Funkcija (matematika)

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigaciju, pretragu
Funkcija koja preslikava obojene oblike u njihovu boju.
Grafik primera funkcije,

Funkcija ili preslikavanje je pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa koji se tada naziva domen funkcije,[1] drugom elementu iz skupa - kodomen funkcije, koji se još naziva i kontradomen funkcije, skup kopija, skup slika. Domen funkcije se često označava sa , a kodomen sa [2]

Elementi skupa nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa , a kodomen ponekad

Za zapisivanje funkcija obično se koriste neke od sledećih oznaka: , ili . Opseg, raspon, područje definicije funkcije, odnosno domen funkcije predstavlja skup vrednosti za koje funkcija dostiže vrednosti .[3]

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Definicija[uredi]

Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Pojavljuje se u većini oblasti matematike, u zavisnosti od toga šta predstavljaju domen i kodomen. Funkcija ili preslikavanje je svako pridruživanje elemenata jednog skupa, elementima drugog skupa pri čemu se svaki element prvog skupa preslikava u tačno jedan element drugog skupa.[4]

Analitička definicija[uredi]

Ako dve promenljive i stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne od njih, npr. menja i vrednost druge promenljive - , onda se promenljiva naziva funkcijom promenljive .

Funkcija može imati više promenljivih.

Definicije iz teorije skupova[uredi]

Funkcija, odnosno relacija Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice i naziva se domen. Skup B naziva se kodomen funkcije.[5][6]

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa za koje je važan poredak. Relacija je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, a funkcija je jedna vrsta relacije.

Definicija 1
Neka su i neprazni skupovi. Tada se binarna relacija zove funkcija ili preslikavanje iz u , ako važi:

odnosno ako za svaki element iz skupa , postoji tačno jedan element iz skupa tako da je element iz slika elementa iz .

Definicija 2 (ekvivalentna prethodnoj)
binarna relacija iz u je funkcija ako je

tj. ako su originali jednaki, i slike moraju biti jednake.

Funkcija u topologiji[uredi]

Glavni članak: Funkcija (topologija)

Funkcija ili preslikavanje u topološkom smislu je pravilo pridruživanja jednog elementa iz topološkog prostora koji se tada naziva domen funkcije, drugom elementu iz topološkog prostora - kodomen funkcije.

Homomorfizam je preslikavanje između dve algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu formu.

Vrste homomorfizama:

Neprekidnost[uredi]

Glavni članak: Neprekidna funkcija

Neprekidna funkcija iz jednog topološkog prostora u drugi je funkcija čija je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena. Neprekidna preslikavanja su morfizmi topološkog prostora. Intuitivno, neprekidna funkcija je ona funkcija, koja za dovoljno male promene vrednosti argumenta ima proizvoljno male promene vrednosti funkcije.

Vrste preslikavanja[uredi]

Surjektivno preslikavanje[uredi]

Definicija
Funkcija zove se surjekcija, ili "na"-preslikavanje, ako je

što se može zapisati i kao:

Odnosno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi kodomena nečije slike. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“, tj. da se više elemenata iz domena preslikavaju u isti element kodomena.

Injektivno preslikavanje[uredi]

Definicija
Funkcija zove se injekcija, ili "1-1"-preslikavanje, ako važi:

Dakle, ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.

Bijektivno preslikavanje[uredi]

Definicija
Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se bijekcija.

Bijekciju nazivamo i obostrano jednoznačno preslikavanje.

Funkcija realne promenljive[uredi]

Kako u matematičkoj analizi, tako i u još pojedinim oblastima matematike, a možda i u celoj matematici, funkcija koja se možda i najčešće koristi je tzv. funkcija realne promenljive.

Pod funkcijom realne promenljive, misli se na funkciju gde je i Drugim rečima, funkcija realne promenljive je svaka funkcija čiji je domen podskup skupa realnih brojeva ili ceo skup , a kodomen joj je .

