Čebiševljeva nejednakost suma

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Pafnuti Lavovič Čebišev

Čebiševljeva nejednakost suma nosi naziv prema ruskom matematičaru Pafnuti Čebiševu. Ako imamo dva opadajuća niza:

i

onda vredi Čebiševljeva nejednakost

Isto tako ako je jedan niz rastući, a drugi opadajući:

i

onda vredi

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Pođimo od sume

Ako su dva niza opadajuća (odnosno nisu rastuća) onda aj − ak i bj − bk imaju isti predznak za bilo koji jk. Zboga toga sledi da je S ≥ 0. Iz gornje jednačine i S ≥ 0 dobijamo:

Sabirajući iste članove dobijamo:

Konačno sledi:

Generalizacija nejednakosti[uredi | uredi izvor]

Postoji generalizirana verzija Čebiševljeve nejednakosti u slučaju kontinuiranoga niza u vidu funkcije. Ako su f i g realne integrabilne funkcije na intervalu [0, 1] i ako su obe rastuće ili obe padajuće onda sledi:

Literatura[uredi | uredi izvor]

  • Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9