Funkcija (matematika)

Funkcija koja preslikava obojene oblike u njihovu boju.

Grafik primera funkcije,
${\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$

Funkcija ili preslikavanje je pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa $\,X$ koji se tada naziva domen funkcije, drugom elementu iz skupa $\,Y$ - kodomen funkcije, koji se još naziva i kontradomen funkcije, skup kopija, skup slika. Domen funkcije $f$ se često označava sa ${\mathcal {D}}(f)$, a kodomen sa ${\mathcal {K}}(f).$

Elementi skupa $\,X$ nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup $Y$ naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa ${\mathcal {D}}(f)$, a kodomen ponekad ${\mathcal {K}}(f).$

Za zapisivanje funkcija obično se koriste neke od sledećih oznaka: $f:X\rightarrow Y,$, $f:x\rightarrow y,\;x\in X,\;y\in Y.$ ili $y=f(x),$. Opseg, raspon, područje definicije funkcije, odnosno domen funkcije $f$ predstavlja skup vrednosti $x$ za koje funkcija dostiže vrednosti $f(x)$.

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Definicija

Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Pojavljuje se u većini oblasti matematike, u zavisnosti od toga šta predstavljaju domen i kodomen. Funkcija ili preslikavanje je svako pridruživanje elemenata jednog skupa, elementima drugog skupa pri čemu se svaki element prvog skupa preslikava u tačno jedan element drugog skupa.

Analitička definicija

Ako dve promenljive $a$ i $b$ stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne od njih, npr. $a$ menja i vrednost druge promenljive - $b$, onda se promenljiva $b$ naziva funkcijom promenljive $a$.

Funkcija može imati više promenljivih.

Definicije iz teorije skupova

Funkcija, odnosno relacija $f=\{(a,\alpha ),(b,\beta ),(c,\beta )\}.\,$ Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice i naziva se domen. Skup B naziva se kodomen funkcije.

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa za koje je važan poredak. Relacija je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, a funkcija je jedna vrsta relacije.

Definicija 1

Neka su $A$ i $B$ neprazni skupovi. Tada se binarna relacija $f\subseteq A\times B$ zove funkcija ili preslikavanje iz $A$ u $B$, ako važi:

$(\forall x\in A)(\exists !y\in B)y=f(x),$

odnosno ako za svaki element iz skupa $A$, postoji tačno jedan element iz skupa $B$ tako da je element iz $B$ slika elementa iz $A$.

Definicija 2 (ekvivalentna prethodnoj)

binarna relacija $f$ iz $A$ u $B$ je funkcija ako je

$((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f)\Rightarrow (y=z)),$

tj. ako su originali jednaki, i slike moraju biti jednake.

Funkcija u topologiji

Glavni članak: Funkcija (topologija)

Funkcija ili preslikavanje u topološkom smislu je pravilo pridruživanja jednog elementa iz topološkog prostora $\,X$ koji se tada naziva domen funkcije, drugom elementu iz topološkog prostora $\,Y$ - kodomen funkcije.

Homomorfizam je preslikavanje između dve algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu formu.

Vrste homomorfizama:

• Izomorfizam je bijektivni homomorfizam. Dva objekta su izomorfna ako postoji izomorfizam između njih. Izomorfni objekti su potpuno nerazaznatljivi što se tiče strukture koja je u pitanju.
• Epimorfizam je surjektivni homomorfizam.
• Monomorfizam je injektivni homomorfizam.
• Endomorfizam je homomorfizam sa nekog objekta na samog sebe se zove .
• Automorfizam je endomorfizam koji je i izomorfizam.
• Homeomorfizam je neprekidni izomorfizam (neprekidni bijektivni homomorfizam) čiji je i inverz neprekidna funkcija.

Neprekidnost

Glavni članak: Neprekidna funkcija

Neprekidna funkcija iz jednog topološkog prostora u drugi je funkcija čija je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena. Neprekidna preslikavanja su morfizmi topološkog prostora. Intuitivno, neprekidna funkcija je ona funkcija, koja za dovoljno male promene vrednosti argumenta ima proizvoljno male promene vrednosti funkcije.

