Hukov zakon

Hukov zakon: sila je proporcionalna produženju

Burdonove cevi su zasnovane na Hukovom zakonu. Sila stvorena pritiskom gasa unutar namotane metalne cevi iznad je odmotava za količinu proporcionalnu pritisku.

Ravnotežni točak je u srži mnogih mehaničkih satova zavisi od Hukovog zakona. Pošto je obrtni momenat koji generiše namotana opruga proporcionalan uglu za koji se točak okreće, njegove oscilacije imaju skoro konstantan period.

U mehanici, Hukov zakon elastičnosti je aproksimacija koja kazuje da je relativna deformacija elastičnog tela, u određenim granicama, direktno proporcionalna naponu koji na njega deluje. Zakon je nazvan po Robertu Huku, engleskom fizičaru iz 17. veka, koji ga je otkrio i 1675. izrazio latinskim anagramom: ceiiinosssttuu. Rešenje anagrama je objavio 1676. godine kao: Ut tensio, sic viskôd: lat je napređen u kôd: la (= Koliko istezanje, tolika sila). He published the solution of his anagram in 1678 as: ut tensio, sic vis ("as the extension, so the force" or "the extension is proportional to the force"). Hooke states in the 1678 work that he was aware of the law since 1660.

U ovom prvobitnom obliku, zakon se odnosio pre svega na opruge, tj. činjenicu da je sila koju opruga proizvodi proporcionalna njenom istezanju ili sabijanju:

$F=-k\Delta x$

Gde je:

$F$ — sila koju opruga proizvodi, znak „—“ označava suprotan smer od pomeraja. Ako je opruga istegljena, njena sila će težiti da je skupi i suportno, ako je opruga skupljena, sila opruge će težiti da je raširi
$k$ — konstanta elastičnosti (koeficijent proporcionalnosti)
$\Delta x$ — označava promenu dužine pri rastezanju ili skupljanju opruge u odnosu na njen osnovni, prirodni položaj. Znak $\Delta$ nije obavezan, ali obično se koristi kao oznaka za promenu

Danas je poznato da Hukov zakon važi za širok spektar elastičnih tela, koja se nazivaju linearno-elastičnim telima, pri deformacijama (istezanje, uvijanje i sl.) koje ona trpe pod uticajem sila. Za svako takvo telo, zakon važi samo u određenim granicama karakterističnim za njega — napon ne sme preći tzv. granicu elastičnosti. Linearni odnos između deformacije i napona je određen konstantom proporcionalnosti, koja se u zavisnosti od tipa deformacije različito naziva, takođe karakterističnom za dato telo. Granica elastičnosti i konstanta proporcionalnosti zavise od prirode materijala od koga je dato telo načinjeno i od ostalih njegovih osobina.

Formalna definicija

Za linearne opruge

Zamislimo jednostavnu spiralnu oprugu koja ima jedan kraj pričvršćen za neki fiksni predmet, dok slobodni kraj vuče sila čija je veličina F_s. Pretpostavimo da je opruga dostigla stanje ravnoteže, gde se njena dužina više ne menja. Neka je x količina za koju je slobodni kraj opruge pomeren iz svog „opuštenog” položaja (kada nije istegnut). Hukov zakon navodi da

$F_{s}=kx$

ili, ekvivalentno,

$x={\frac {F_{s}}{k}}$

gde je k pozitivan realan broj, karakterističan za oprugu. Štaviše, ista formula važi i kada je opruga komprimovana, pri čemu su F_s i x oba negativna u tom slučaju. Prema ovoj formuli, grafik primenjene sile F_s kao funkcije pomeranja x biće prava linija koja prolazi kroz koordinatni početak, čiji je nagib k.

Hukov zakon za oprugu se ponekad, ali retko, navodi pod konvencijom da je F_s sila vraćanja koju opruga vrši na bilo šta što vuče njen slobodni kraj. U tom slučaju, jednačina postaje

$F_{s}=-kx$

pošto je pravac sile vraćanja suprotan od smera pomeranja.

Opšte „skalarne” opruge

Hukov zakon opruge obično se primenjuje na bilo koji elastični objekat, proizvoljne složenosti, sve dok se i deformacija i napon mogu izraziti jednim brojem koji može biti i pozitivan i negativan.

