostor Banahovog prostora X×Y i sam Banahov. p₁|_G(A) : G(A) → X je bijektivno neprekidno linearno preslikavanje između Banahovih prostora, te je prema teoremi o otvorenom preslikavanju i otvoreno. Stoga je neprekidno njemu inverzno preslikavanje ${\tilde {A}}:x\mapsto (x,Ax)$, a samim tim i $A=p_{2}\circ {\tilde {A}}$.

Uslov da je grafik preslikavanja A zatvoren podskup proizvoda X×Y ekvivalentan je iskazu da

ako je {x_n} niz u X takav da x_n → x i Ax_n → y, tada je y=Ax.

Prema teoremi o zatvorenom grafiku, za linearno preslikavanje A između Banahovih prostora X i Y, ovo je ekvivalentno sa uslovom neprekidnosti:

ako je {x_n} niz u X takav da x_n → x, tada i Ax_n → Ax.

Opštiji oblik

U kontekstu topoloških vektorskih prostora, teorema o zatvorenom grafiku ima sledeći opštiji oblik:

Linearno preslikavanje iz bačvastog prostora X u Frešeov prostor Y je neprekidno ako i samo ako je njegov grafik zatvoren u X×Y sa topologijom proizvoda.