Sledeća tabela sadrži nekoliko posebno važnih tipova funkcija realne vrednosti:

Linearna funkcija Kvadratna funkcija
Linearna funkcija
Kvadratna funkcija.
f(x) = ax + b. f(x) = ax2 + bx + c.
Diskontinuirana funkcija Trigonometrijske funkcije
Signum funkcija nije neprekidna, pošto „skače“ u 0.
Sinusne i kosinusne funkcije.
Grubo rečeno, neprekidna funkcija je ona čiji grafik se može nacrtati bez podizanja olovke. f(x) = sin(x) (crveno), f(x) = cos(x) (plavo)

Parnost funkcije[uredi]

Glavni članak: Parnost funkcije
Funkcija je parna funkcija.
Funkcija je neparna funkcija.
Definicija
Za skup kažemo da je simetričan, ako za svako i .

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo parnom, ako za je svako . Svaka parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu.

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo neparnom, ako za je svako . Svaka neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak.

Većina funkcija nije ni parna, ni neparna, ali se svaka funkcija definisana na simetričnom podskupu može predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.

Periodičnost funkcije[uredi]

Glavni članak: Periodičnost funkcije
Ilustracija periodične funkcije sa periodom
Definicija
Za funkciju realne promenljive kažemo da je periodična sa periodom , ako postoji takvo da važi:

Najmanji takav broj (ako postoji), naziva se osnovnim periodom funkcije .

Interesantna periodična funkcija je, recimo: Dirihleova funkcija definisana kao:

koja je periodična, ali nema najmanji period.

Monotonost funkcije[uredi]

Glavni članak: Monotonost funkcije
Definicija
Monotonost funkcije označava svojstvo onih funkcija koje zadovoljavaju bilo koji od sledećih uslova:
  • rastuća funkcija
  • strogo rastuća funkcija
  • opadajuća funkcija
  • strogo opadajuća funkcija

Za funkciju koja zadovoljava ovo svojstvo (tj. bilo koje od četiri navedena svojstva) kažemo da je monotona na kodomenu. Specijalno, za funkciju koja zadovoljava drugo ili četvrto svojstvo od četiri navedena, kažemo da je strogo monotona na kodomenu.

Inverzna funkcija[uredi]

Glavni članak: Inverzna funkcija

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označena sa ƒ−1, funkcija u suprotnom smeru, od Y do X, sa osobinom da kompozicija vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne poseduje svoju inverznu funkciju; one koje je imaju nazivaju se inverzabilnim.

Kao primer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Farenhajte, funkcija koja konvertuje stepene Farenhajta u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.

Ispitivanje toka funkcije[uredi]

Ispitivanje toka funkcije se sastoji od određivanja niza svojstava.

Područje definicije[uredi]

Za određivanje područja definicije funkcije potrebno je poznavati elementarne funkcije

Parnost[uredi]

Parnost funkcije proverava se pomoću definicije:

Funkcija je parna ako je za svaki , a neparna ako je ) za svaki . Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak .

Primer

je parna za paran, a neparna za neparan, pa je:

.

Funkcija je parna: ako je , tada je pa vredi

Za je pa vredi

Periodičnost[uredi]

Periodičnost funkcije proverava se pomoću definicije

Funkcija je periodična ako postoji broj takav da za svaki vredi

Tada mora vrediti . Najmanji takav pozitivni broj osnovni period ili period funkcije .

Primeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodična ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcije[uredi]

Nula funkcije određuju se rešavanjem jednačine

Asimptote funkcije[uredi]

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i Lopitalovim pravilom, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli ) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava je vertikalna asimptota funkcije u tački s leve strane ako je ili .

Prava je vertikalna asimptota funkcije u tački s desne strane ako je

ili

.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primer
Koordinatne ose kao asimptote funkcije

Prava je vertikalna asimptota funkcije s obe strane.

Prava je vertikalna asimptota funkcije , i s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava je horizontalna asimptota funkcije na levoj strani ako je . Prava je horizontalna asimptota funkcije na desnoj strani ako je .

Primer

Prava je horizontalna asimptota funkcije na obe strane, kao i horizontalna asimptota funkcija i na levoj strani.

Ako je

pri čemu je

tada je prava kosa asimptota funkcije sa leve strane.

Kosu asimptotu funkcije sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je . Prema definiciji asimptote kada . Kako je konstanta, zaključujemo da .

