Ubrzanje

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Ubrzanje
Gravity gravita grave.gif
U odsustvu otpora vazduha i stoga krajnje brzine, padajuća lopta bi nastavila da ubrzava.
Uobičajeni simboli
a
SI jedinica m/s2, m·s−2, m s−2

Ubrzanje ili akceleracija u fizici opisuje kako se menja brzina kretanja.[1] U svakodnevnom govoru iste reči opisuju kako se menja brzina odvijanja bilo kakvog procesa; međutim, tu pojam nije precizno definiran nego samo podrazumeva povećavanje brzine (npr. „treba ubrzati postupak...“).

U fizici je ubrzanje vektorska veličina koja se dobija deriviranjem brzine po vremenu (koja je takođe vektor). U nekim situacijama, međutim, koristi se reč ubrzanje da označi samo iznos vektora ubrzanja, ako je iz konteksta jasno o čemu se radi, npr. kod kretanja po pravcu.[2]

Najjednostavnije je opisivati ubrzanje i brzinu kretanja tačke. Takav se opis odnosi i na tela kojima su dimenzije zanemarivo male (čestice) i na čvrsta tela koja ne rotiraju, tj. kreću se samo translacijski. Ako telo još i rotira, njegove različite tačke imaju različita ubrzanja. Tada se pojam ubrzanje tela odnosi na ubrzanje njegovog centra masa (a kaže se još da je to translacijsko ili linearno ubrzanje), a usto se još razmatra i ugaono ubrzanje.[3][4]

U ovom tekstu opisuje se samo ubrzanje tačke (čestice), tj. samo translacijsko ubrzanje.

Formalna definicija[uredi]

Ubrzanje je derivat brzine po vremenu:[5]

.

Simbol označava ubrzanje (a je prvo slovo reči akceleracija koja je latinskog porekla), simbol označava brzinu; i jedna i druga veličina su funkcije vremena t (što se podrazumeva, pa se ne mora eksplicitno navesti). Ubrzanje opisuje kako se brzo i u kom smeru menja brzina u pojedinom trenutku. Budući da je brzina vektorska veličina koja može menjati i iznos i smer, ubrzanje istovremeno opisuje i jednu i drugu promenu. No, one se mogu razdvojiti tako da se zasebno posmatraju tangencijalno i normalno ubrzanje (definisani kasnije u tekstu).

Analiza kretanja u dinamici često polazi od Drugog Njutnovog aksioma, koji (u nerelativističkoj aproksimaciji) glasi suma sila jednaka je umnošku mase i akceleracije (tj. ). Odatle se, iz sila koje deluju na materijalnu česticu, direktno dobija njena akceleracija. Potom se iz akceleracije brzina čestice računa integriranjem:

gde je brzina u trenutku (tzv. početna brzina). (A potom se iz brzine može odrediti jednačina putanje ili pređeni put. Ako se umesto materijalne tačke posmatra telo, navedena razmatranja odnose se na kretanje njegovog centra masa.)

Prosečno i trenutno ubrzanje[uredi]

Za gore navedenu definiciju ponekad se kaže da opisuje trenutno ili pravo ubrzanje. Ti se termini koriste (umesto jednostavnog naziva ubrzanje) kada se želi naglasiti razlika u odnosu na prosečno ili srednje ubrzanje , koje se definiše kao odnos promene brzine i vremenskog intervala u kojem se brzina promenila:

gde simbol označava promenu, tj. razliku između kasnije i ranije vrednosti. Tu je promena brzine od trenutka do trenutka , dok je vremeski interval (proteklo vreme) između ta dva trenutka.

Tokom posmatranog vremenskog intervala tačka (ili telo) je mogla kojekako ubrzavati i usporavati svoje gibanje, pa će se istim postupkom dobiti različita prosečna ubrzanja u kraćim vremenskim podintervalima, što ograničava upotrebnu vrednost prosečnog ubrzanja na zadati vremenski interval (i njegov zadani početni trenutak).

Nasuprot tome, „pravo“ ubrzanje („trenutno“) ne zavisi od vremenskog intervala jer se dobija njegovim zamišljenim skraćivanjem na „beskonačno mali interval“ oko pojedinog trenutka. Postupak se generalno (u različitim primenama) naziva graničnim prelazom i definiše pojam derivacije. Trenutno ubrzanje je derivacija brzine po vremenu, tj. „granična vrednost“ (limes, simbol lim) odnosa promene brzine i pripadnog vremenskog intervala kada vremenski interval „teži“ prema nuli:

.

