Faktorijel

Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu
Faktorijel prvih nekoliko brojeva i faktorijel nekih većih brojeva
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5,040
8 40,320
9 362,880
10 3,628,800
11 39,916,800
12 479,001,600
13 6,227,020,800
14 87,178,291,200
15 1,307,674,368,000
16 20,922,789,888,000
17 355,687,428,096,000
18 6,402,373,705,728,000
19 121,645,100,408,832,000
20 2,432,902,008,176,640,000
25 1,551,121,004×1025
50 3,041,409,320×1064
70 1,197,857,167×10100
100 9,332,621,544×10157
450 1,733,368,733×101,000
1,000 4,023,872,601×102,567
3,249 6,412,337,688×1010,000
10,000 2,846,259,681×1035,659
25,206 1,205,703,438×10100,000
100,000 2,824,229,408×10456,573
205,023 2,503,898,932×101,000,004
1,000,000 8,263,931,688×105,565,708
10100 1010101,998,109,775,4820

U matematici, faktorijel nenegativnog cijelog broja je proizvod svih pozitivnih brojeva manjih ili jednakih . Na primjer, i , gdje predstavlja n-faktorijel. Oznaku je prvi uveo Kristijan Kramp, 1808. godine. Vrednost 0! je 1, prema konvenciji za prazan proizvod.[1]

Operacija faktorijel se sreće u mnogim oblastima matematike, a posebno u kombinatorici, algebri i matematičkoj analizi. Njegova najosnovnija upotreba je brojanje mogućih različitih nizova -- permutacija -- od n različitih objekata: kojih ima n!.

Faktorijelska funkcija se isto tako može proširiti na argumente koji nisu celobrojni uz zadržavanje najvažnijih svojstava; to uključuje napredniju matematiku, i tehnike iz matematičke analize.

Definicija[uredi]

Faktorijel se formalno definiše na sljedeći način

Gornja definicija pretpostavlja da je:

Ova definicija je korisna jer rekurzivna definicija faktorijela glasi

,

za šta je neophodno da faktorijel broja 0 bude 1.

Kombinatorika[uredi]

Faktorijel je važan u kombinatorici. Na primjer, postoji ukupno različitih načina da se rasporedi različitih objekata (ovi različiti načini rasporeda se zovu permutacije). Broj načina na koji se može izvući objekata iz skupa od objekata (broj kombinacija), je dat takozvanim binomnim koeficijentom:

Teorija brojeva[uredi]

Faktorijel se mnogo koristi u teoriji brojeva. Konkretno, je uvijek djeljiv svim prostim brojevima do i uključujući . Posljedično, je kompozitan broj ako i samo ako

.

Štaviše, imamo Vilsonovu teoremu koja tvrdi

ako i samo ako je prost broj.

Jedini faktorijel broja a koji je istovremeno i prost broj je broj 2, ali ima mnogo prostih brojeva oblika .

Dvostruki faktorijel n!![uredi]

nije jednako

  • 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
  • 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Brzina rasta funkcije[uredi]

Grafik prirodnog logaritma faktorijela

Kako raste, faktorijel postaje veći od svih polinomijalnih i eksponencijalnih funkcija od .

Kad je veliko, se procjenjuje sa velikom preciznošću koristeći Stirlingovu aproksimaciju:

Logaritam faktorijela se može iskoristiti da bi se izračunalo koliko će cifara u datom brojnom sistemu imati faktorijel zadatog broja. se može lako izračunati na sljedeći način:

Treba obratiti pažnju da ova funkcija, kad joj se nacrta grafik, izgleda približno linearna, za male vrijednosti; ali faktor raste do prilično velikih vrijednosti, premda jako sporo. Grafik za između 0 i 20,000 je prikazan desno.

Izračunavanje[uredi]

Vrijednost se može izračunati množenjem svih prirodnih brojeva do , ako nije veliko. Najveći broj za kojeg većina kalkulatora može izračunati vrijednost je , jer je . i su, tim redom, najveći brojevi čiji faktorijel može da stane u standardne cjelobrojne promjenljive kod tridesetdvobitnih i šezdesetčetvorobitnih računara. U praksi, većina programa računa ove male brojeve direktnim množenjem ili vađenjem rezultata iz tabele. Faktorijeli većih brojeva se računaju obično aproksimacijom, koristeći Stirlingovu formulu.

U teoriji brojeva i kombinatorici, često su potrebne tačne vrijednosti faktorijela velikih brojeva. Faktorijeli velikih brojeva se mogu izračunati direktnih množenjem, ali množenje redom odozdo nagore je neefikasno; bolje je rekurzijom podijeliti sekvencu tako da je veličina svakog potproizvoda manja.

Vidi još[uredi]

Reference[uredi]

Literatura[uredi]

Spoljašnje veze[uredi]