Hiperbolične funkcije

S Vikipedije, slobodne enciklopedije

Hiperboličke funkcije su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks area, što treba razlikovati od prefiksa arkus koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom odnosno i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

Definicije[uredi | uredi izvor]

Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus,[1] kosinus,[2] tangens,[3] kotangens,[4][5] sekans[6] i kosekans[2] su određeni sledećim analitičkim definicijama, formulama:

Poreklo imena[uredi | uredi izvor]

Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:

Trigonometrijska hiperbola[uredi | uredi izvor]

Poput funkcija trigonometrijske kružnice definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole Na slici desno je sa u označena dvostruka senčena površina. Tačka nalazi se na preseku hiperbole i prave OE. Senčena površina OAE, rekli smo da iznosi u/2, može se razumeti kao razlika površina trougla OBE i temenog odsečka ABE hiperbole, gde je OB=x, BE=y.

Teorema 1
(a) Dvostruka površina
(b)
(v)
Dokaz
(a) Sama senčena površina sa slike
Pomnožimo dobijenu jednakost sa dva. (b) Iz (a) izračunajmo inverzno Uvedimo novo ime (v) Stavimo tačka E je i dalje na hiperboli, pa smenom h iz (b) dobijamo, pa nakon sređivanja Zatim uvedimo novo ime Kraj dokaza 1.

U istoj teoremi (1) funkcija u(x) iz prvog tvrđenja (a) je inverzna funkcij i x(u), tj. cosh(u), iz (b). I obrnuto. Zato se inverzne hiperboličke funkcije zovu area-funkcije, po latinskoj reči area - površina.[7][8][9]

Analogije sa trigonometrijskom kružnicom su sledeće:

  • Prvo, pod centralnim uglom φ vidi se luk trigonometrijske kružnice dužine φ. To je senčeni ugao AOE na istoj slici. Projekcija preseka gornjeg kraka AE sa (plavom) kružnicom na apscisu je h, tj. kosinus ugla φ. Inverzna funkcija kosinusu je luk, pa se inverzne trigonometrijske funkcije zovu arkus-funkcije, po latinskoj reči arkus - luk.
  • Drugo, dvostruka površina isečka centralnog ugla φ (u radijanima) trigonometrijske kružnice iznosi takođe φ. Naime, površina kružnog isečka je uopšte pa kako je r = 1 dobijamo Međutim, ova osobina običnih trigonometrijskih funkcija je retko u upotrebi.

Konačno, jedine fundamentalne funkcije trigonometrija su sinus i kosinus. Pomoću te dve definišemo preostale četiri: tangens, kotangens, sekans i kosekans, kao što je već urađeno na početku definicija. Drugi način da te četiri funkcije definišemo je ista slika. Iz tačke 1 apscise (na slici tačka A) povučemo paralelu sa ordinatom do preseka F sa krakom ugla OE. Zatim iz tačke 1 ordinate (na slici tačka H) povučemo paralelu sa apscisom do preseka D sa krakom ugla OE. Ugao AOE je φ.

Teorema 2
(a) (b)
Dokaz
Na istoj prethodnoj slici trigonometrijske hiperbole imamo (a) slične trouglove , pa je tj. jer je AO = 1, pa sledi (a); (b) iz sličnosti jer pa važi proporcija tj. jer je HO = 1, pa sledi (b). Kraj dokaza 2.

U tački E hiperbole postavimo tangentu (t). Tangenta t seče apscisu u tački T. Ugao između apscise (osa O-A-B-S prethodne slike) i tangente je α. Produžetak tangente dole, seče ordinatu, na slici desno u tački M, koja se ne vidi na prethodnoj slici.

Teorema 3
(a)
(b)
(v)
Dokaz
Tangenta hiperbole u tački E određena je izrazom
Otuda je čime je dokazano (a). Iz sličnosti trouglova
sledi a otuda
Zbog biće Time je dokazano (b).
Konačno, iz sličnosti trouglova sledi a odatle dakle, Time je dokazano (v). Kraj dokaza 3.

Predstavljanje redovima[uredi | uredi izvor]

Razvojem hiperboličke funkcije u Tejlorov red dobijamo:

Trigonometrijska veza[uredi | uredi izvor]

Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:

Definicije diferencijalnih jednačina[uredi | uredi izvor]

Hiperbolične funkcije se mogu definisati kao rešenja diferencijalnih jednačina: Hiperbolični sine i cosine su jedinstvena rešenja (s, c) sistema

takvog da je s(0) = 0 i c(0) = 1.

One su isto tako jedinstvena rešenja jednačine f ″(x) = f (x), takve da je f (0) = 1, f ′(0) = 0 za hiperbolični kosinus, i f (0) = 0, f ′(0) = 1 za hiperbolični sinus

Kompleksne trigonometrijske definicije[uredi | uredi izvor]

Hiperbolične funkcije se isto tako mogu izvesti iz trigonometrijskih funkcija sa kompleksnim argumentima:

  • Hiperbolični sinus:
  • Hiperbolični kosinus:
  • Hiperbolični tangens:
  • Hiperbolični kotangens:
  • Hiperbolični sekant:
  • Hiperbolični kosekant:

gde je i imaginarna jedinica sa i2 = −1.

Gornje definicije su povezane sa eksponencijalnim definicijama putem Ojlerove formule. (Pogledajte „Hiperbolične funkcije za kompleksne brojeve” ispod.)

Osobine[uredi | uredi izvor]

Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:

Kako je to je prva funkcija parna, a druga neparna. Graf prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), graf druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lako je izračunati sledeće izvode:

Inverzne funkcije kao logaritimi[uredi | uredi izvor]

Derivati[uredi | uredi izvor]

Poreklo[uredi | uredi izvor]

Hiperboličke funkcije su nastale zbog potreba ne-Euklidske geometrije. Tražeći Euklidsku ravan u svojoj ne-Euklidskoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidski prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih ne-Euklidskih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivrečnosti. Sa druge strane, omogućile su prenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

Vidi još[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Collins Concise Dictionary (4th izd.). Glasgow: HarperCollins. 1999. str. 1386. ISBN 0-00-472257-4. 
  2. ^ a b Collins Concise Dictionary, p. 328
  3. ^ Collins Concise Dictionary, p. 1520
  4. ^ Collins Concise Dictionary, p. 329
  5. ^ tanh
  6. ^ Collins Concise Dictionary, p. 1340
  7. ^ Woodhouse, N. M. J. (2003), Special Relativity, London: Springer, str. 71, ISBN 978-1-85233-426-0 
  8. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ur. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0 
  9. ^ Some examples of using arcsinh found in Google Books.

Literatura[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze[uredi | uredi izvor]