Definicija promena brzine u jedinici vremena[uredi]

Najjednostavnija definicija ubrzanja, koja je dobro polazište za razumevanje pojma, jeste uobičajena definicija: ubrzanje je promena brzine u jedinici vremena. Pritom se obično posmatra pravolinijsko kretanje, pa se reč brzina odnosi samo na iznos brzine (jer ne menja smer), a i reč ubrzanje samo na iznos ubrzanja. Takva definicija vrlo nepotpuno opisuje ubrzanje: to je samo broj koji je jednak prosečnom iznosu ubrzanja u toj jedinici vremena.

Međutim ako se promatra jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje, kod kojega se iznos ubrzanja ne menja, onda je on zaista jednak prosečnom iznosu, i računa se tako da se promena brzine podeli s vremenom. Npr. ako za 3 sekunde brzina naraste s 5 m/s na 17 m/s, ukupna promena je 12 m/s, a ubrzanje se dobija delenjem (12 m/s) : (3 s) = 4 m/s2, i označava da brzina naraste za 4 m/s svake sekunde. Odatle se vidi i da je metar u sekundi na kvadrat (m/s2) merna jedinica za ubrzanje u SI sistemu.

Tangencijalno i normalno ubrzanje[uredi]

Rastavljanje sile i ubrzanja na tangencijalnu i normalnu komponentu

U svakoj tački proizvoljno zakrivljene putanje neke materijalne čestice može se njezino ubrzanje rastaviti na dve komponente: na tangencijalno ubrzanje koje je paralelno s tangentom na putanju, i na normalno ubrzanje koje je u smeru normale na putanju. Na skici desno prikazano je u gornjem delu ukupno ubrzanje (i sila koja ga uzrokuje), a u donjem delu to ubrzanje rastavljeno je na tangencijalnu i normalnu komponentu (kao i sila). Prikazane su i tangenta i normala (t i n) kao koordinatne ose: tangenta je u smeru brzine , a normala je okomita na tangentu, leži u ravnini koju određuju brzina i ukupno ubrzanje, i usmerena je prema „udubljenom“ delu putanje. (Uobičajeno korištenje istog slova t i za tangentu i za vreme ne bi smelo dovesti do zabune: ono se u tekstu odnosi na tangentu samo ako je indeks tangencijalnog vektora ili komponente.)

Tangencijalno ubrzanje opisuje kako se brzo menja iznos brzine:

.

Tu je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja, dok je iznos brzine.

Normalno ubrzanje opisuje kako se brzo menja smer brzine:

.

Tu je skalarna normalna komponenta ubrzanja, je iznos brzine, dok je radijus zakrivljenosti putanje u posmatranoj tački.

Na skici su prikazane vektorske komponente, a u gornjem tekstu se koriste skalarne komponente. Odnos između njih i ukupnog ubrzanja je sledeći:

.

Tu je jedinični vektor u smeru tangente (dakle, i u smeru brzine), dok je jedinični vektor u smeru normale (jedinični vektori imaju iznos jednak 1). Kada se skalarna komponenta pomnoži s jediničnim vektorom, dobije se vektorska komponenta, npr. .

Za razumevanje uloge komponenti ubrzanja korisno je razmotriti njihovu vezu sa silama na temelju Drugog Njutnovog zakona. Ako je ukupna (rezultantna) sila koja deluje na česticu, ona joj daje ubrzanje u smeru sile prema formuli . Temeljno svojstvo vektora je da među njihovim komponentama na pojedinoj osi koordinatnog sistema vrede isti odnosi (jednačine) kao i među samim vektorima. To znači da tangencijalna sila daje tangencijalno ubrzanje, a normalna sila daje normalno ubrzanje (kao na skici).

Odatle se lako razume zašto tangencijalno i normalno ubrzanje imaju gore navedeni smisao. Tangencijalna sila deluje u smeru brzine (ili u suprotnom smeru); dakle, ona povećava iznos brzine (ili ga umanjuje). Zato tangencijalno ubrzanje opisuje promenu iznosa brzine (povećanje ili umanjenje). Dakle, nema razloga da se te tangencijalne komponente dovode u vezu s promenom smera brzine.

Nasuprot tome, normalna sila okomita je na brzinu: ona ne povećava brzinu jer ne vuče nimalo prema napred, niti umanjuje brzinu jer ne vuče nimalo prema nazad. A ipak menja brzinu jer daje čestici ubrzanje (normalno ubrzanje). Budući da nema promene iznosa brzine, očito je da to mora biti promena smera brzine.

