Fraktalna dimenzija

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

Fraktalna dimenzija je odnos koji obezbeđuje statistički indeks kompleksnosti u poređenju kako detalj u obrascu ( strogo govoreći, fraktal obrazac ) se menja sa skalom na kojoj se meri . Takođe je okarakterisan kao mera kapaciteta prostora popunjavanjem jednog obrasca koji govori o tome kako fraktal vage za razliku od prostora koji je ugrađen u ; fraktal dimenzija ne mora da bude ceo broj .[1][2][3]

Suštinska ideja " Slomljene " dimenzije ima dugu istoriju u matematici , ali sam termin je doveden u prvi plan kod Benoita Mandelbrota na osnovu njegovog papira 1967 na temi samosličnosti u kojem je razgovarano o fraktalnim dimenzijama.[4] U tom papiru , Mandelbrot navodi prethodni rad Levis Fri Richardsona opisujući kontra- intuitivno shvatanje da izmeri dužinu promene obalukoristeći  dužinu mernog štapa (vidi sl. 1 ). U smislu toga pojam je Fraktalna dimenzija od obale kvantifikuje kako se broj skaliranih mernih štapova neophodnih za merenje obale izmene sa skalom primenjujući na štap.[5] Postoji nekoliko formalnih matematičkih definicija fraktalne dimenzije koje grade na ovom osnovnom konceptu promene u detaljima sa promenama u obimu. 

Jedan ne - trivijalan primer je fraktal dimenzija od Kohove pahulje. Ima topološku dimenziju 1 , ali nikako nije rectibiabilna kriva: dužina krive između bilo koje dve tačke na Kohovoj pahulji je beskonačna . Ne mali deo je linija slična, već se sastoji od beskonačnog broja segmenata spojenih pod različitim uglovima . Fraktalna dimenzija krive se može objasniti intuitivnim razmišljanjem o fraktalnoj liniji kao objektu suviše detaljno biti jednodimenzionalni , ali previše jednostavno da su dvodimenzionalni.[6] Zbog toga njegova dimenzija najbolje može opisati ne njegovim uobičajenim topološkim dimenzijama 1, ali po svojoj fraktalnoj dimenziji, što u ovom slučaju predstavlja broj između jedan i dva. 

Uvod[uredi]

 Slika 2. 32 - Segment kvadratnog fraktala skaliranja i posmatran kroz kutiju različitih veličina . Obrazac ilustruje samosličnost. Teorijska fraktalna dimenzija za ovaj fraktal je log32/log8 = 1.67; njegova empirijska Fraktalna dimenzija od kutije za brojanje analize je  ±1%[7] koristeći softver fraktalne dimenzije.

Fraktalna dimenzija je indeks za karakterizaciju fraktalnog obrazca ili skupa kvantifikovanje cele kompleksnosti kao odnos promene u pojedinostima na promene u skali [5] Nekoliko tipova fraktalne dimenzije mogu biti teorijska i empirijska mera ( vidi sliku 2. ) . [3][8] Fraktalne dimenzije se koriste kao karakterizacija širokog spektra u rasponu od apstraktnih[1][3] do praktičnih fenomena, uključujuči turbulencije,[5]97-104 rečne mreže,246-247 urbani rast,[9][10] ljudska fiziologija,[11][12] medicina,[8] kretanje na tržištu. [13] Suštinska ideja necelobrojne ili fraktalne dimenzije ima dugu istoriju iz matematike koji se mogu pratiti unazad do 1600-ih,[5][14] ali uslove fraktala i Fraktalnih dimenzija je skovao matematičar Benoa Mandelbrot 1975. godine.[1][2][5]19[8][13][15]

Fraktalna dimenzija je prvi put primenjena kao indeks karakteriše komplikovane geometrijske oblike za koje se činilo da su detalji važniji od bruto slike. [15] Za skupove koji opisuju obične geometrijske oblike, teorijska fraktalna dimenzija jednako poznata kao Euklidova ili topološku dimenziju skupa. Tako je 0 za opisivanje kompleta poena ( 0 dimenzionalni skupovi ) ; 1 za skupove koji opisuju linije ( 1 - dimenzionalni skupovi imaju samo dužinu ) ; 2 skupa za opisivanje površine ( 2 - dimenzionalni skupovi imaju dužinu i širinu ) ; i 3 za skupove koji opisuju količine ( 3 - trodimenzionalni skupovi imaju dužinu, širinu i visinu ) . Ali ovo se menja za fraktalne skupove. Ako je teorijski fraktalna dimenzija skupa veća od topološke dimenzije, skup se smatra da ima fraktalnu geometriju .  [16]