Vrste preslikavanja

Surjektivno preslikavanje

Definicija

Funkcija $f:A\rightarrow B$ zove se surjekcija, ili "na"-preslikavanje, ako je ${\mathcal {K}}(f)=B,$

što se može zapisati i kao:

$(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;y=f(x).$

Odnosno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi kodomena nečije slike. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“, tj. da se više elemenata iz domena preslikavaju u isti element kodomena.

Injektivno preslikavanje

Definicija

Funkcija $f:A\rightarrow B$ zove se injekcija, ili "1-1"-preslikavanje, ako važi:

$(\forall x_{1},x_{2}\in A)(f(x_{1})=f(x_{2}))\Rightarrow (x_{1}=x_{2}).$

Dakle, ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.

Bijektivno preslikavanje

Definicija

Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se bijekcija.

Bijekciju nazivamo i obostrano jednoznačno preslikavanje.

Funkcija realne promenljive

Kako u matematičkoj analizi, tako i u još pojedinim oblastima matematike, a možda i u celoj matematici, funkcija koja se možda i najčešće koristi je tzv. funkcija realne promenljive.

Pod funkcijom realne promenljive, misli se na funkciju $f:X\rightarrow Y,$ gde je $X\subseteq \mathbb {R}$ i $Y=\mathbb {R} .$ Drugim rečima, funkcija realne promenljive je svaka funkcija čiji je domen podskup skupa realnih brojeva $\mathbb {R}$ ili ceo skup $\mathbb {R}$, a kodomen joj je $\mathbb {R}$.

Sledeća tabela sadrži nekoliko posebno važnih tipova funkcija realne vrednosti:

Linearna funkcija	Kvadratna funkcija
Linearna funkcija	Kvadratna funkcija.
f(x) = ax + b.	f(x) = ax2 + bx + c.
Diskontinuirana funkcija	Trigonometrijske funkcije
Signum funkcija nije neprekidna, pošto „skače“ u 0.	Sinusne i kosinusne funkcije.
Grubo rečeno, neprekidna funkcija je ona čiji grafik se može nacrtati bez podizanja olovke.	f(x) = sin(x) (crveno), f(x) = cos(x) (plavo)

Parnost funkcije

Glavni članak: Parnost funkcije

Funkcija $f(x)=x^{2}$ je parna funkcija.

Funkcija $f(x)=x^{3}$ je neparna funkcija.

Definicija

Za skup $X\subset \mathbb {R}$ kažemo da je simetričan, ako za svako $x\in X$ i $-x\in X$.

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo parnom, ako za je svako $x\in X,f(x)=f(-x)$. Svaka parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu.

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo neparnom, ako za je svako $x\in X,f(x)=-f(-x)$. Svaka neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak.

Većina funkcija nije ni parna, ni neparna, ali se svaka funkcija definisana na simetričnom podskupu može predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.

Periodičnost funkcije

Glavni članak: Periodičnost funkcije

Ilustracija periodične funkcije sa periodom $P.$

Definicija

Za funkciju realne promenljive $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ kažemo da je periodična sa periodom $T$, ako postoji $T>0$ takvo da važi:

$f(x+T)=f(x).$

Najmanji takav broj $T$ (ako postoji), naziva se osnovnim periodom funkcije $f$.

Interesantna periodična funkcija je, recimo: Dirihleova funkcija $D\colon \mathbb {R} \mapsto \{0,1\}$ definisana kao:

$D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ,\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} ,\end{cases}}$

koja je periodična, ali nema najmanji period.

Monotonost funkcije

Glavni članak: Monotonost funkcije

Definicija

Monotonost funkcije označava svojstvo onih funkcija koje zadovoljavaju bilo koji od sledećih uslova:

• rastuća funkcija

$(\forall x_{1},x_{2}\in X)(x_{1}\leq x_{2}\rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2}))$

• strogo rastuća funkcija

$(\forall x_{1},x_{2}\in X)(x_{1}<x_{2}\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2}))$

• opadajuća funkcija

$(\forall x_{1},x_{2}\in X)(x_{1}\leq x_{2}\rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2}))$

• strogo opadajuća funkcija

$(\forall x_{1},x_{2}\in X)(x_{1}<x_{2}\rightarrow f(x_{1})>f(x_{2}))$

Za funkciju koja zadovoljava ovo svojstvo (tj. bilo koje od četiri navedena svojstva) kažemo da je monotona na kodomenu. Specijalno, za funkciju koja zadovoljava drugo ili četvrto svojstvo od četiri navedena, kažemo da je strogo monotona na kodomenu.

