Harova mera

U apstraktnoj matematičkoj analizi, teoriji grupa i teoriji mere, mera Hara (ili Harova mera) jeste način da se definiše invarijantna mera („zapremina“) na podskupovima lokalno kompaktnih topoloških grupa, i tim putem definiše pojam integrala funkcija na ovakvim grupama i na njih proširi veliki broj pojmova i rezultata klasične analize.

Mera Hara je uopštenje Lebegove mere, koja je translatorno invarijantna mera na euklidskom prostoru. Mera Hara se može definisati na ma kojoj lokalno kompaktnoj topološkoj grupi, i posebno na svakoj Lijevoj grupi.

Ovu meru je 1932. uveo Alfred Har, mađarski matematičar. Harove mere se koriste u mnogim delovima matematičke analize i teorije brojeva, kao i u teoriji ocena.

Pojmovi

Neka je G lokalno kompaktna topološka grupa (za topološku grupu pretpostavljamo da je Hausdorfova). Borelova algebra na G je σ-algebra koju generišu svi kompaktni podskupovi od G; njeni elementi nazivaju se Borelovim skupovima.

Za svaki podskup S ⊂ G, i svaki element a ∈ G, levi i desni translati skupa S se definišu kao:

• levi translat, aS = { a · s : s ∈ S },
• desni translat, Sa = { s · a : s ∈ S }.

Levi i desni translati Borelovih skupova su takođe Borelovi skupovi.

Mera μ na Borelovim skupovima u G se naziva sleva translatorno invarijantnom ako za svaki Borelov podskup S ⊂ G i svaki element a ∈ G vredi

μ(aS) = μ(S).

Slično se definiše i zdesna translatorna invarijantnost mere.

Ako je (X, μ) ma koji merljivi topološki prostor, mera μ se naziva regularnom ako zadovoljava sledeća tri uslova:

• μ(K) je konačno za svaki kompaktan skup K ⊂ X,
• μ je regularna spolja, odnosno za svaki Borelov skup E ⊂ X vredi

  μ(E) = inf { μ(U) : E ⊂ U, U otvoren },

• μ je regularna iznutra, odnosno za svaki Borelov skup E ⊂ X vredi

  μ(E) = sup { μ(K) : K ⊂ E, K kompaktan }.

Postojanje i jedinstvenost mere Hara

Vredi sledeća osnovna

Teorema. Neka je G lokalno kompaktna topološka grupa. Postoji sleva translatorno invarijantna prebrojivo aditivna regularna mera μ na Borelovim skupovima u G takva da je μ(U) > 0 za svaki neprazan otvoreni skup U. Ova mera je jedinstvena do na množenje pozitivnom konstantom i naziva se levom merom Hara na G.

Postojanje mere Hara je u punoj opštosti prvi dokazao francuski matematičar Andre Vejl. Specijalan slučaj invarijantne mere na kompaktnim grupama dokazao je sam Har 1933. Jedinstvenost je dokazao Džon fon Nojman 1935.

Na isti način sledi i da na G postoji jedinstvena (do na množenje pozitivnom konstantom) zdesna translatorno invarijantna desna mera Hara ν, koja se ne mora podudarati sa levom merom Hara μ. U slučaju kada se ove dve mere podudaraju, kažemo da je grupa G unimodularna grupa i govorimo naprosto o meri Hara na G.

U opštem slučaju, mere μ i ν su u jednostavnoj vezi. Naime, ako za Borelov skup S označimo sa S⁻¹ skup inverza elemenata iz S, tada je S⁻¹ takođe Borelov skup, i funkcija μ_{−1 definisana sa}

μ₋₁(S) := μ(S⁻¹)

je desna mera Hara. Desna invarijantnost sledi po definiciji:

μ₋₁(Sa) = μ((Sa)⁻¹) = μ(a⁻¹S⁻¹) = μ(S⁻¹) = μ₋₁(S),

kao i prebrojiva aditivnost, regularnost i nedegenerisanost. Prema jedinstvenosti desne mere Hara sledi da je μ₋₁ umnožak mere ν nekom pozitivnom konstantom k > 0:

μ(S⁻¹) = kν(S) za sve Borelove skupove S.