Za razliku od topoloških dimenzija, fraktal indeks može imati ne-celobrojne vrednosti,[17] ukazujući da skup ispunjava svoj prostor kvalitativno i kvantitativno drugačije od onoga kako običan geometrijski skup radi.[1][2][3] Na primer, kriva sa fraktalnim dimenzijama veoma blizu 1 , kaže 1.10 , ponaša se baš kao obična linija, ali kriva sa fraktalnom dimenzijom 1,9 vetrovi prolazi kroz prostor skoro kao površina . Slično tome, površina sa fraktalnom dimenzijom 2,1 popunjava prostor veoma liči na običnu površinu, ali sa fraktalnom dimenzijom 2,9 nabora i teče da popuni prostor , a gotovo kao volumen.[16][notes 1]19 Ovaj opšti odnos se može videti u dve slike fraktalnih krivina u sl.2 i sl.3 - kontura 32 - segment u slici . 2 , zamršena i prostor za punjenje , ima fraktalnu dimenziju 1,67 , u odnosu na osetno manje složene Kohove krive na slici.3 , koja ima fraktalnu dimenziju 1.26. 

a Koch curve animation
Slika 3.Kohova kriva je klasična iterirana fraktalna kriva . To je teorijski konstrukt koji vrši iterativno skaliranje početnog segmenta. Kao što je prikazano , svaki novi segment se popeo za 1/3 na 4 komada novih postavljenih krajeva, sa 2 komada srednje naginje prema drugom između druga dva komada , tako da ako su trougao njena osnova će biti dužina sredini komada, tako da ceo novi segment odgovara preko tradicionalno izmerene dužine između krajnjih tačaka u prethodnom segmentu . Dok animacija pokazuje samo nekoliko iteracija , teorijska kriva se podešava na ovaj način beskonačno. Iza 6 iteracija na slici ovaj mali , detalj je izgubljena . 

 Odnos povećane fraktalne dimenzije sa prostor-punjenjem može se uzeti da znači fraktal dimenzije mere gustine, ali to nije tako; njih dvoje nisu striktno u korelaciji.[7] Umesto toga, fraktal mere dimenzija kompleksnosti, koncept vezan za određene ključne karakteristike fraktala: samosličnosti i detalja ili nepravilnosti.[notes 2] Ove osobine su evidentni u dva primera fraktalnih krivina. Oba su kriva sa topološke dimenzije 1, tako da se možemo nadati da ćemo moći da izmerimo njihovu dužinu ili nagib, kao i sa običnim linijama. Ali mi ne možemo ni od ovih stvari, jer fraktal krive imaju kompleksnost u vidu samosličnosti i detalja koje obične linije nemaju.[5] Samosličnost leži u beskonačnom skaliranju, a detalji u definisanju elemenata svakog skupa. Dužina između bilo koje dve tačke na ovoj krivoj je nedefinisana jer su krive teorijski konstruisane koje nikada ne zaustavljaju da se ponavljaju.[18] Svaki manji komad se sastoji od beskonačnog broja skaliranih segmenata koji izgledaju potpuno isto kao u prvoj iteraciji. Ovo nisu rectifilne krivine, što znači da se ne mogu meriti tako što se razlože na mnoge segmente usklađivanjem svoje dužine. Oni se ne mogu okarakterisati pronalaženjem svoje dužine ili staze. Međutim, njihove fraktalne dimenzije mogu se odrediti, što pokazuje da je prostor popunjen više od običnih linija ali manje od površina, i omogućava im da se uporede u tom pogledu.