Formalni izvod[uredi]

Formule za tangencijalno i normalno ubrzanje mogu se dokazati deriviranjem brzine ako se ona prikaže kao umnožak iznosa i jediničnog vektora

.

Jedinični vektor tangente ima smer brzine, i može se dobiti tako da se brzina podeli sa svojim iznosom (zato što je njegov iznos jednak 1). Deriviranjem gornjeg izraza za brzinu, prema pravilu deriviranja umnoška, dobije se:

.

Odmah se vidi da levi sabirak izgleda kao ranije definisana tangencijalna komponenta ubrzanja. Međutim, da bi se to dokazalo, treba pokazati da je desni sabirak jednak normalnoj komponenti ubrzanja. U tu svrhu treba objasniti što se dobija derivisanjem jediničnog vektora u desnom sabirku.

Derivacija jediničnog vektora[uredi]

Derivacija jediničnog vektora

Derivacija bilo kojeg jediničnog vektora mora biti okomita na njega, kako se vidi iz skice desno, koja prikazuje promenu nekog jediničnog vektora u vremenskom intervalu . Na skici je ta promena približno okomita na jedinični vektor, a u graničnom prelazu kada vremenski interval teži nuli (kad se računa derivacija), promena postaje tačno normalna na jedinični vektor (i to u smeru njegova zakretanja). Iznos derivata dobije se tako da se iznos promene podeli s i sprovede granični prelaz u kojem vremenski interval teži nuli. Na skici se vidi da je iznos promene približno jednak dužini kružnoga luka koji prekriva, a u graničnom prelazu postaju tačno jednaki. Dužina tog dela kružnoga luka jednaka je uglju zakreta kako sledi iz definicije ugla u radijanima (luk kroz poluprečnik), budući da je iznos poluprečnika jednak 1 (iznos jediničnog vektora). Dakle, iznos derivata jediničnog vektora je granična vrednost , a to je iznos ugaone brzine zakretanja jediničnog vektora .

Odatle se vidi da desni sabirak gornje jednačine za ubrzanje ima smer jediničnog vektora normale te da ima iznos . To je, dakle, doista normalna komponenta ubrzanja, i ona ima oblik:

.

Analogija s kružnim kretanjem[uredi]

Kod kružnog kretanja iznos kutne brzine jednak je odnosu iznosa brzine i poluprečnika kružnice, . Tu ugaona brzina opisuje zakretanje poluprečnika (radijus vektora) povučenog do tačke koja se kreće po kružnici. Međutim, ista ugaona brzina opisuje i zakretanje vektora brzine tačke, jer je taj vektor stalno normalan na poluprečnik kružnice. Zato se normalna komponenta ubrzanja može izraziti preko iznosa brzine i poluprečnika: .

Po analogiji s kružnim kretanjem, i kod kretanja po kružnici opisuje se zakretanje vektora brzine pomoću iznosa brzine, i to relacijom . Ta relacija zapravo definiše poluprečnik zakrivljenosti krive u posmatranoj tački. Poluprečnik zakrivljenosti krive je poluprečnik tzv. dodirivajuće kružnice, a to je kružnica koja najbolje prianja uz krivu u toj tački (imaju jednaku zakrivljenost). Definisanje poluprečnika zakrivljenosti omogućuje da se normalna komponenta ubrzanja na krivoj izrazi na sličan način kao na kružnici:

.

Alternativni geometrijski izvod[uredi]

Rastavljanje promene brzine na tangencijalnu i normalnu komponentu

Prethodni izvod orijentiran je na matematičku korektnost i potpunost, pa mu zato nedostaje neposredni geometrijski aspekt. Na skici desno, međutim, jasno je prikazano kretanje tačke po krivoj tako da se vide vektori položaja i brzine na početku i na kraju vremenskog intervala (leva strana skice), kao i promena brzine na desnoj strani skice. Pritom je promena brzine rastavljena na tangencijalnu i normalnu komponentu:

.

Ubrzanje je derivat brzine po vremenu, tj. granična vrednost odnosa promene brzine i pripadnog vremenskog intervala kada vremenski interval teži nuli:

.