Na primer, kada se blok gume pričvršćen za dve paralelne ploče deformiše smicanjem, a ne istezanjem ili kompresijom, sila smicanja F_s i bočno pomeranje ploča x poštuju Hukov zakon (za dovoljno male deformacije).

Hukov zakon se takođe primenjuje kada je ravna čelična šipka ili betonska greda (poput one koja se koristi u zgradama), oslonjena na oba kraja, savijena teretom F postavljenom u nekoj međutački. Pomeranje x u ovom slučaju je odstupanje grede, mereno u poprečnom pravcu, u odnosu na njen neopterećeni oblik.

Zakon se takođe primenjuje kada se istegnuta čelična žica uvrne povlačenjem poluge pričvršćene na jednom kraju. U ovom slučaju naprezanje F_s se može uzeti kao sila primenjena na polugu, a x kao rastojanje koje ona pređe duž svoje kružne putanje. Ili, ekvivalentno, može se dozvoliti da F_s bude obrtni moment koji poluga primenjuje na kraj žice, a x je ugao za koji se taj kraj okreće. U oba slučaja F_s je proporcionalan x (iako je konstanta k različita u svakom slučaju.)

Vektorska formulacija

U slučaju spiralne opruge koja je istegnuta ili sabijena duž svoje ose, primenjena (ili obnavljajuća) sila i rezultirajuće izduženje ili kompresija imaju isti smer (koji je pravac navedene ose). Prema tome, ako su F_s i x definisani kao vektori, Hukova jednačina i dalje važi i navodi da je vektor sile vektor elongacije pomnožen fiksnim skalarom.

Opšti tenzorski oblik

Neka elastična tela će se deformisati u jednom pravcu kada su izložena sili u drugom pravcu. Jedan primer je horizontalna drvena greda nekvadratnog pravougaonog preseka koja je savijena poprečnim opterećenjem koje nije ni vertikalno ni horizontalno. U takvim slučajevima, veličina pomeranja x biće proporcionalna veličini sile F_s, sve dok smer ove druge ostaje isti (a njena vrednost nije prevelika); te će važiti skalarna verzija Hukovog zakona F_s = −kx. Međutim, vektori sile i pomeranja neće biti skalarni višekratnici jedan drugog, pošto imaju različite pravce. Štaviše, odnos k između njihovih veličina zavisiće od pravca vektora F_s.

Ipak, u takvim slučajevima često postoji fiksni linearni odnos između vektora sile i deformacije, sve dok su dovoljno mali. Naime, postoji funkcija κ od vektora do vektora, takva da je F = κ(X), i κ(αX₁ + βX₂) = ακ(X₁) + βκ(X₂) za bilo koje realne brojeve α, β i sve vektore pomeranja X₁, X₂. Takva funkcija se naziva tenzor (drugog reda).

U odnosu na proizvoljan Dekartov koordinatni sistem, vektori sile i pomeranja mogu biti predstavljeni 3 × 1 matricama realnih brojeva. Tada tenzor κ koji ih povezuje može biti predstavljen 3 × 3 matricom κ realnih koeficijenata, koja, kada se pomnoži sa vektorom pomeranja, daje vektor sile:

$\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X}$

To je,

$F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}$

za i = 1, 2, 3. Stoga se može reći da Hukov zakon F = κX važi i kada su X i F vektori sa promenljivim pravcima, osim što je krutost objekta tenzor κ, a ne jedan realan broj k.

Hukov zakon za kontinuirane medije

Glavni članak: linearna elastičnost

(a) Šema polimerne nanoopruge. Poluprečnik zavojnice, R, korak, P, dužina opruge, L, i broj zavoja, N, su 2,5 μм, 2,0 μм, 13 μм i 4, respektivno. Elektronske mikrofotografije nanoopruge, pre napinjanja (b-e), rastegnute (f), komprimovane (g), savijene (g) i oporavljene (i). Sve trake skale su 2 μm. Opruga prati linearni odgovor na primenjenu silu, demonstrirajući validnost Hukovog zakona na nanorazmerama.