Napominjemo da su dva fraktal krive opisana gore pokazuju tip sopstvene sličnosti koja je tačna uz ponavljajuću jedinicu detalja koji je lako vizuelizovan. Ova vrsta strukture može se proširiti i na druge prostore (npr fraktal koji proteže Kohovu krivu u 3-d prostor ima teoretski D= 2.5849). Međutim, što je uredno prebrojiva kompleksnost je samo jedan primer od samosličnosti i detalja koji su prisutni u fraktalima.[3][13] Primer obale Britanije, na primer, pokazuje samosličnost sa približno obrascima sa približnim skaliranjem.[5]26 Fraktali pokazuju nekoliko vrsta i stepena samosličnosti i detalja koji se ne mogu jednostavno videti. Među njima su, kao primer,atraktor za koje je detalj opisan kao u suštini, glatke delovi se gomilaju, [16]49Julin skup, što se vidi da je kompleks svirls na svirls, i srčani puls, koji su načini grublji šiljci ponavlja i popeo na vreme.[19] Fraktal kompleksnosti ne mora uvek biti rešiv u lako shvatljivim jedinicama detalja i skale bez složenih analitičkih metoda, ali je i dalje kvantitativno kroz fraktalne dimenzije[5]197;262

Istorija[uredi]

Termini fraktal dimenzija i Fraktal je skovao Mandelbrot 1975. [20] godine, otprilike deset godina nakon što je objavio svoj rad na samosličnosti u obal Britanije. Razne istorijske vlasti su ga kreditirale sa takođe sintezu vekova komplikovanom teorijsku matematikom i inženjerskim radovima i da ih primene na nov način proučavanja složene geometrije koji je prkosio opisu u uobičajenom linearnom smislu.[14][21][22] Najraniji koreni onoga što je Mandelbrot sintetizovao kao fraktalnu dimenziju su pratili jasni povraćaji na spisima o nerazličitim, beskrajno samosličnim funkcijama koje su važne u matematičkoj definiciji fraktala, otprilike u vreme kada račun je otkriven sredinom 1600-ih. [5]Bilo je zatišje u objavljenom radu na takvim funkcijama za vreme posle toga, onda obnova počinje u kasnim 1800 sa objavljivanjem matematičkih funkcija i skupova koji su danas zove kanonski fraktala (kao što je istoimeno delo von Koha , Sjerpinjskog, i Julija), ali u vreme njihove formulacije su često smatrni suprotnostima matematičkih "čudovišta".[14][22] Ovi radovi su u pratnji možda najviše ključnih tačka u razvoju koncepta fraktalne dimenzije kroz rad Hausdorfa ranih 1900-ih, koji je definisao "frakcionu" dimenziju koja se nadvila da bude imenovana za njim i često pozivati u definisanju modernih fraktala.[4][5][16][21] 

Vidi istoriju fraktala za više informacija

Uloga skaliranja[uredi]

Lines, squares, and cubes.
Slika 4. tradicionalni pojmovi geometrije za definisanje skaliranja i dimenzije. 

Koncept fraktalne dimenzije počiva na nekonvencionalnom pogledu na performanse i dimenzije . [23] Kako slika 4 ilustruje, tradicionalni pojmovi geometrije diktatom koji oblikuju skale predvidivo prema intuitivnim i poznatim idejama o prostoru su sadržane unutar , tako da , na primer, merenje linije koristeći prvu onda još 1/3 njene veličine merenje štapa , daće za drugi Štap ukupnu dužinu 3 puta onoliko dugo kao štapić sa prvom. Ovo važi u 2 dimenzije. Ako ponovo meri površinu kvadrata zatim meri sa kutijom dužine strane 1/3 veličine originala , jedan će naći 9 puta više kvadrata kao i prva mera . Takva poznata skala odnosa može biti matematički definisana opštim skaliranjem pravila u jednačini 1 , gde promenljiva označava broj novih štapova , za faktor skaliranja , i za fraktalnu dimenziju : 

Simbol  iznad označava proporcionalnost. Ovo pravilo skaliranja je tipično konvencionalno pravilo geometrije i dimenzija - za linije , to kvantifikuje , jer=3 kada =1/3 kao u primeru iznad, =1, i za kvadrate, zato =9 kada =1/3, =2.

