Hermitova interpolacija

U numeričkoj analizi, Hermitova interpolacija, nazvana po francuskom matematičaru Šarl Ermitu je metod interpolacije. Tako stvoren Hermitov polinom je sličan Njutnovom interpolacionom polinomu u tome što su oba nastala od računanja sa podeljenim razlikama.

Međutim, za razliku od Njutnove interpolacije, Hermitova određuje nepoznatu funkciju i za datu vrednost i za datu vrednost u prvih m izvoda. To znači da n(m + 1) vrednosti

${\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\(x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}$

moraju biti poznate, za razliku od prvih n vrednosti potrebne za Njutnovu interpolaciju. Dobijeni polinom imati najveći mogući stepen n(m + 1) − 1, za razliku od Njutnovog čiji je najveći stepen n − 1.

Korišćenje

Trivijalan slučaj

Kada koristimo podeljene razlike da izračunamo Hermitov polinom funkcije f, prvi korak je da svaku tačku umnožimo m puta. (Ovde ćemo razmatrati najjednostavniji slučaj $m=1$ za svaku tačku.) Tada ako nam je dato $n+1$ tačaka $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ i vrednosti u tačkama $f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})$ i $f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})$ za funkciju koju želimo da interpoliramo, kreiramo

$z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}$

tako da su

$z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.$

Potom, pravimo tabelu podeljenih razlika za tačke $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}$. Mada za neke podeljene razlike

$z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}$

što nije definisano! U tom slučaju, zamenimo podeljenu razliku sa $f'(z_{i})$.

Opšti slučaj

U opštem slučaju, pretpostavimo da je funkcija u tački $x_{i}$ k puta diferencijabilna. Onda $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N}$ ima k kopija $x_{i}$. Kada pravimo tabelu podeljenih razlika, razlike od $j=2,3,\ldots ,k$ će imati iste vrenosti i one se računaju sa

${\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.$

Na primer,

$f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2}}$

$f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}$

itd.

Primer

Neka je funkcija $f(x)=x^{8}+1$. Sa vrednostima ove funkcije i njena prva dva izvoda u $x\in \{-1,0,1\}$, dobijamo

x	ƒ(x)	ƒ'(x)	ƒ''(x)
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Pošto imamo informacije iz prva dva izvoda, možemo napraviti skup $\{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$. Naša tabela podeljenih razlika je onda

${\begin{matrix}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{8})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{matrix}}$

i polinom izgleda

${\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}$

uzimajući koeficijente sa dijagonale tabele podeljenih razlika i množeći k-ti koeficijent sa $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})$, kao što bismo radili i kod Njutnovog polinoma.

Greška

Ako imamo polinom H i funkciju f, Kod određivanja tačke $x\in [x_{0},x_{n}]$ funkcija greške je

$f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}}$

gde je c nepoznata unutar intervala $[x_{0},x_{N}]$, K broj tačaka plus jedan i $k_{i}$ broj izvoda poznat za svaki $x_{i}$ plus jedan.