Naponi i naprezanja materijala unutar kontinuiranog elastičnog materijala (kao što je blok gume, zid kotla ili čelična šipka) povezani su linearnim odnosom koji je matematički sličan Hukovom zakonu opruge i često se naziva da pod tim imenom.

Međutim, stanje deformacije u čvrstoj sredini oko neke tačke ne može se opisati jednim vektorom. Isti komad materijala, ma koliko mali, može se istovremeno sabijati, rastezati i rezati u različitim pravcima. Isto tako, naprezanja u tom segmentu mogu biti istovremeno guranje, povlačenje i smicanje.

Da bi se opisala ova složenost, relevantno stanje sredine oko tačke mora biti predstavljeno tenzorima od dve sekunde, tenzorom deformacije ε (umesto pomeranja X) i tenzorom napona σ (koji zamenjuje povratnu silu F). Analog Hukovog zakona opruge za kontinuirane medije je onda

${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$

gde je c tenzor četvrtog reda (to jest, linearna mapa između tenzora drugog reda) koji se obično naziva tenzor krutosti ili tenzor elastičnosti. To se može napisati kao

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},$

pri čemu tenzor s, nazvan tenzor usklađenosti, predstavlja inverznu liniju navedene linearne mape.

U kartezijanskom koordinatnom sistemu, tenzori napona i deformacija mogu biti predstavljeni 3 × 3 matricama

${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

Budući da je linearno preslikavanje između devet brojeva σ_ij i devet brojeva ε_kl, tenzor krutosti c je predstavljen matricom od 3 × 3 × 3 × 3 = 81 realni broj c_ijkl. Hukov zakon onda navodi

$\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

gde je i,j = 1,2,3.

Sva tri tenzora generalno variraju od tačke do tačke unutar medija, a mogu varirati i sa vremenom. Tenzor deformacije ε samo specificira pomeranje čestica medijuma u okolini tačke, dok tenzor napona σ specificira sile kojima susedni segmenti medijuma deluju jedni na druge. Stoga su one nezavisne od sastava i fizičkog stanja materijala. Tenzor krutosti c, s druge strane, svojstvo je materijala i često zavisi od varijabli fizičkog stanja kao što su temperatura, pritisak i mikrostruktura.

Zbog inherentnih simetrija σ, ε, i c, samo 21 elastični koeficijent poslednjeg je nezavisan. Ovaj broj se može dodatno smanjiti simetrijom materijala: 9 za ortorombni kristal, 5 za heksagonalnu strukturu i 3 za kubnu simetriju. Za izotropne medije (koji imaju iste fizičke osobine u bilo kom pravcu), c se može svesti na samo dva nezavisna broja, modul zapremine K i modul smicanja G, koji kvantifikuju otpornost materijala na promene zapremine i deformacije smicanja, respektivno.

Literatura

• Timshenko, S.; Goodier, J. N. (1951). Theory of Elasticity (na jeziku: (jezik: engleski)) (2. izd.). New York: McGraw-Hill Book Company. CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Krpić, Dragomir (2005) [1996]. Fizička mehanika (3. izd.). Beograd: Fizički fakultet. ISBN 978-86-81019-06-1 (prvo izdanje). 
• Ugural, A. C.; Fenster, S. K. (2003). Advanced Strength and Applied Elasticity (4th izd.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-047392-9. 
• Walter Lewin explains Hooke's law. From Walter Lewin (1. 10. 1999). Hooke's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Korisna informacija se nalazi na: 1:21–10:10. Arhivirano iz originala (ogg) 29. 6. 2011. g. Pristupljeno 23. 12. 2010. „...arguably the most important equation in all of Physics.” CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• A test of Hooke's law. From Walter Lewin (1. 10. 1999). Hooke's Law, Simple Harmonic Oscillator. MIT Course 8.01: Classical Mechanics, Lecture 10. (videotape). Cambridge, MA USA: MIT OCW. Korisna informacija se nalazi na: 10:10–16:33. Arhivirano iz originala (ogg) 29. 6. 2011. g. Pristupljeno 23. 12. 2010. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze

• JavaScript Applet demonstrating Springs and Hooke's law
• JavaScript Applet demonstrating Spring Force