Inverzna funkcija

Glavni članak: Inverzna funkcija

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označena sa ƒ⁻¹, funkcija u suprotnom smeru, od Y do X, sa osobinom da kompozicija vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne poseduje svoju inverznu funkciju; one koje je imaju nazivaju se inverzibilnim.

Kao primer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Farenhajte, funkcija koja konvertuje stepene Farenhajta u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ⁻¹.

${\begin{aligned}f(C)&={\tfrac {9}{5}}C+32\\f^{-1}(F)&={\tfrac {5}{9}}(F-32)\end{aligned}}$

Ispitivanje toka funkcije

Ispitivanje toka funkcije $f(x)$ se sastoji od određivanja niza svojstava.

Područje definicije

Za određivanje područja definicije funkcije $f(x)$ potrebno je poznavati elementarne funkcije

Parnost

Parnost funkcije $f(x)$ proverava se pomoću definicije:

Funkcija $f(x)$ je parna ako je $f(-x)=f(x)$ za svaki $x\in {\mathcal {D}}$, a neparna ako je $f(-x)=-f(x$) za svaki $x\in {\mathcal {D}}$. Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinatni početak $O(0,0)$.

Primer

$\displaystyle x^{n},\qquad n\in \mathbb {N}$

je parna za $n=2k$ paran, a neparna za $n=2k+1$ neparan, pa je:

$\displaystyle f(-x)=(-x)^{n}=(-1)^{n}x^{n}=(-1)^{n}f(x)$.

Funkcija $\vert x\vert$ je parna: ako je $x>0$, tada je $-x<0$ pa vredi

$\displaystyle \vert -x\vert =-(-x)=x=\vert x\vert$

Za $x<0$ je $-x>0$ pa vredi

$\displaystyle \vert -x\vert =-x=\vert x\vert$

Periodičnost

Periodičnost funkcije proverava se pomoću definicije

Funkcija $f(x)$ je periodična ako postoji broj $P\neq 0$ takav da za svaki $x\in {\mathcal {D}}$ vredi

$\displaystyle f(x+P)=f(x)$

Tada mora vredeti $x+P\in {\mathcal {D}}$. Najmanji takav pozitivni broj $P$ osnovni period ili period funkcije $f(x)$.

Primeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodična ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcije

Nula funkcije određuju se rešavanjem jednačine $f(x)=0$

Asimptote funkcije

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i Lopitalovim pravilom, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli $(0$) kada tačka na grafiku odmiče u beskonačnost.

Prava $x=x_{0}$ je vertikalna asimptota funkcije $f(x)$ u tački $x_{0}$ s leve strane ako je $\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=+\infty$ ili $\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=-\infty$.

Prava $x=x_{0}$ je vertikalna asimptota funkcije $f(x)$ u tački $x_{0}$ s desne strane ako je

$\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=+\infty$ ili

$\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=-\infty$.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primer

Koordinatne ose kao asimptote funkcije ${\frac {1}{x}}$

Prava $x=0$ je vertikalna asimptota funkcije ${\frac {1}{x}}$ s obe strane.

Prava $x=0$ je vertikalna asimptota funkcije $\ln x$, $\log x$ i $\log _{2}x$ s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava $y=y_{0}$ je horizontalna asimptota funkcije $f(x)$ na levoj strani ako je $\lim _{x\to -\infty }f(x)=y_{0}$. Prava $y=y_{0}$ je horizontalna asimptota funkcije $f(x)$ na desnoj strani ako je $\lim _{x\to +\infty }f(x)=y_{0}$.

Primer

Prava $y=0$ je horizontalna asimptota funkcije ${\frac {1}{x}}$ na obe strane, kao i $y=0$ horizontalna asimptota funkcija $2^{x}$ i $e^{x}$ na levoj strani.