Modularna funkcija

Levi translat svake desne mere Hara je i sama jedna desna mera Hara: ako je μ desna mera Hara, tada je

μ_t : A ↦ μ(t⁻¹A)

takođe zdesna translatorno invarijantna mera koja zadovoljava i sve ostale uslove za meru Hara. Stoga, postoji jedinstvena funkcija Δ, koja se naziva moduo Hara, modularna funkcija ili modularni karakter, takva da je

μ(t⁻¹A) = Δ(t)μ(A)

za svaki Borelov skup A. Modularna funkcija je homomorfizam grupe G u multiplikativnu grupu pozitivnih realnih brojeva.

Grupa G se naziva unimodularnom ako je njena modularna funkcija identički jednaka 1. Ovakve su sve abelove grupe i sve kompaktne grupe. Jedan primer ne-unimodularne grupe je grupa svih invertibilnih linearnih transformacija

x ↦ ax + b

na realnoj pravoj R' (a ∈ R^×, b ∈ R'), koja je poludirektan proizvod R ⋊ R^×.

Integral Hara

Polazeći od mere Hara, može se putem opšte teorije integracije po Lebegu definisati integral svake Borel-merljive funkcije f na G, koji nazivamo integralom Hara. Pritom, ako je μ leva mera Hara, tada je

$\int _{G}f(sx)\,{\mbox{d}}\mu (x)=\int _{G}f(x)\,{\mbox{d}}\mu (x)$

za svaku integrabilnu funkciju f. Ovo je ekvivalentno translatornoj invarijantnosti sleva za proste funkcije f, i zatim sledi za sve ostale funkcije standardnim postpukom približenja integrabilnih funkcija elementarnim.

Primeri

• Mera Hara na diskretnoj grupi G je naprosto brojačka mera; integral Hara svodi se u ovom slučaju na sabiranje.
• Mera Hara μ na topološkoj grupi (R,+), uz normalizaciju μ([0,1]) = 1, jeste Borelova mera na R (odnosno restrikcija uobičajene Lebegove mere dx na σ-algebru Borelovih podskupova od R). Analogno tvrđenje važi i za grupe (Rⁿ,+).
• Ako je G = (R⁺,·) topološka grupa pozitivnih realnih brojeva sa operacijom množenja, tada je mera Hara data sa

  $\mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,{\mbox{d}}t$ za svaki Borelov podskup S ⊂ R⁺.

• Opšta linearna grupa G = GL_n'R' nije komutativna za n > 1, ali su leva i desna mera Hara proporcionalne i date sa

  $\mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{|\det X|^{n}}}\,{\mbox{d}}X$,

gde identifikujemo G ↪ 'Rn × n uloženu kao podskup prostora 'R^n × n svih n × n realnih matrica, dX je Lebegova mera na ovom prostoru (proizvod Lebegovih mera po koordinatama). Ovo sledi integracijom smenom.

Druga svojstva i primene

Za dokazivanje postojanja mere Hara na lokalno kompaktnoj grupi G, često se pokazuje postojanje sleva invarijantne Radonove mere na G.

Mera Hara date lokalno komaktne topološke grupe G je konačna ako i samo ako je G kompaktna grupa.

Osim ako je G diskretna grupa, nije moguće definisati prebrojivo aditivnu zdesna translatorno invarijantnu meru na svim podskupovima od G, ukoliko se pretpostavi aksioma izbora (vidi i nemerljivi skupovi).

Mere Hara se koriste za harmonijsku analizu na proizvoljnoj lokalno kompaktnoj grupi, vidi Pontrjaginov dual. Posebno je značajna upotreba u teoriji brojeva, gde se koriste mere Hara na raznim reduktivnim algebarskim grupama, totalno nepovezanim lokalno kompaktnim p-adskim grupama, globalnim adeličkim grupama, itd.