A fractal contour of a koch snowflake
Slika 5. Prve četri iteracije Kohove pahulje koje imaju aproksimovanu Hausdorfovu dimenziju 1.2619

Isto pravilo važi i za fraktalnu geometriju, ali manje intuitivno . Izrada , fraktal linije merene na prvi pogled da bude jedna dužina , kada se ponovo izmeri koristeći novi štap prilagođeni po 1/3 stare ne može biti očekivano 3 , ali umesto 4 puta onoliko dugo smanjenog štapića. U ovom slučaju , N= 4 kada \epsilon= 1 / 3 , a vrednost D može se naći preuređivanjem Jednačine 1 : 

To jest , za fraktalae opisano uz pomoć=4 kada =1/3, =1.2619, dimenzija ne- celog broja koji ukazuje da fraktal ima dimenziju ne jednaku prostoru u kojem boravi.[3] Skaliranje korišćeno u ovom primeru je isto skaliranje Kohove krive i pahulje .  Važno je pomenuti da ove same slike nisu pravi fraktali , jer skaliranje opisano vrednostima D ne mogu da nastave beskonačno iz prostog razloga što slike postoje samo do tačke njihove najmanje komponente , piksel. Teorijski model koji čine digitalne slike , međutim , nema diskretne piksele poput komada , već se sastoji od beskonačnog broja beskrajno skaliranih segmenata pridruženih pod različitim uglovima i zaista ima fraktalnu dimenziju 1.2619.  [5][23]

D nije jedinstven deskriptor[uredi]

Slika 6. Dva L-sistema grananje fraktala koji su napravljeni proizvodeći 4 nova delove za svaku 1/3 samosličnosti tako da imaju iste teoretske kao Kohova kriva i zakoju su empirijska kutija brojanja koja je demonstrirana sa 2% tačnošću.[7]

Kao što je slučaj sa dimenzijama utvrđenim za linije , kvadratima i kockama , fraktal dimenzije su opšti opisi koji ne definišu jedinstvene obrasce .[23][24] Vrednost D za Kohov fraktal je gore naveden, na primer , kvantifikuju urođeno skaliranje uzorka , ali ne jedinstveno opisuju , niti pružaju dovoljno informacija da ga rekonstruišu . Mnoge fraktalne strukture ili obrasci mogu biti konstruisani koji imaju isto skaliranje vezu, a dramatično su različiti od krive Kohove , kao što je ilustrovano na slici 6

Za primer kako fraktal obrasci mogu se graditi , pogledajte fraktal, trougao Sjerpinjskog , Mandelbrotov skup , difuzija ograničene agregaciju , L - Sistem 

Primeri[uredi]

Koncept fraktalne dimenzije opisane u ovom članku je osnovni pogled na komplikovanu tvorevinu. Primeri diskutovani ovde su izabrani zbog jasnoće, i skaliranja jedinice i odnosi su bili poznati unapred. U praksi, međutim, fraktal dimenzije može se odrediti korišćenjem tehnike koja približnu performansu i detalj iz granica procenjenih od regresije linija preko logaritam protiv logaritma parcela veličina od veličine. Nekoliko formalnih matematičkih definicija različitih vrsta fraktalne dimenzije su navedeni u nastavku. Iako za neke klasične fraktale sve ove dimenzije se poklapaju, uopšte nisu ekvivalentne:

  • Informacije dimenzija: D razmatra kako je potrebno u proseku informacija koje identifikuju okupirani bok skale sa kutije veličine; p je verovatnoća.
  • Korelacija mere D se zasniva na M kao broj bodova koji se koriste za generisanje predstavljenih fraktala i ge, broj parova tačaka bliže nego ε jedni drugima.
  • Generalizovane ili Renijeve dimenzije
Kutija brojanja, informacije, i dimenzije korelacije može se posmatrati kao poseban slučaj kontinuiranog spektra generalizovanih dimenzija reda nivo α, koji su definisane:

Procena stvarnog sveta podataka[uredi]

Mnogi iz stvarnog sveta pojave ispoljavaju ograničene ili statističke fraktalne svojstva i Fraktal dimenzije koje su procenjene od uzorkovanih podataka korišćenja tehnike kompjuterske zasnovane fraktalne analze. Praktično, merenja fraktalne dimenzije su pogođena raznim metodološkim pitanjima, i osetljivi su na numeričku ili eksperimentalnu buku i ograničenja u iznosu podataka. Ipak, polje rapidno raste kao procenjeno fraktalna dimenzija za statističku samosličnu pojavu može imati mnoge praktične primene u različitim oblastima, uključujući diagnostiku slika,[27][28]fiziologiju,[11] neurologiju,[12] medicinu,[29][30][31] fiziku,[32][33] analizu slike,[34][35][36][37] akustiku, [38]Riemanovu zetu nula,[39] i elektrohemijski proces.[40]