I bez punog matematičkog formalizma, može se razumeti kako levi sabirak daje tangencijalnu komponentu, a desni normalnu komponentu ubrzanja. Iz skice je očito da samo menja iznos brzine (u prikazanom primeru povećava brzinu). Smer brzine menja samo komponenta , ali ona malo doprinosi i promeni iznosa, jer prevodi katetu pravouganog trougla u hipotenuzu . Međutim, kada u graničnom prelazu teži prema nuli (kod proračuna ubrzanja), taj pravougaoni trougao postaje jednakokrak, pa menja samo smer vektora brzine.[6]

Odatle je jasno da je skalarna tangencijalna komponenta ubrzanja jednaka derivatu iznosa brzine po vremenu - te da je pozitivna kad se brzina povećava, a negativna kad se brzina umanjuje. Skalarna normalna komponenta ubrzanja uvek je pozitivna, jer se brzina zakreće u smeru normale. Njezin iznos, međutim, određuje se na temelju gornjeg formalnog izvoda, ili na temelju analize kružnog kretanja. (Ipak, i sa skice se razabire da taj iznos treba biti jednak , zato što je iznos približno jednak umnošku iznosa brzine i ugla njenog zakretanja.)

Tangencijalno i centripetalno ubrzanje[uredi]

Oscilujuće klatno, sa obeleženom brzinom i ubrzanjem. Ono doživljava tangencijalno i centripetalno ubrzanje.
Komponente ubrzanja za krivolinijsko kretanje. Tangencijalna komponenta at je usled promene brzine kretanja, i tačke duž krive su u pravcu vektora brzine (ili u suprotnom smeru). Normalna komponenta (ili centripetalna komponenta kod kružnog kretanja) ac je usled promene smera vektora brzine i normalna je na trajektoriju, sa smerom ka centru zakrivljenja puta.

Brzina čestice koja se kreće na zakrivljenom putu kao funkcija vremena se može zapisati kao:

gde je v(t) jednako brzini duž puta, a

je jedinična vektorske tangenta na putu, koja je usmerena u pravcu kretanja datog momenta. Uzimajući u obzir promenu brzine v(t) i promenu smera ut, ubrzanje čestice koja se kreće duž zakrivljenog puta se može zapisati koristeći lančano pravilo diferencijacije[7] za proizvod dve funkcije vremena kao:

gde je un jedinica normalnog vektora na trajektoriji čestice (koja se takođe naziva principalnom normalom), i r je njen trenutni prečnik krive baziran na dodirnoj kružnici u vremenu t. Te komponente se nazivaju tangencijalnim ubrzanjem i normalnim ili radijalnim ubrzanjem (ili centripetalnim ubrzanjem kružnog kretanja, vidi takođe kružno kretanje i centripetalnu silu).

Geometrijska analiza trodimenzionalnih krivih, koja objašnjava tangencijalno, (principijalno) normalno i binormalno kretanje, je opisana Frenet–Seretovim formulama.[8][9]

Brzina i pređeni put kod promenjivog kretanja[uredi]

Da bi se izračunala brzina u nekom trenutku ubrzanog kretanja, mora se znati koliko je vremena prošlo otkad se telo počelo kretati (t) i kolika mu je brzina bila pre početka ubrzanja (v0). Brzina u nekom trenutku ubrzanog kretanja računa se po sledećoj formuli: . Oznaka za pređeni put je s. Put promenjivog kretanja bez početne brzine računa se po formuli , dok se za rešavanje puta s poznatom početnom brzinom koristi izraz .

Jednoliko ubrzano pravolinijsko kretanje je ono kretanje u kojem se neko telo kreće pravolinijski s nekom početnom brzinom v0, koja se jednako povećava u jednakim intervalima.

Put (s) kod jednoliko ubrzanog pravolinijskog kretanja preko početne brzine (v0) i ubrzanja (a), bez vremena (t), može se napisati i ovako: .

Iz ovoga proizlazi da je , pa se brzina s poznatom početnom brzinom v0 izračunava izrazom .

Naravno, za važiće: , i .

Jednoliko usporeno pravolinijsko kretanje jeste kretanje koje se odvija po određenom pravcu u nekom vremenu (t) s nekom početnom brzinom (v0), koja se jednako smanjuje u jednakim intervalima.

Brzina kod jednoliko usporenog pravolinijskog kretanja s poznatom vremenom računa se preko formule , dok se formula koristi za dobijanje brzine s poznatim putem.

Vreme zaustavljanja tela pod uticajem umereno usporenog kretanja može se naći formulom dok se put do zaustavljanja (Sz) dobija formulom .

Gravitaciono ubrzanje[uredi]

Gravitacijsko ubrzanje je ubrzanje koje telo dobija pri slobodnom padu (padu s određene tačke, bez podsticaja bilo koje druge sile osim sile Zemljine teže). To ubrzanje iznosi približno , a ono zavisi od blizine određenog tela središtu Zemlje. To zavisi od geografskog položaja i nadmorske visine. U Sarajevu je gravitacijsko ubrzanje . Gravitacijsko ubrzanje označava se slovom g i pomoću njega se izračunava težinu određenog tela. G = m*g, gde je m masa tog tela, a G težina.