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

.

pa je

.

Pri tome treba voditi računa o sledećem:

  1. traženje horizontalnih i kosih asimptota limesa kada
  2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosledu, uvek treba računati posebno
  3. treba obratiti pažnju na slučaje parnih korena kada ,
Primer

.

Ekstremi funkcije[uredi]

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je proveriti nužne i dovoljne uslove ekstrema.

Provera nužnih uslova vrši se po teoremu

Neka je funkcija neprekidna u tački . Ako funkcija ima lokalni ekstrem u tački , tada je kritična tačka funkcije .

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija neprekidna u tački . Tačka je stacionarna tačka funkcije ako je . Tačka je kritična tačka funkcije , ako je stacionarna tačka ili ako nije diferencijabilna u tački .

Potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda i rešiti jednačinu .

Provera dovoljnih uslova može se vršiti na tri načina:

  • pomoću promene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme: Ako prvi izvod menja predznak u kritičnoj tački , tada funkcija ima lokalni ekstrem u tački . Pri tome vredi sledeće: ako menja predznak sa na , tada je lokalni minimum, a ako menja predznak sa na , tada je lokalni maksimum.
  • pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme: Neka je u stacionarnoj tački funkcija dva puta diferencijabilna. Ako je , tada funkcija ima lokalni ekstrem u tački . Pri tome vredi sljedeće: ako je , tada je lokalni minimum, a ako je , tada je lokalni maksimum.
  • pomoću viših izvoda na osnovu teoreme: Neka funkcija ima u nekoj - okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda , pri čemu je . Neka je Ako je neparan, tada funkcija ima infleksiju u tački . Ako je paran i ako je uz to još i , tada funkcija ima lokalni ekstrem u tački i to minimum za i maksimum za .

Intervali monotonosti[uredi]

Nakon nalaženja prvog izvoda funkcije intervali monotonosti se određuju po predznaku od na osnovu teoreme: Neka je funkcija diferencijabilna na intervalu . Tada vredi

  • funkcija je rastuća na intervalu ako i samo ako je za svaki
  • Funkcija je opadajuća na intervalu ako i samo ako je za svaki
  • Ako je za svaki , tada je funkcija strogo rastuća na intervalu
  • Ako je za svaki , tada je funkcija strogo opadajuća na intervalu .

Konkavnost i konveksnost funkcije[uredi]

Potrebno je odrediti drugi izvod , a zatim intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija dva puta deiferencijabilna na intervalu . Ako je za svaki , tada je funkcija strogo konveksna na intervalu . Ako je za svaki , tada je funkcija strogo konkavna na intervalu .

Tačke infleksije[uredi]

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod menja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj okolini tačke , osim možda u tački . Ako menja predznak u tački , tada funkcija ima infleksiju u tački .

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija ima u nekoj okolini tačke neprekidne izvode do uključivo reda , pri čemu je . Neka je

Ako je neparan, tada funkcija ima infleksiju u tački . Ako je paran i ako je uz to još i , tada funkcija ima lokalni ekstrem u tački i to minimum za i maksimum za .

U tom slučaju potrebno je prvo naći tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija ima infleksiju u tački i ako postoji, tada je .

Graf funkcije[uredi]

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.[7]

Ostale osobine[uredi]

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primene.

Ovo je delimičan spisak takvih funkcija:

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

  1. Halmos (1970). str. 30..
  2. MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra (First izd.). New York: Macmillan. str. 1—13. 
  3. Hamilton, A. G. Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge University Press. str. 83. ISBN 0-521-24509-5. 
  4. Halmos, Paul R. (1958). Finite-Dimensional Vector Spaces (PDF). New York: Van Nostrand Company. str. 21—25. ISBN 0-387-90093-4. 
  5. Apostol, Tom (1967). Calculus vol 1. John Wiley. str. 53. ISBN 0-471-00005-1. 
  6. Heins, Maurice (1968). Complex function theory. Academic Press. str. 4. 
  7. Hartley Rogers, Jr (1987). Theory of Recursive Functions and Effective Computation. MIT Press. str. 1—2. ISBN 0-262-68052-1. 

Literatura[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]