Alternativa direktnog merenja, razmatra matematički model koji liči formiranju stvarnog svetu fraktalnog objekta. U ovom slučaju, validacija može da se uradi poređenjem osim fraktalne imovine prouzrokovanog modela, sa izmerenim podacima. U koloidnoj fizici, sistemi se sastoje od čestica sa različitim fraktalnim dimenzijama nastajanja. Da bi se opisali ovi sistemi, što je vrlo zgodno govoriti o raspodeli fraktalnih dimenzija, i na kraju, vreme evolucija potonjenih: proces koji je vođen kompleksnom međuigrom između grupisanja i koalescencije.[41]

Vidi još[uredi]

Napomene[uredi]

  1. ^ See a graphic representation of different fractal dimensions
  2. ^ See Fractal characteristics

Reference[uredi]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Falconer 2003
  2. 2,0 2,1 2,2 Sagan 1994
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Vicsek 1992
  4. 4,0 4,1 Mandelbrot, B. (1967).
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 Benoit B. Mandelbrot (1983).
  6. ^ Harte 2001
  7. 7,0 7,1 7,2 Karperien (2004).
  8. 8,0 8,1 8,2 Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F., eds. (2005).
  9. ^ Chen, Yanguang (2011).
  10. ^ "Applications" Arhivirano na sajtu Wayback Machine (октобар 12, 2007) (на језику: енглески).
  11. 11,0 11,1 Popescu, D. P.; Flueraru, C.; Mao, Y.; Chang, S.; Sowa, M. G. (2010).
  12. 12,0 12,1 King, R. D.; George, A. T.; Jeon, T.; Hynan, L. S.; Youn, T. S.; Kennedy, D. N.; Dickerson, B.; the Alzheimer’s Disease Neuroimaging Initiative (2009).
  13. 13,0 13,1 13,2 Peters 1996
  14. 14,0 14,1 14,2 Edgar 2004
  15. 15,0 15,1 Albers; Alexanderson (2008).
  16. 16,0 16,1 16,2 16,3 Mandelbrot 2004
  17. ^ Sharifi-Viand, A.; Mahjani, M. G.; Jafarian, M. (2012).
  18. ^ Helge von Koch, "On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry" In Gerald Edgar, ed. (2004).
  19. ^ Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009).
  20. ^ Albers; Alexanderson (2008). „Benoit Mandebroit: In his own words”. Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, Mass: AK Peters. стр. 214. ISBN 978-1-56881-340-0. 
  21. 21,0 21,1 Gordon 2000
  22. 22,0 22,1 Trochet, Holly (2009).
  23. 23,0 23,1 23,2 Iannaccone 1996
  24. ^ Vicsek 2001
  25. ^ http://tswww.ism.ac.jp/higuchi/index_e/papers/PhysicaD-1988.pdf
  26. ^ Jelinek, A.; Jelinek, H. F.; Leandro, J. J.; Soares, J. V.; Cesar Jr, R. M.; Luckie, A. (2008). „Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice”. Clinical Ophthalmology. 2 (1): 109—122. PMC 2698675Slobodan pristup. PMID 19668394. doi:10.2147/OPTH.S1579. 
  27. ^ Landini, G.; Murray, P. I.; Misson, G. P. (1995).
  28. ^ Cheng, Qiuming (1997).
  29. ^ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003).
  30. ^ Smith, T. G.; Lange, G. D.; Marks, W. B. (1996).
  31. ^ Li, J.; Du, Q.; Sun, C. (2009).
  32. ^ Dubuc, B.; Quiniou, J.; Roques-Carmes, C.; Tricot, C.; Zucker, S. (1989).
  33. ^ Roberts, A.; Cronin, A. (1996).
  34. ^ Al-Kadi O.S, Watson D. (2008).
  35. ^ Pierre Soille and Jean-F. Rivest (1996).
  36. ^ Tolle, C. R.; McJunkin, T. R.; Gorsich, D. J. (2003).
  37. ^ Gorsich, D. J.; Tolle, C. R.; Karlsen, R. E.; Gerhart, G. R. (1996).
  38. ^ Maragos, P.; Potamianos, A. (1999).
  39. ^ Shanker, O. (2006).
  40. ^ Eftekhari, A. (2004).
  41. ^ Kryven, I.; Lazzari, S.; Storti, G. (2014).

Literatura[uredi]

  • Mandelbrot, Benoit B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004)

Spoljašnje veze[uredi]