Drugi Njutnov zakon[uredi]

Ovaj zakon glasi: Intenzitet sile koja pokreće telo jednak je proizvodu mase tela i ubrzanja koje telo dobija delovanjem te sile, tj. F = m*a, gde je F sila koja pokreće telo i daje mu ubrzanje, m masa tog tela i a ubrzanje koje telo dobija delovanjem te sile. Pošto je jedinica za silu 1 Njutn (N) - , a za masu 1 kg, dobijamo da je jedinica za ubrzanje .

Jednostavni slučajevi: ubrzanje na pravoj liniji i na kružnici[uredi]

Ubrzano kretanje po pravcu i jednoliko kretanje po kružnici zanimljivi su primeri zato što sadrže samo jednu od opisanih komponenati ubrzanja. Kod kretanja po pravcu, to je samo tangencijalno ubrzanje (jer brzina ne menja smer). Kod jednolikog kretanja po kružnici, to je samo normalno ubrzanje (jer brzina ne menja iznos), a ono se na kružnici naziva centripetalnim ili radijalnim ubrzanjem.

Kod jednolikog kretanja po kružnici uvodi se pojam centripetalnog ubrzanja koji i bez punog vektorskog formalizma jasno ocrtava smisao normalne komponente ubrzanja. A kod jednoliko ubrzanog kretanja po kružnici mora se - pored centripetalnog ubrzanja - uvesti i tangencijalno ubrzanje za opis promene iznosa brzine. Time je zapravo obuhvaćen glavni smisao razlaganja ubrzanja na normalnu i tangencijalnu komponentu, čak i ako se ne koristi formalni vektorski opis.

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

  1. Crew, Henry (2008). The Principles of Mechanics. BiblioBazaar, LLC. str. 43. ISBN 0-559-36871-2. 
  2. Serway, Raymond A.; Vuille, Chris; Faughn, Jerry S. (2008). College Physics, Volume 10. Cengage. str. 32. ISBN 9780495386933. 
  3. Bondi, Hermann (1980). Relativity and Common Sense. Courier Dover Publications. str. 3. ISBN 0-486-24021-5. 
  4. Lehrman, Robert L. (1998). Physics the Easy Way. Barron's Educational Series. str. 27. ISBN 0-7641-0236-2. 
  5. Young H. D., Freedman R. A., Sears and Zemansky University Physics, Addison-Wesley, San Francisco (2004)
  6. I. Levanat: Fizika za TVZ - Kinematika i dinamika Tehničko veleučilište u Zagrebu (2010)
  7. „Chain Rule”. 
  8. Andrews, Larry C.; Phillips, Ronald L. (2003). Mathematical Techniques for Engineers and Scientists. SPIE Press. str. 164. ISBN 0-8194-4506-1. 
  9. Ch V Ramana Murthy; Srinivas, NC (2001). Applied Mathematics. New Delhi: S. Chand & Co. str. 337. ISBN 81-219-2082-5. 

Literatura[uredi]

  • Crew, Henry (2008). The Principles of Mechanics. BiblioBazaar, LLC. str. 43. ISBN 0-559-36871-2. 
  • Landau, L. D., Lifšic, E. M. Mehanika. — Izdanie 5-e, stereotipnoe. — M.: Fizmatlit, 2004. — 224 s. — (Teoretičeskaя fizika, tom I). —. ISBN 5-9221-0055-6.
  • Cassidy, David C.; Gerald James Holton; F. James Rutherford (2002). Understanding physics. Birkhäuser. ISBN 978-0-387-98756-9. 
  • Pauli W. (1981). Theory of Relativity. Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. 
  • Aaboe, A. (1991). „Mesopotamian Mathematics, Astronomy, and Astrology”. The Cambridge Ancient History. Volume III (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-22717-9. 
  • Allen, D. (10. 4. 1997). „Calculus”. Texas A&M University. Pristupljeno 1. 4. 2014. 
  • Grupen, Klaus (10. 6. 1999). „Instrumentation in Elementary Particle Physics: VIII ICFA School”. AIP Conference Proceedings. 536: 3—34. arXiv:physics/9906063Slobodan pristup. doi:10.1063/1.1361756. 
  • Guicciardini, N. (1999). Reading the Principia: The Debate on Newton's Methods for Natural Philosophy from 1687 to 1736. New York: Cambridge University Press. 

Spoljašnje veze[uredi]