Ako je

$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k,\qquad \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=l,$

pri čemu je

$\displaystyle k\neq 0,-\infty ,+\infty ,\qquad l\neq -\infty ,+\infty$ tada je prava $y=kx+l$ kosa asimptota funkcije $f(x)$ sa leve strane.

Kosu asimptotu funkcije $f(x)$ sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je $d(M,L)$. Prema definiciji asimptote $d(M,L)\to 0$ kada $x\to +\infty$. Kako je $\cos \alpha \neq 0$ konstanta, zaključujemo da $\displaystyle d(M,L)\to 0\quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x\to +\infty }\vert f(x)-(kx+l)\vert =0$.

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx-l)=0$ je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=l$.

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)-kx-l}{x}}=0$ pa je

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$.

Pri tome treba voditi računa o sledećem:

1. traženje horizontalnih i kosih asimptota limesa kada $x\to -\infty$
2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosledu, $x\to +\infty$ uvek treba računati posebno
3. treba obratiti pažnju na slučajeve parnih korena kada $x\to -\infty$,

Primer

$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-1$.

Ekstremi funkcije

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je proveriti nužne i dovoljne uslove ekstrema.

Provera nužnih uslova vrši se po teoremu

Neka je funkcija $f(x)$ neprekidna u tački $c$. Ako funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$, tada je $c$ kritična tačka funkcije $f(x)$.

Potrebno je naći stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija $f(x)$ neprekidna u tački $c$. Tačka $c$ je stacionarna tačka funkcije $f(x)$ ako je $f'(c)=0$. Tačka $c$ je kritična tačka funkcije $f(x)$, ako je $c$ stacionarna tačka ili ako $f(x)$ nije diferencijabilna u tački $c$.

Potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda $f'(x)$ i rešiti jednačinu $f'(x)=0$.

Provera dovoljnih uslova može se vršiti na tri načina:

• pomoću promene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme: Ako prvi izvod $f'(x)$ menja predznak u kritičnoj tački $c$, tada funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$. Pri tome vredi sledeće: ako $f'(x)$ menja predznak sa $-$ na $+$, tada je $f(c)$ lokalni minimum, a ako $f'(x)$ menja predznak sa $+$ na $-$, tada je $f(c)$ lokalni maksimum.

• pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme: Neka je u stacionarnoj tački $c$ funkcija $f(x)$ dva puta diferencijabilna. Ako je $f''(c)\neq 0$, tada funkcija $fx)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$. Pri tome vredi sljedeće: ako je $f''(c)>0$, tada je $f(c)$ lokalni minimum, a ako je $f''(c)<0$, tada je $f(c)$ lokalni maksimum.

• pomoću viših izvoda na osnovu teoreme: Neka funkcija $f(x)$ ima u nekoj $\varepsilon$ - okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda $n$, pri čemu je $n\geq 3$. Neka je $\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0,\qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$ Ako je $n$ neparan, tada funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$. Ako je $n$ paran i ako je uz to još i $f'(c)=0$, tada funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$ i to minimum za $f^{(n)}(c)>0$ i maksimum za $f^{(n)}(c)<0$.

Intervali monotonosti

Nakon nalaženja prvog izvoda $f'(x)$ funkcije $f(x)$ intervali monotonosti se određuju po predznaku od $f'(x)$ na osnovu teoreme: Neka je funkcija $f(x)$ diferencijabilna na intervalu $(a,b)$. Tada vredi

• funkcija $f(x)$ je rastuća na intervalu $(a,b)$ ako i samo ako je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in (a,b)$
• Funkcija $f(x)$ je opadajuća na intervalu $(a,b)$ ako i samo ako je $f'(x)\leq 0$ za svaki $x\in (a,b)$
• Ako je $f'(x)>0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo rastuća na intervalu $(a,b$
• Ako je $f'(x)<0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo opadajuća na intervalu $(a,b)$.

Konkavnost i konveksnost funkcije

Potrebno je odrediti drugi izvod $f''(x)$, a zatim intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija $f(x)$ dva puta diferencijabilna na intervalu $(a,b)$. Ako je $f''(x)>0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo konveksna na intervalu $(a,b)$. Ako je $f''(x)<0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo konkavna na intervalu $(a,b)$.

Tačke infleksije

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod $f''(x)$ menja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta diferencijabilna na nekoj $\varepsilon$ okolini tačke $c$, osim možda u tački $c$. Ako $f''(x)$ menja predznak u tački $c$, tada funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$.

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija $f(x)$ ima u nekoj $\varepsilon$ okolini tačke $c$ neprekidne izvode do uključivo reda $n$, pri čemu je $n\geq 3$. Neka je

$\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0,\qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$

Ako je $n$ neparan, tada funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$. Ako je $n$ paran i ako je uz to još i $f'(c)=0$, tada funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$ i to minimum za $f^{(n)}(c)>0$ i maksimum za $f^{(n)}(c)<0$.

U tom slučaju potrebno je prvo naći tačke u kojima je drugi izvod $f''(x)$ jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$ i ako $f''(c)$ postoji, tada je $f''(c)=0$.

Graf funkcije

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

Ostale osobine

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primene.

Ovo je delimičan spisak takvih funkcija:

• bijekcija, injekcija i surjekcija, ili pojedinačno:
  • injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija
• neprekidna
• diferencijabilna funkcija, integrabilna
• linearna, polinomi, racionalna
• algebarska, transcendentalna
• trigonometrijska
• fraktal
• parna ili neparna
• konveksna, monotona, jednomodalna
• holomorfska, meromorfska, cela
• vektorska
• izračunljive
• funkcija celog dela
• funkcija realne promenljive

Vidi još

• Funkcija (topologija)
• Bijekcija
• Injekcija
• Surjekcija
• Linearna funkcija
• Neprekidna funkcija
• Elementarne funkcije
• Eksponencijalna funkcija
• Logaritamska funkcija
• Stepena funkcija
• Trigonometrijske funkcije
• Inverzna funkcija
• Hiperboličke funkcije
• Funkcija realne promenljive
• Parnost funkcije
• Periodičnost funkcije
• Monotonost funkcije

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.
• Bartle, Robert (1967). The Elements of Real Analysis. John Wiley & Sons. 
• Bloch, Ethan D. (2011). Proofs and Fundamentals: A First Course in Abstract Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4419-7126-5. 
• Halmos, Paul R. (1970). Naive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6. 
• Spivak, Michael (2008). Calculus (4th izd.). Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1. 
• Anton, Howard (1980). Calculus with Analytical Geometry. Wiley. ISBN 978-0-471-03248-9. 
• Bartle, Robert G. (1976). The Elements of Real Analysis (2nd izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1. 
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-081-8. 
• Hammack, Richard (2009). „12. Functions” (PDF). Book of Proof. Virginia Commonwealth University. Pristupljeno 01. 08. 2012. 
• Husch, Lawrence S. (2001). Visual Calculus. University of Tennessee. Pristupljeno 27. 09. 2007. 
• Katz, Robert (1964). Axiomatic Analysis. D. C. Heath and Company. 
• Kleiner, Israel (1989). Evolution of the Function Concept: A Brief Survey. The College Mathematics Journal. 20. Mathematical Association of America. str. 282—300. JSTOR 2686848. doi:10.2307/2686848. 
• Lützen, Jesper (2003). „Between rigor and applications: Developments in the concept of function in mathematical analysis”. Ur.: Roy Porter. The Cambridge History of Science: The modern physical and mathematical sciences. Cambridge University Press. ISBN 0521571995.  An approachable and diverting historical presentation.
• Malik, M. A. (1980). Historical and pedagogical aspects of the definition of function. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 11. str. 489—492. doi:10.1080/0020739800110404. 
• Reichenbach, Hans (1947) Elements of Symbolic Logic, Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN 978-0-486-24004-6.
• Ruthing, D. (1984). Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N. Mathematical Intelligencer. 6. str. 72—77. 
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53174-9. 

Spoljašnje veze

• spisak kategorija matematičkih funkcija
• Khan Academy: Functions, free online micro lectures Архивирано на сајту Wayback Machine (23. јануар 2013)
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Function”. MathWorld. 
• The Wolfram Functions Site
• Shodor: Function Flyer
• xFunctions
• Draw Function Graphs
• Functions
• Function at ProvenMath
• Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool
• Abstractmath.org articles on functions